5.4.2正弦函数余弦函数的性质 教学设计2

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1、【新教材】【新教材】5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 教学设计(人教教学设计(人教 A 版)版) 本节课是正弦函数、余弦函数图像的继续,本课是正弦曲线、余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数、余弦函数的性质. 课程目标课程目标 1.了解周期函数与最小正周期的意义; 2.了解三角函数的周期性和奇偶性; 3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期; 4.借助图象直观理解正、余弦函数在0,2上的性质(单调性、最值、图象与 x 轴的交点等); 5.能利用性质解决一些简单问题. 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象:理解周期函数、周期、最小正周期等的含义; 2.逻辑推

2、理: 求正弦、余弦形函数的单调区间; 3.数学运算:利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性. 4.数学建模:让学生借助数形结合的思想,通过图像探究正、余弦函数的性质. 重点:重点:通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质; 难点:难点:应用正、余弦函数的性质来求含有 cosx,sinx 的函数的单调性、最值、值域及对称性. 教学方法:教学方法:以学生为主体,小组为单位,采用诱思探究式教学,精讲多练。 教学工具:教学工具:多媒体。 一、一、 情景导入情景导入 研究一个函数的性质从哪几个方面考虑?我们知道从定义域、 值域、 单调性、 周期性、 奇偶性、称性等考虑,那么

3、正余弦函数有哪些性质呢? 要求:让学生自由发言,教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本,引入新课二、预习课本,引入新课 阅读课本 201-205 页,思考并完成以下问题 1. 周期函数、周期、最小正周期等的含义? 2. 怎样判断三角函数的周期性和奇偶性? 3. 通过正弦曲线和余弦曲线得到正弦函数、余弦函数的哪些性质? 要求:学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。 三、新知探究三、新知探究 1.定义域 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集(或). 2.值域 (1)值域:正弦函数、余弦函数的值域都是. (2)最值 正弦函数 当且仅当时,取得最大值 当且仅

4、当时,取得最小值 余弦函数 当且仅当时,取得最大值 当且仅当时,取得最小值 3.周期性 定义:对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时, 都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期. 由此可知,都是这两个函数的周期. 对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 根据上述定义,可知:正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是. 4.奇偶性 ()为奇函数,其图象关于原点对称 ()为偶函数,其图象关于轴对称 5.对称性 正弦函数的对称中心是, 对称轴是直线; 余弦函数的对称中心是, 对称轴是直线 (

5、正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线,对称中心为图象与轴(中轴线)的交点). 6.单调性 正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到;在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到. 余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到. 四、典例分析、举一反三四、典例分析、举一反三 题型一题型一 正、余弦函数的周期性正、余弦函数的周期性 例例 1 求下列三角函数的最小正周期: (1)y=3cos x,xR; (2)y=sin 2x,xR; (3)y=2sin(126x),xR; (4)y=|cos x|,xR. 【答案】(1

6、) 2;(2);(3) 4;(4). 【解析】:(1)因为 3cos(x+2)=3cos x,所以由周期函数的定义知,y=3cos x 的最小正周期为 2. (2)因为 sin2(x+)=sin(2x+2)=sin2x,所以由周期函数的定义知,y=sin2x 的最小正周期为 . (3) 因 为1s i n(4)s i n2s i n262626xxx, 所 以 由 周 期 函 数 的 定 义 知 ,2sin26xy的最小正周期为 4. (4)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cos x|的最小正周期为 . 解题技巧:(求函数最小正周期的常用方法) (1)定义法,即

7、利用周期函数的定义求解 (2)公式法,对形如 yAsin(x)或 yAcos(x)(A, 是常数,A0,0)的函数,T2|. (3)图象法,即通过画出函数图象,通过图象直接观察即可 三种方法各有所长,要根据函数式的结构特征,选择适当的方法求解 跟踪训练一跟踪训练一 1.(1)函数 y=2sin (3x+6),xR 的最小正周期是( ) (A)3 (B)23 (C)32 (D) (2)函数 y=|sin 2x|(xR)的最小正周期为 . 【答案】(1)B;(2) 2 【解析】 (2)作出 y=|sin 2x|(xR)的图象(如图所示). 由图象可知,函数 y=|sin 2x|(xR)的最小正周期

