1、第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 4.4.2 对数函数的图像和性质对数函数的图像和性质 1.掌握对数函数的图像及性质； 2.会运用对数函数的图像与性质解决简单问题 重点：探究对数函数的图像及性质. 难点：会求对数函数的定义域 1对数函数的图象及性质 a 的范围 0a1 图象 定义域 (0，) 值域 R 性质 定点 (1,0)，即 x1 时，y0 单调性 在(0，)上是减函数 在(0，)上是增函数 2反函数 指数函数 yax(a0，且 a1)和对数函数 ylogx(a0 且 a1)互为反函数 一、问题探究一、问题探究 思考：我们该如何去研究对数函数的性质呢？ 问题 1. 利用“
2、描点法”作函数2logyx和12logyx的图像 函数的定义域为(0,)，取 x 的一些值,列表如下： 问题 2：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称对于底数互为倒数的两个对数函数， 比如 2l o gyx和12logyx的图像，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？ 发现：函数2logyx和12logyx的图像都在 y 轴的右边,它们关于轴对称 问题 3：底数 a（a，且 a）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？ 由此你能概括出对数函数logayx（
3、a，且 a）的值域和性质吗？ 结论 1函数2logyx和12logyx的图像都在 y 轴的右边； 2图像都经过点1,0； 3函数2logyx的图像自左至右呈上升趋势；函数12logyx的图像自左至右呈下降趋势 观察两幅图象，得到 a1 和 0a1 时对数函数的图象和性质。 x 14 12 1 2 4 2logyx 2 -1 0 1来源: 2 12logyx 2 1 0 -1 -2 对数函数的性质的助记口诀: 对数增减有思路, 函数图象看底数; 底数只能大于 0, 等于 1 来也不行; 底数若是大于 1, 图象从下往上增;底数 0 到 1 之间, 图象从上往下减; 无论函数增和减, 图象都过(1
4、,0)点. 二、典例解析 例 1 比较下面两个值的大小 log4 . 32，log5 . 82； log8 . 13 . 0，log7 . 23 . 0 log1 . 5a，log9 . 5a( a0 , a1 ) 归纳总结：1.当底数相同时,利用对数函数的单调性比较大小. 2.当底数不确定时,要对底数 a 与 1 的大小进行分类讨论. 跟踪训练 1: 比较下列各题中两个值的大小 : log106 log10 ； 8 log0.56 log0.5 4 log0.10.5 log0.10.6； log1.51.6 log1.51.4 跟踪训练 2：已知下列不等式，比较正数 m，n 的大小： (1
5、) log 3 m log 0.3 n (3) log a m loga n (0a log a n (a1) 7.:lg,/.(1)(2)10/.pHpHpHHHpHHpH+-=-=例2溶液酸碱度的测量溶液酸碱度是通过刻画的的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔 升根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔 升，计算纯净水的值 反函数：已知函数 y=2x （xR ，y （0，+） 可得到 x=log2y ，对于任意一个 y（0，+），通过式子 x=log2y ，x 在 R 中都有唯一确定的值和它对应。也就是说
6、，可以把 y 作为自变量，x 作为 y 的函数，这是我们就说 x=log2y （y（0，+）是函数 y=2x （ xR） 的反函数。 但习惯上，我们通常用 x 表示自变量，y 表示函数。为此我们常常对调函数 x=log2y 中的字母x，y，把它写成 y=log2x ,这样，对数函数 y=log2x （ x（0，+） ）是指数函数 y=2x （xR ）的反函数。 因此，函数 y = logax (a0,且 a1)与指数函数 y = ax 互为反函数。它们的定义域和值域恰好相反。 1函数 ylogax 的图象如图所示，则实数 a 的可能取值为( ) A5 B.15 C.1e D.12 2.当 a1
7、 时，在同一坐标系中，函数 yax与 ylogax 的图象为( ) A B C D 3.已知 f(x)loga|x|，满足 f(5)1，试画出函数 f(x)的图象. 4函数 f(x)loga(2x5)的图象恒过定点_ 5.比较下列各组数中两个值的大小: 6:解不等式: 1对数函数的图象及性质 a 的范围 0a1 图象 定义域 (0，) 值域 R 性质 定点 (1,0)，即 x1 时，y0 单调性 在(0，)上是减函数 在(0，)上是增函数 2反函数 指数函数 yax(a0，且 a1)和对数函数 ylogx(a0 且 a1)互为反函数 3.思想方法类比： 类比的思想方法；类比指数函数的研究方法；
8、数形结合思想方法是研究函数图像和性质； 参考答案：参考答案： 二、学习过程二、学习过程 典例 1 解析：（1）:用对数函数的单调性，考察函数 y=log 2 x a=2 1, 函数在区间（0，+）上是增函数；3.48.5， log23.4 log28.5 （2）：考察函数 y=log 0.3 x , a=0.3 1, 函数在区间（0，+）上是减函数； 1.8 log 0.3 2.7 6log, 7log)1(768 . 0log,log)2(23 2log) 12(log2121x（3）：考察函数 log a 5.1 与 log a 5.9 可看作函数 y=log a x 的两个函值 , 对数
9、函数的单调性取决于底数 a 是大于 1 还是小于 1，因此需要对底数 a 进行讨论 当 a 1 时, 因为 y=log a x 是增函数，且 5.1 5.9，所以 log a 5.1 log a 5.9 ； 当 0 a 1 时, 因为 y=log a x 是减函数，且 5.1 log a 5.9 ； 跟踪训练跟踪训练 1 答案：；跟踪训练跟踪训练 2 答案：m n；m n；m n 例 2.11(1)lglglg,pHHHH+ -+=-=解：根据对数的运算性质得 11(0,)lg.,.HpHHHHpH+?在上，增大，减小，也减小，即减小所以增大减小即溶液中氢离子的浓度越大 其酸碱度就越小 77(
10、2) 10lg107.7.HpHpH+-=-=当时，即纯净水的是 三、达标检测三、达标检测 1.【答案】A 由图可知，a1，故选 A. 2.解析：C (1)a1，01，yax是减函数，ylogax 是增函数，故选 C. 3.解析： f(x)loga|x|，f(5)loga51，即 a5，f(x)log5|x|， f(x)是偶函数，其图象如图所示 4.【答案】(3,0) 由 2x51 得 x3，f(3)loga10.即函数 f(x)恒过定点(3,0) 5 解:(1)log67log661，log76log771，log67log76 (2)log3log310，log20.8log210，log3log20.8 6.解：原不等式可化为：， 212012xx2121x2121，原不等式的解集是
