1、第07讲 以函数与导数为背景的取值范围问题专题A组一、选择题1已知函数fx=sinx,0x1log2017x,x1，若a,b,c互不相等，且fa=fb=fc，则a+b+c的取值范围是（ ）A (1,2017) B (1,2018) C 2,2018 D (2,2018)【答案】D【解析】由正弦函数图像得a+b=212=1 ，所以0log2017c11c0|x+2|,-3x0（a0且a1），若函数f(x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是（ ）A (0,1) B (1,3) C (0,1)(3,+) D (0,1)(1,3) 【答案】D【解析】y=logax关于y轴对称函数为y
2、=loga-x，0a1时，y=loga-x与y=|x+2|,-3x0的图象有且仅有一个交点，函数f(x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称，0a1时，要使y=loga-x与y=|x+2|,-3x0的图象有且仅有一个交点，则loga31,1a3，综上所述，a的取值范围是,0,11,3，故选D.3已知函数f(x)=xex，要使函数g(x)=kf(x)2-f(x)+1的零点个数最多，则k的取值范围是A k-e2 B k-e2-e D k-e2【答案】B【解析】因为f(x)=xex，所以fx=x+1ex，可得f(x)在-,-1上递减，在-1,+递增，所以，f(x)=xex有最小值f-1=-1e，且x0
3、时，fx0，所以，-1et0g-1e=k1e2+1e+10=1-4k0-1e12k0，解得k-e2-e，故选B.4已知函数f(x)=|lnx|,0x2,f(4-x),2x4,若当方程f(x)=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1x2x3x4）时，不等式kx3x4+x12+x22k+11恒成立，则实数k的最小值为（ ）A 98 B 2-32 C 2516 D 3-12【答案】B【解析】当2x4时，04-x2，所以fx=f4-x=ln4-x，由此画出函数fx的图象如下图所示，由于f2=ln2，故0mf(x+1)成立的x的取值范围是（ ）A (-,1) B (1,+) C (-13,1) D
4、 (-,-13)(1,+)【答案】D【解析】f-x=e-x+ex-1x2+1，所以f-x=fx，fx为R上的偶函数，又fx=ex-e-x+2xx2+12，当x0时，fx0，故fx在0,+上为增函数.因f2x=f2x,fx+1=fx+1，由f2xfx+1 得到2xx+1，故3x2-2x-10，x1，选D.6设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，当x0时，xlnxf(x)0成立的x的取值范围是（ ）A (-2,0)(0,2) B (-,-2)(2,+) C (-2,0)(2,+) D (-,-2)(0,2)【答案】D【解析】根据题意，设gx=lnxfxx0，其导数gx=lnxfx+lnx
5、fx=1xfx+lnxfx ，又由当x0时，lnxfx-1xfx，则有 gx=1xfx+lnxfxg1=0，又由lnx0，则fx0，在区间1,+上，gx=lnxfx0，则fx0，则fx在0,1和1,+上，fx0，x2-4fx0x2-40fx0或x2-40fx0，解可得x-2或0xx1时，不等式f(x1)x2-f(x2)x10恒成立，则实数a的取值范围为A (-,e B (-,e) C (-,e2) D (-,e2【答案】D【解析】不等式f(x1)x2-f(x2)x10即x1fx1-x2fx2x1x2x10可得x1fx1-x2fx2x1fx1恒成立，构造函数gx=xfx=ex-ax2，由题意可知
6、函数gx在定义域内单调递增，故gx=ex-2ax0恒成立，即aex2x恒成立，令hx=ex2xx0，则hx=exx-12x2，当0x1时，hx1时，hx0,hx单调递增；则hx的最小值为h1=e121=e2，据此可得实数a的取值范围为(-,e2.本题选择D选项.8设f(x)=lnx+1x，若函数y=f(x)-ax2恰有3个零点，则实数a的取值范围为（ ）A 0,e23 B e23,e C 1e,1 D 0,1ee23【答案】A【解析】y=fx-ax2恰有3个零点，则lnx+1x3=a恰有3个根，令gx=lnx+1x3，即gx 与y=a恰有3个交点，gx=lnx+1x3=-lnx-1x3,x0,
