1、 第五章第五章 三角函数三角函数 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 本（A 版） 第五章的 5.4.2 正弦函数、 余弦函数的性质。本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的图象，由先前学习函数的经验，通过 函数图像，观察总结函数性质，并应用函数性质解决问题。是学生对函数学习方法掌握情况的一次 大检阅。因此注意对学生研究函数方法的启发，本节的学习有着极其重要的地位。发展学生数学直 观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。 课程目标 学科素养 1.了解周期函数、周期、最小正周期的含义 2.掌握 ysin x(xR)，y
2、cos x(xR)的周期性、奇偶性、单调性和最值 3.会求函数 yAsin(x)及 yAcos(x)的周期，单调区间及最值 4.通过作正弦函数与余弦函数的性质探究， 培 养学生数形结合和类比的思想方法。 a.数学抽象：函数性质的总结； b.逻辑推理：由正余弦函数性质解决 yAsin(x)的性质； c.数学运算：运用函数性质解决问题； d.直观想象：运用函数图像归纳函数性质； e.数学建模：正余弦函数的性质及应用； 教学重点： ysin x(xR)，ycos x(xR)的周期性、奇偶性、单调性和最值 教学难点：会求函数 yAsin(x)及 yAcos(x)的周期，单调区间及最值 多媒体 教学过程
3、 设计意图 核心教学素养目标 （一）创设问题情境 提出问题提出问题 类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？ 问题探究问题探究 根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的 观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔 2 个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式 ( ) （kZ）中得到反映，即自变量 的值增加 2 整数倍时
4、所对应的函数值，与 所对应的函数值相等数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律 （二）问题探究 1.周期性周期性 一般地，对于函数 ( ) ,如果存在一个非零常数 T，使得当 取定义域内的每一个值时，都有 ( ) ( )那么函数 ( )就叫做周期函数（periodicfunction）非零常数 T 叫做这个函数的周期（period） 周期函数的周期不止一个例如，以及，都是正弦函数的周期事实上 ，且 ，常数 都是它的周期 如果在周期函数 ( )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 ( )的最小正周期（minimalpositiveperiod） 根据上述定
5、义，我们有：正弦函数是周期函数， （kZ 且 k） 都是它的周期， 最小正周期是 类似地，余弦函数也是周期函数， （kZ 且 k）都是它的周期，最小正周期是 典例解析典例解析 例 2求下列三角函数的周期： (1) y3sinx，xR；(2)ycos 2x，xR；（3） ( ) xR; 通过对函数学习的回顾，提出研究正弦与余弦函数性质的方法，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。 通过对正弦函数图像的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式 ( ) ( )而求出相应的周期对于（），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得
6、出 ( ) ，xR；对于（），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出 ( ( ) )= ( ), xR； 【解】(1)xR? ，有 3sin(x)3sinx， 由周期函数的定义知，y3sinx 的周期为 2. (2)令2zx=，由xR，得zR，且cosyz=的周期为 2.即 因为 cos (z2)cosz，于是 cos(2x2)cos 2x， 所以 cos2(x)cos 2x，xR 由周期函数的定义知，ycos 2x 的周期为 . 令 ,由 得 Z 且 的周期为即周期为 2. 即， ( ) ,于是， ( ) （ ） 所以， ( （ ） ) （ ） 由周期函数的定义知，原函数的周期为 4.
7、回顾例的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？ 归纳总结归纳总结 求三角函数周期的方法： (1)定义法：即利用周期函数的定义求解 (2)公式法：对形如 yAsin(x)或 yAcos(x)(A， 是常数，A0，0)的函数，T2|. (3)图象法：即通过观察函数图象求其周期 2.奇偶性奇偶性 观察正弦曲线和余弦曲线 ， 可以看到正弦曲线关于原点 犗 对称 ， 余弦曲线关于 x 轴对称 这个事实 ， 也可由诱导公式 ( )= ； ( )= 得到 所以正弦函数是奇函数 ， 余弦函数是偶函数 知道一个函数具有周期性和奇偶性 ， 对研究它的图象与性质有什么帮助 ? 观想象、数学抽象、数
8、学运算等核心素养； 做一做做一做 1(1)函数 f(x) 2sin 2x 的奇偶性为 ( ) A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数 (2)判断函数 f(x)sin34x32的奇偶性 【答案】 A 【解析】 (1)f(x)的定义域是 R，且 f(x) 2sin 2(x) 2sin 2xf(x)，函数为奇函数 (2)f(x)sin34x32cos 34x，f(x)cos34x cos 34x， 函数 f(x)sin34x32为偶函数. 归纳总结归纳总结 1判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称；二看 f(x)与 f(x)的关系 2对于三角函数奇偶