8、为2. 题型二题型二 化简、求值化简、求值 例例 2 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=2sin 2x;(2)f(x)=sin(34x+32); (3)f(x)=sin |x|;(4)f(x)=1 cosx+cos1x. 【答案】(1) 奇函数;(2) 偶函数;(3) 偶函数;(4) 既是奇函数又是偶函数. 【解析】(1)显然 xR,f(-x)=2sin(-2x)=-2sin 2x=-f(x),所以 f(x)=2sin 2x 是奇函数. (2)因为 xR,f(x)=sin(34x+32)=-cos34x, 所以 f(-x)=-cos(-34x)=-cos34x=f(x), 所以函数 f(

9、x)=sin(34x+32)是偶函数. (3)显然 xR,f(-x)=sin |-x|=sin |x|=f(x), 所以函数 f(x)=sin |x|是偶函数. (4)由1cos0,cos10,xx 得 cos x=1,所以 x=2k(kZ),关于原点对称,此时 f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数. 解题技巧:(判断函数奇偶性的方法) 判断函数奇偶性的方法 (1)利用定义判断一个函数 f(x)的奇偶性,要考虑两方面:函数的定义域是否关于原点对称;f(-x)与f(x)的关系; (2)判断函数的奇偶性常用方法是:定义法;图象法. 跟踪训练二跟踪训练二 1.下列函数中,最小正周期为 的奇函数

10、是( ) (A)y=sin(2x+2) (B)y=cos(2x+2) (C)y=sin(2x+4) (D)y=2sin(x+4) 【答案】B 【解析】 A 中,y=sin(2x+2),即 y=cos 2x,为偶函数;C,D 中,函数为非奇非偶函数;B 中,y=cos(2x+2)=-sin 2x,是奇函数,T=22=,故选 B. 2.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数,又是周期函数,若 f(x)的最小正周期为 ,且当 x0,2时,f(x)sin x,则 f 53等于 ( ) A12 B1 C32 D32 【答案】D 【解析】因为 f(x)的最小正周期为 T, 所以 f 53f 532 f

11、3, 又 yf(x)是偶函数,所以 f(x)f(x) 所以 f 53f 3f 3sin332. 题型三题型三 正、余弦函数的单调性正、余弦函数的单调性 例例 3 求函数 y=sin(12x+3)的单调区间. 【答案】略. 【解析】当-2+2k12x+32+2k(kZ)时函数单调递增,所以函数的单调递增区间为-53+4k,3+4k(kZ).当2+2k12x+332+2k(kZ)时函数单调递减,所以函数的单调递减区间为3+4k,73+4k(kZ). 解题技巧:(求单调区间的步骤) (1)用“基本函数法”求函数 yAsin(x)(A0,0)或 yAcos(x)(A0,0)的单调区间的步骤: 第一步:

12、写出基本函数 ysin x(或 ycos x)的相应单调区间; 第二步:将“x”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”; 第三步:解关于 x 的不等式 (2)对于形如 yAsin(x)的三角函数的单调区间问题,当 0 时,可先用诱导公式转化为 yAsin(x),则 yAsin(x)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间,单调递减区间即为原函数的单调递增区间余弦函数 yAcos(x)的单调性讨论同上另外,值得注意的是kZ 这一条件不能省略 跟踪训练三跟踪训练三 1求函数 y2sin4x 的单调增区间 【答案】略. 【解析】y2sin4x 2sinx4,令 zx4,则 y2sin