7、1elnx+1x3,x1e,+，当x0,1e时，gx=3lnx+2x40，当xe-23,+时，gx1+334 B a1+334 C 0a1+334 D 1+334a0)，函数h(n)=1+2n+n-24在区间(-,0)递增，在区间(0,134)递减，在区间(134，+)递增，且n0,h(n)+，可知无上界，即时，方程a=h(n),(n0)有三解，故选A.10对于函数f（x）和g（x），设xR|f（x）=0，xR|g（x）=0，若存在、，使得|1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”若函数f（x）=ex1+x2与g（x）=x2axa+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）A 73
8、，3 B 2，73 C 2，3 D 2，4【答案】C【解析】：f(x)=ex-1+x-2，f(x)为单调递增的函数，且x=1是函数唯一的零点，由fx,g(x)互为“零点相邻函数”，则g(x)的零点在0,2之间。（1）当g(x)有唯一的零点时，=0，解得a=2，解得x=1满足题意；（2）当g(x)在0,2之间有唯一零点时，g0g20,解得 a73,3;（3）当g(x)在0,2之间有两个点时，0,g0g20,解得 a(2,3综上所述，解得a2,3。故选C。11定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f(x)，若对任意的实数x，都有2f(x)+xf(x)2恒成立，则使x2f(x)-f(1)x2-1成立的
9、实数x的取值范围为（ ）A x|x1 B (-,-1)(1,+)C (-1,1) D (-1,0)(0,1)【答案】B【解析】fx是R上的偶函数，则函数gx=x2fx-x2也是R上的偶函数，对任意的实数x，都有2f(x)+xf(x)2恒成立，则gx=x2fx+xfx-2.当x0时，gx0，当x0，即偶函数gx在区间-,0上单调递增，在区间0,+上单调递减，不等式x2f(x)-f(1)x2-1即x2fx-x212f1-12，据此可知gxg1，则x1.即实数x的取值范围为(-,-1)(1,+).本题选择B选项.12对于函数f(x)和g(x)，设xf(x)=0;xg(x)=0，若所有的,，都有-1，
10、则称f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”.f(x)=ex-1+x-2与g(x)=x2-ax-a+3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是（ ）A 2,4 B 2,73 C 73,3 D 2,3【答案】D【解析】：f(x)=ex-1+x-2，f(x)为单调递增的函数，且x=1是函数唯一的零点，由fx,g(x)互为“零点相邻函数”，则g(x)的零点在0,2之间。（1）当g(x)有唯一的零点时，=0，解得a=2，解得x=1满足题意；（2）当g(x)在0,2之间有唯一零点时，g0g20,解得 a73,3;（3）当g(x)在0,2之间有两个点时，0,g0g20,解得 a(2,3综上所述，解得a2,
11、3。故选D。13已知函数f(x)=-x2+2x+4x，g(x)=11x3x-1-2x3x，实数a，b满足ab0.若x1a,b，x2-1,1，使得f(x1)=g(x2)成立，则b-a的最大值为（ ）A 3 B 4 C 5 D 25【答案】A【解析】由g(x)=11x3x-1-2x3x =113x-23x可知函数gx在区间-1,1上单调递增，函数的最大值gxmax=g1=3，函数的最小值为gxmin=g-1=-113-32=-316，f(x)=-x2+2x+4x =-2-x+4x，结合函数平移的结论和对勾函数的性质绘制函数图象如图所示，当x=-2时，函数有极小值f-2=2，当x=2时，函数有极大值
12、f2=-612-ex,x1，若函数gx=fx-mx-1有两个零点，则实数m的取值范围是A -2,0 B -1,0 C -2,00,+ D -1,00,+【答案】D【解析】若函数gx=fx-mx-1有两个零点，则函数fx的图象与y=m（x-1）有且仅有两个交点，在同一坐标系内画出函数fx的图象与y=m（x-1）的图象如下：由图可得：当m0时，满足条件；由m=-1时，y=2-ex与y=m（x-1）相切得：-1m 0时，满足条件；故m（-1，0）（0，+），故选：D15已知函数f(x)=ex-1,x0-x2-2x+1,x0，若关于x的方程f2(x)-3f(x)+a=0(aR)有8个不等的实数根，则a