9、性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断 3. 单调性单调性 由于正弦函数是周期函数 ， 我们可以先在它的一个周期的区间 （ 如 - ） 上讨论它的单调性 ， 再利用它的周期性 ， 将单调性扩展到整个定义域 观察图 5.4-8， 可以看到 ：当 由- 增大到 时 ， 曲线逐渐上升 ， 的值由-1 增大到 1； 当 由 增大到 时 ， 曲线逐渐下降 ， 的值由 1 减小到 -1 通过对正弦函数图像的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 的值的变化情况如表 5.4.2 所示 ： 就是说，正弦函数 在区间 - 上单调递增，在区间 上
10、单调递减，有正弦函数的周期性可得； 正弦函数在每一个闭区间 - 2 2 （ kZ ） 上都单调递增 ,其值从-1 增大到 1 ;在每一个闭区间 2 2 （ kZ ） 上都单调递减 ,其值从 1 减小到-1 类似地 ， 观察余弦函数在一个周期区间 （ 如 - ） 上函数值的变化规律 ， 将看到的函数值的变化情况填入表 5.4.3 由此可得，余弦函数 ,在区间 上单调递增 ， 其值从-1 增大到 1 ；上单调递增，在区间 上单调递减 ， 其值从 减小到 - 由余弦函数的周期性可得 ， 余弦函数在每一个闭区间 ,上都单调递增 ， 其值从-1 增大到 1；在每一个闭区间 , 上都单调递减 ， 其值从
11、1 减小到 -1 函 数 名 递增区间 递减区间 y=sinx 2,222kk 32,222kk y=cosx (21) ,2kk 2,(21) ()kkkz .最大值与最小值 从上述对正弦函数 、 余弦函数的单调性的讨论中容易得到 ，正弦函数当且仅当 时,取得最大值 ， 当且仅当 时,取得最小值 ；余弦函数当且仅当 通过对典型问题的分析解决，提高学生对函数性质的理解。发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 时,取得最大值 ， 当且仅当 时,取得最小值 例 3. 下列函数有最大值 、 最小值吗？ 如果有 ， 请写出取最大值 、 最小值时自变量 的集合 ， 并求出最
12、大值 、 最小值 （ ） ， R ； （ ） ， R 解 ： 容易知道 ， 这两个函数都有最大值 、 最小值 （ ） 使函数 ， R 取得最大值的 的集合 ， 就是使函数 ， R ，取得最大值的 的集合 2k ， k Z ；使函数 ， R ， 取得最小值的 狓 的集合 ， 就是使函数 ， R 取得最小值的 的集合 （ 2k +1） ， k Z 函数 ， R 的最大值是 ； 最小值是 (2)解 ： 令 z 2 ， 使函数） ， zR 取得最大值的 z 的集合 ， 就是使 ，zR 取得最小值的 z 的集合 z - 2k ， k Z 由 z 2 - 2k ，得 - k 所以 ， 使函数 ， R 取得
13、最大值的 的集合是 - k k Z 同理 ， 使函数 ， R 取得最小值的 的集合是 k k Z 函数 ， R 的最大值是 ， 最小值是 例例 4. 不通过求值，指出下列各式的大小：不通过求值，指出下列各式的大小： (1) ( ) ; ( ) 分析 ： 可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小 为此 ， 先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角 ， 然后再比较大小 解 ：（ ） 因为 - ， 正弦函数 在 - 上是增函数，所以所以 ( ) ( ) (2) cos( ) ; cos( ) 解：解：cos( )=cos( )=cos ；cos( ) cos( )=cos 因为 ，且余弦
14、函数 在 0 上单调递减， 所以 cos cos ；即 ( ) cos( ) 例 5. 求函数 ( ), ， 的单调递增区间 分析 ： 令 = 当自变量 的值增大时 ， 的值也随之增大 ， 因此若函数 在某个区间上单调递增 ， 则 ( )在相应的区间上也一定单调递增 解 ： 令 = ， - ， ， 则 * + 因为 ， * +的单调递增区间是 * +， 且由 ，得 所以 ， 函数 ( ), ， - ， 的单调递增区间是* + 三、当堂达标 1判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)若 sin(60 60 )sin 60 ，则 60 为正弦函数 ysin x 的一个周期( ) (2)若 T 是
15、函数 f(x)的周期，则 kT，kN*也是函数 f(x)的周期( ) (3)函数 ysin x，x(，是奇函数( ) 1 【解析】 (1) .举反例，sin(40 60) 40，所以 60 不是正弦函数ysin x 的一个周期(2).根据周期函数的定义知，该说法正确 (3) .因为定义域不关于原点对称 【答案】 (1) (2) (3) 2.函数 f(x) 3sinx24，xR 的最小正周期为( ) A.2 B C2 D4 2.【解析】 因为3sin12x443sin12x42 3sin12x4，即 f(x4)f(x)，所以函数 f(x)的最小正周期为 4. 【答案】 D 通过练习巩固本节所学知
16、识，巩固对正余弦函性质的理解，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。 3.函数 f(x)sinx6的一个递减区间是( ) A.2，2 B，0 C.23，23 D.2，23 3.【解析】 令 x622k，322k ，kZ， 得 x32k，432k ，kZ，k0 时，区间3，43是函数 f(x)的一个单调递减区间，而2，23 3，43.故选 D. 【答案】 D 4比较下列各组数的大小： (1)cos 150 与 cos 170 ；(2)sin 5与 sin75. 4 【解】 (1)因为 90 150 170 cos 170 . (2)sin75sin235sin 35sin25sin 25. 因为 05252，函数 ysin x 在区间0，2上是增函数， 所以 sin 5sin 25，即 sin 5sin75. 四、小结 1. 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 2. 求函数的单调区间： （1）直接利用相关性质；（2）复合函数的单调性；（3）利用图象寻找单调区间 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；