13、 z,求 y2sin z 的增区间,即求ysin z 的减区间,所以22kz322k(kZ), 即22kx4322k(kZ),解得342kx742k(kZ), 所以 y2sin4x 的单调增区间是342k,742k (kZ) 题型四题型四 正弦函数、余弦函数单调性的应用正弦函数、余弦函数单调性的应用 例例 4 比较下列各组中函数值的大小: (1)cos235与 cos174; (2)sin 194 与 cos 160 . 【答案】(1)cos235cos174;(2)sin 194 cos 160 . 【解析】(1)cos235cos675cos75, cos174cos674cos74, 7

14、5742,且函数 ycos x 在,2上单调递增, cos75cos74,即 cos235cos174. (2)sin 194 sin(180 14 )sin 14 , cos 160 cos(180 20 )cos 20 sin 70 . 0 14 70 90 ,且函数 ysin x 在 0 x90 时单调递增,sin 14 sin 70 . 从而sin 14 sin 70 ,即 sin 194 cos 160 . 解题方法(比较两个三角函数值的大小) (1)比较两个同名三角函数值的大小,先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角,再利用函数的单调性比较 (2)比较两个不同名的三角函数值的

15、大小,一般应先化为同名的三角函数,后面步骤同上 (3)已知正(余)弦函数的单调性求参数范围,多用数形结合思想及转化思想求解 跟踪训练四跟踪训练四 1下列结论正确的是 ( ) Asin 400 sin 50 Bsin 220 cos 200 Dcos(40 )cos 310 【答案】C. 【解析】由 cos 130 cos(180 50 )cos 50 ,cos 200 cos(180 20 )cos 20 ,因为当0 x90 时, 函数 ycos x 是减函数, 所以 cos 50 cos 20 , 即 cos 130 cos 200 . 题型五题型五 正、余弦函数的值域与最值问题正、余弦函数

16、的值域与最值问题 例例 5 求下列函数的值域: (1)y=cos(x+6),x0,2; (2)y=cos2x-4cos x+5. 【答案】(1)-12,32 ;(2)2,10. 【解析】(1)由 x0,2可得 x+66,23, 函数 y=cos x 在区间6,23上单调递减,所以函数的值域为-12,32. (2)y=cos2x-4cos x+5,令 t=cos x, 则-1t1. y=t2-4t+5=(, 当 t=-1 时,函数取得 t-2)2+1 最大值 10; t=1 时,函数取得最小值 2,所以函数的值域为2,10. 解题方法(三角函数的值域问题解题思路) 三角函数的值域问题的两种类型,

17、一是化为y=Asin(x+)+B的形式,这种类型的值域问题解决方 法是利用区间上的单调性;二是与其他函数相复合,最为常见的是与二次函数复合,利用的是三角函数的有界性和二次函数区间的最值.其方法是换元法,把问题转化为二次函数求值域问题. 跟踪训练五跟踪训练五 1. 函数 y=2cos2x+5sin x-4 的值域为 . 【答案】-9,1. 【解析】(1)y=2cos2x+5sin x-4=2(1-sin2x)+5sin x-4 =-2sin2x+5sin x-2 =-2(sin x-54)2+98. 故当 sin x=1 时,ymax=1; 当 sin x=-1 时,ymin=-9, 故 y=2

18、cos2x+5sin x-4 的值域为-9,1. 2.设 f(x)=acos x+b 的最大值是 1,最小值是-3,则 g(x)=bsin(ax+3)的最大值为 . 【答案】1. 【解析】由题意 a0,当 a0 时,1,3,abab 所以2,1,ab 此时 g(x)=-sin(2x+3),其最大值为 1. 当 a0 时,3,1,abab 所以2,1.ab 此时 g(x)=-sin(-2x+3),其最大值为 1.综上知,g(x)的最大值为 1. 五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 七、作业 课本 207 页练习、213 页习题 5.4 2-6、10、11 题. 本节课主要探究正弦函数、余弦函数的性质,从而用性质解决一些问题。但是本节课内容量比较多,一节课讲完有一定的难度,可根据学生的实际情况分两节课展开. 5.4.2 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 1.定义域 例 1 例 2 例 3 2.值域 3.周期性 4.奇偶性 例 4 例 5 5.单调性 6.对称性

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