13、的取值范围是（ ）A 0,14 B 13,3 C (1,2) D 2,94【答案】D【解析】绘制函数f(x)=ex-1,x0-x2-2x+1,x0的图象如图所示，令fx=t，由题意可知，方程t2-3t+a=0在区间1,2上有两个不同的实数根，令gt=t2-3t+a1t0g2=4-6+a0g32=94-92+a0，据此可得：2a94.即a的取值范围是2,94.本题选择D选项.二、填空题16已知函数fx=xx-1lnx，偶函数gx=kx2+bexk0的图像与曲线y=fx有且仅有一个公共点，则k的取值范围为_.【答案】k(0,1)(1,+)【解析】gx=kx2+bexk0为偶函数，b=0gx=kx2
14、令fx= gx，可得k=x-1xlnx，令hx=x-1xlnx，则hx=lnx-x+1xlnx20恒成立，limx+hx=limx+x-1xlnx=limx+1lnx+1=0k=hx只有一解则k的取值范围为(0，1)(1，+)17已知关于x的不等式logm(mx2x12)0在1，2上恒成立，则实数m的取值范围为_【答案】(12,58)(32,+) 【解析】当0m1时，函数f(x)=logm(mx2-x+12)外层单调递减，内层二次函数：当12m1，即12m0，解得：12m58；当12m=1，即m=12时，f(1)无意义；当112m2，即14m12时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递
15、减，则需f(1)0,f(2)0，无解；当12m2，即00，无解.当m1时，函数f(x)=logm(mx2-x+12)外层单调递增，12m0，解得：m32.综上所述：12m32.18已知函数fx=lnx，x0ax2+x，x0，若函数y=fx的图象上恰好有两对关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为_【答案】0,1【解析】已知函数fx=lnx，x0ax2+x，x0，若函数y=fx的图象上恰好有两对关于y轴对称的点，即x0时，y=lnx与y=ax2-x，有两个交点，y=lnx恒过（1，0），y=ax2-x中1a是函数的零点，所以必须满足01a，解得a（0，1） 故答案为：（0，1）19已知函数f(x)
16、=x22e，xa，lnx，0xa若对任意实数k，总存在实数x0，使得f(x0)=kx0成立，求实数a 的取值集合为_【答案】e【解析】令h(x)=lnx-x22e，h(x)=1x-xe，所以函数h(x)在(0，e)上递增，在(e，+)上递减，又h(e)=0，所以lnxx22e，当且仅当x=e时等号成立，因为对任意实数k，总存在实数x0，使得f(x0)=kx0成立，且过原点的直线与y=lnx切于点(e，1)，所以函数f(x)的图象是不间断的，故a=e所以实数a 的取值集合为e.故答案为：e 20已知函数f(x)=x2-x+a，x-a，x2+x+3a，x-a记A=x|f(x)=0，若A(-，2)，
17、则实数a的取值范围为_【答案】-，14【解析】由题意，条件可转化为函数fx=x2-x+a+2a，在(-,2)上存在零点，所以方程x2=x+a-2a有根，所以函数gx=x2与hx=x+a-2a的图象有交点的横坐标在(-，2)上，所以函数hx=x+a-2a的图象为顶点(-a,-2a)在直线y=2x上移动的折线， 如图所示，可得2a12，即a14，所以实数a的取值范围是(-,14.21函数f(x)满足f(x)=f(-x),f(x)=f(2-x),当x0,1时, f(x)=x2,过点P(0,94)且斜率为k的直线与f(x)在区间0,4上的图象恰好有3个交点,则k的取值范围为_【答案】(1,1312)【
18、解析】f(x)=f(-x)，f(x)=f(2-x)，f-x= f(2-x)，即fx+2=f(x)，函数f(x)的周期为T=2由x0，1时， f(x)=x2，则当x-1，0时，- x0，1，故f-x=f(x)=x2，因此当x-1，1时， f(x)=x2结合函数f(x)的周期性，画出函数f(x)(x0，4)图象如下图所示又过点P(0，94)且斜率为k的直线方程为y=kx-94结合图象可得：当x0，1时， f(x)=x2与y=kx-94联立消去y整理得x2-kx+94=0，由=k2-9=0，得k=3或k=-3(舍去)，此时x切=k2=320,1，故不可能有三个交点；当x2,3时，点(0,-94)与点
