1、【新教材】【新教材】4.4.3 4.4.3 不同函数增长的差异不同函数增长的差异（人教（人教 A A 版）版） 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长的快慢. 2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的性质的比较,培养数学建模和数学运算等核心素养. 1.数学抽象：常见增长函数的定义、图象、性质； 2.逻辑推理：三种函数的增长速度比较； 3.数学运算：由函数图像求函数解析式； 4.数据分析：由图象判断指数函数、对数函数和幂函数； 5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结函数性质. 重点：重点：比较函数值得大小； 难点：难点：几种增长函数模型的
2、应用 一、一、 预习导入预习导入 阅读课本 136-138 页，填写。 1.三种函数模型的性质 2.三种函数的增长速度比较 (1)在区间(0,+)上,函数 y=ax(a1),y=logax(a1)和 y=xn(n0)都是_,但_不同. (2)在区间(0,+)上随着 x 的增大,函数 y=ax(a1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y=xn(n0)的增长速度,而函数 y=logax(a1)的增长速度则会_. 函数性质 y=ax(a1) y=logax(a1) y=xn(n0) 在(0,+) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随 x 增大逐 渐_ 随 x 增大逐 渐_ 随
3、 n 值不同 而不同 (3)存在一个 x0,使得当 xx0时,有_. 1.判断正误: (1)函数 y=x2比 y=2x增长的速度更快些.( ) (2)当 a1,n0 时,在区间(0,+)上,对任意的 x,总有 logaxxn0,b1)表达的函数模型,称为指数型函数模型,也常称为“爆炸型”函数模型.( ) 2.已知三个变量 y1,y2,y3随着变量 x 的变化情况如下表: 则关于 x 分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为( ) A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3 C.y3,y2,y1 D.y1,y3,y2 题型一题型一 比较函数增长的差异比较函数增长的差异 例例 1
4、 1 函数 f(x)=2x和 g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x11 时,有下列结论: x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4 指数函数 y=ax,当 a 越大时,其函数值的增长越快;指数函数 y=ax,当 a 越小时,其函数值的增长越快;对数函数y=logax,当a越大时,其函数值的增长越快;对数函数y=logax,当a越小时,其函数值的增长越快.其中正确的结论
5、是( ) A. B. C. D. 2.已知函数 y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当 2xy2y3 B.y2y1y3 C.y1y3y2 D.y2y3y1 题型二题型二 体会指数函数的增长速度体会指数函数的增长速度 例例 2 2 甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区,捐款方式如下:甲公司:在 10 天内,每天捐款 5 万元给灾区;乙公司:在 10 天内,第 1 天捐款 1 万元,以后每天比前一天多捐款 1 万元;丙公司:在 10 天内,第 1 天捐款 0.1 万元,以后每天捐款都比前一天翻一番. 你觉得哪个公司捐款最多? 跟踪训练二跟踪训练二 1.某民营企业生产 A,B 两种产品
6、,根据市场调查和预测,A 产品的利润与投资的函数模型为 y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为 y=k2x(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图,图所示. (1)分别求出 A,B 两种产品的利润与投资的函数关系式; (2)该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少?(精确到万元) 1在一次数学试验中，采集到如下一组数据： x 2.0 1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则 x，y 的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中 a，b 为待定
7、系数)( ) Ayabx Byabx Cyax2b Dyabx 2下列函数中，随着 x 的增大，增长速度最快的是( ) Ay50 By1 000 x Cy0.4 2x1 Dy11 000ex 3有一组实验数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 下列所给函数模型较适合的是( ) Aylogax(a1) Byaxb(a1) Cyax2b(a0) Dylogaxb(a1) 4y12x，y2x2，y3log2x，当 2x4 时，有( ) Ay1y2y3 By2y1y3 Cy1y3y2 Dy2y3y1 5小明 2015 年用 7 200 元买一台笔记本电子