19、(3,1)连线的斜率为1312，此时直线与y=f(x)有两个交点，又f(x)=(x-2)2，若同y=kx-94相切，将两式联立消去y整理得x2-(k+4)x +254=0，由=(k+4)2-25=0，得k=1或k=-9(舍去)，此时x切=k+42=52 (2,3)，所以当1k2，即a-1的最小值为c，如果函数gx=2m-1x+34,xcmx,x-1，则f（x）=2-x，x1log2x+1，x1，分析可得，当x=1时，fx取得最小值2，则有c=1 ，则x=2m-1x+34,x1mx,x0h1=1+m+2m+30，解得-32m0时，g1=a-52+1a0g2=4a-5+1a0解得12a1.当a0时
20、，g(0)=1a0，-522a=54a0，gx0ax+3a-2,x0在(-,+)上是单调函数，且f(x)存在负的零点，则a的取值范围是（ ）A (23,1 B (23,32 C (0,32 D (23,+)【答案】B【解析】当x0时，fx=2e2x-20,所以函数f(x)在(-,+)上只能是单调递增函数，又f(x)存在负的零点，而当x0时，f(0)=1+a，当x0时，f（0）=3a-2，03a-21+a，解得231恒成立，则实数a的取值范围是 ( )A 11,+) B 13,+) C 15,+) D 17,+)【答案】C【解析】fp+1-fq+1p-q的几何意义，表示点p+1,fp+1与点q+
21、1,fq+1连线斜率，实数p,q在区间0,1内，故p+1和q+1在1,2内，不等式fp+1-fq+1p-q1恒成立，函数图象上在区间1,2内任意两点连线的斜率大于1 ,故函数的导数大于1在1,2内恒成立，fx=ax+1-2x1在1,2内恒成立，由函数的定义域知，x-1，所以a2x2+3x+1在1,2内恒成立，由于二次函数y=2x2+3x+1在1,2上是单调递增函数，故x=2时，y=2x2+3x+1在1,2上取最大值为15，a15，a15,+，故选C.5已知函数f(x)=exx-a，g(x)=3(ex-ax)ex，若方程f(x)=g(x)有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是A -,e B e
22、,33,+ C -,0e,+ D e,+【答案】B【解析】由f(x)=g(x)得到exx-a=3(1-axex)，令exx=t，则得t-a=3(1-at)，整理得t-3t-a=0由t(x)=exx得，当x0时，t(x)0时，t(x)=ex(x-1)x2，t(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，所以当x0时t(x)t(1)=e所以函数t(x)的值域为(-,0)e,+)画出函数t(x)=exx的图象如下图所示由题意可得“方程f(x)=g(x)有4个不同的实数解”等价于“方程t-3t-a=0有两个大于e的不等实根”，由于t=exx=3有两个不等实根，所以只需方程t=exx=a有两个不
23、同于上述方程的实根，结合图象可得ae且a3，所以实数a的取值范围是e,33,+故选B6若函数f(x)=ex,x0-x2+2x+1,x0（其中e是自然对数的底数），且函数y=f(x)-mx有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）A (0,1) B (0,e) C (-,0)(1,+) D (-,0)(e,+)【答案】D【解析】由y=f(x)-mx=0，可得f(x)=mx，作出函数y=f(x)的图象，而y=mx表示过原点且斜率为m的直线，由图可知，当me时，y=f(x)与y=mx有两个不同的交点，满足题意；综上可知，实数m的取值范围是(-,0)(e,+)答案选D7已知函数f(x)=alnx-b
24、x2，a,bR.若不等式f(x)x对所有的b(-,0，x(e,e2都成立，则a的取值范围是（ ）A e,+) B e22,+) C e22,e2) D e2,+)【答案】B【解析】由alnx-bx2x得alnx-xbx2，对任意b0，xe,e2都成立，故alnx-x0，即axlnx对xe,e2都成立.构造函数hx=xlnx，其中xe,e2.hx=lnx-1lnx2，故当xe,e2时hx0，即hx单调递增，最大值为he2=e22，故ae22.8设函数fx是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒fx-f-x=0，当x-1,0时，fx=x2若gx=fx-logax在x0,+上有且仅有三个零点