8、技术的飞速发展，笔记本成本不断降低，每过一年笔记本的价格降低三分之一三年后小明这台笔记本还值_元 6已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满足关系 ya (0.5)xb，现已知该厂今年 1 月、2月生产该产品分别为 1 万件、1.5 万件则此厂 3 月份该产品的产量为_万件 7燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v5log2Q10，单位是 m/s，其中 Q 表示燕子的耗氧量 (1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位； (2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度是多少？ 答案答案 小试牛刀小试牛刀 1.(1) (2)
9、(3) 2.C 自主探究自主探究 例例 1 1 【答案】(1)C1对应的函数为 g(x)=x3,C2对应的函数为 f(x)=2x. （2）f(2 019)g(2 019)g(6)f(6). 【解析】(1)C1对应的函数为 g(x)=x3,C2对应的函数为 f(x)=2x. (2)因为 f(1)g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所以 1x12,9x210, 所以 x16x2,从图象上可以看出,当 x1xx2时,f(x)g(x),所以 f(6)x2时,f(x)g(x),所以 f(2 019)g(2 019). 因为 g(2 019)g(6),所以 f(2 019)g(2 019)g(
10、6)f(6). 变式 1.【答案】C1对应的函数为 g(x)=x3,C2对应的函数为 f(x)=3x. 【解析】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为 g(x)=x3,C2对应的函数为 f(x)=3x. 变式变式 2.【答案】f(2 019)g(2 019)g(8)f(8). 【解析】因为 f(1)g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),所以 1x12,9x210,所以 x18x2,从图象上可以看出,当x1xx2时,f(x)g(x),所以f(8)x2时,f(x)g(x),所以f(2 019)g(2 019).因为 g(2 019)g(8),所以 f(2 0
11、19)g(2 019)g(8)f(8). 跟踪训练一跟踪训练一 1.【答案】B 2.【答案】B 【解析】 在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为 y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故 y2y1y3. 例例 2 2 【答案】丙公司捐款最多,为 102.3 万元. 【解析】三个公司在 10 天内捐款情况如下表所示. 公司捐款数量/万元 时间 甲 乙 丙 第 1 天 5 1 0.1 第 2 天 5 2 0.2 由上表可以看出,丙公司捐款最多,为 102.3 万元. 跟踪训练二跟踪训练二 1.【答案】(1)A:y= x(x0),B:
12、y= (x0). (2)投资 A 产品 844 万元,投资 B 产品 156 万元时,总利润最大,最大值约为 578 万元. 【解析】(1)A:y=k1x 过点(1,0.5),k1=12. B:y=k2x过点(4,2.5),(9,3.75), 4= 2.5, 9= 3.75. =54, =12. A:y=12x(x0),B:y=54 (x0). (2)设投资 B 产品 x(百万元),则投资 A 产品(10-x)(百万元), 总利润 y=12(10-x)+54 =-12( -54) +18532(0 x10). 所以当 =1.25,x=1.562 51.56 时,ymax5.78. 故投资 A
13、产品 844 万元,投资 B 产品 156 万元时,总利润最大,最大值约为 578 万元. 当堂检测当堂检测 1-4BDCB 56 4003 61.75 7.【答案】(1)燕子静止时的耗氧量是 10 个单位(2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行第 3 天 5 3 0.4 第 4 天 5 4 0.8 第 5 天 5 5 1.6 第 6 天 5 6 3.2 第 7 天 5 7 6.4 第 8 天 5 8 12.8 第 9 天 5 9 25.6 第 10 天 5 10 51.2 总计 50 55 102.3 速度为 15 m/s. 【解析】(1)由题知，当燕子静止时，它的速度 v0， 代入题中所给公式可得：05log2Q10，解得 Q10. 即燕子静止时的耗氧量是 10 个单位 (2)将耗氧量 Q80 代入题给公式得： v5log280105log2815(m/s) 即当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度为 15 m/s.