25、，则a的取值范围为（ ）A 3,5 B 4,6 C 3,5 D 4,6【答案】C【解析】fx-f-x=0,fx=f-x， fx是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出fx的图象如图所示,gx=fx-logax在x0,+上有且仅有三个零点，y=fx和y=logax的图象在0,+上只有三个交点，结合图象可得loga31a1，解得3a0在区间(1，+)上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A 0，1 B -1，0 C 0，2 D -1，1【答案】A【解析】整理得ax2-3x+2-lnx，如图，为了满足不等式恒成立，则a0，且在x=1处的切线斜率，f1g1，所以fx=-1x，gx=a2x-3，所以f1g1得
26、a1，综上，0a1。故选A。10已知函数f(x)=mx-1-nlnx (m0,0ne)在区间1,e内有唯一零点，则n+2m+1的取值范围为（ ）A e+2e2+e+1,e2+1 B 2e+1,e2+1 C 2e+1,1 D 1,e2+1【答案】A【解析】由题意m=nxlnx+x 在区间1,e内有唯一实数解令g(x)nxlnx+x，x1，e， g(x)=nlnx+n+1=0，解得lnx=-n+1n-1,x1e, ，函数g(x)在区间1，e上单调递增， g（1）=1，ge=ne+e,0ne,1me2+e 则2n+2e+2,2m+1e2+e+1 ，则n+2m+1的取值范围为e+2e2+e+1,e2+
27、1.故选A.11已知函数fx=x2+2x-12x0，使得f(-x0)=g(x0) ，即|x0|+2-x0-12=|x0|+log2(x0+a) ；因而2-x0-12=log2(x0+a)，即函数y=2-x-12 与y=log2(x+a) 的图像在(0,+) 上有交点；如图所示，可知若函数y=2-x-12 与y=log2(x+a)的图象在上有交点，则当x=0 时，满足log2(0+a)20-12log2a12 ，即0a0x2+32x,x0，若方程f(x)-mx+1=0恰有四个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）A (-1,-13) B (-1,-12) C (-34,-12) D (-2,-
28、12)【答案】B【解析】因为y=xlnx-2xy=lnx-1=0,x=e ，作图，由y=mx-1与y=x2+32x相切 得x2+(32-m)x+1=0,=(32-m)2-4=0m=-12或72(舍) ，由y=mx-1与y=xlnx-2x相切得设切点(x0,x0lnx0-2x0),m=lnx0-1=x0lnx0-2x0+1x0 ，x0=1,m=-1.如图可得实数m的取值范围是(-1,-12)，选B.二、填空题14已知函数f(x)在R上连续，对任意xR都有f(-3-x)=f(1+x)；在(-,-1)中任意取两个不相等的实数x1,x2，都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0恒成立；若f(2a-1
29、)f(3a-2)，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】由f(-3-x)=f(1+x)可知函数f(x)关于直线x=-1对称；在(-,-1)中任意取两个不相等的实数x1,x2，都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0恒成立；可知函数f(x)在区间(-,-1)上单调递减，由对称性可知函数f(x)在区间(-1,+)上单调递增，不妨设f(x)=(x+1)2，则由f(2a-1)f(3a-2)可得4a20，即(a-1)(5a-1)0，解得a1，所以实数a的取值范围是-，15(1,+)答案为：-,151,+15已知函数f(x)=(m+3)(x+m+1)(x+m),g(x)=2x-2，若对任意xR，有f(x
30、)0 或g(x)0 成立，则实数 m的取值范围是_【答案】-3m0 ,得x1，故对x1时，gx0恒成立，由gx=2x-20 ,得x1，故对x1时，gx0不成立，从而对任意x1， fx=m+3x+m+1x+m0恒成立，画出函数的图象，由图可知，函数f(x)=(m+3)(x+m+1)(x+m)的图象开口向上，且两个零点都大于1,可得m满足m+30-m-11-m1，解得-3m-2，则实数m的取值范围是-3m-2，故答案为-3m-2.16已知函数f(x)=a-ex,x1x+4x,x1（e是自然对数的底）.若函数y=f(x)的最小值是4，则实数a的取值范围为_【答案】ae+4【解析】当x1时，x+4x4
31、 （当且仅当x=2时取等号），当xa-e ，因此a-e4ae+4. 17已知函数fx=ex+cosx,若f1nab+flnba-2f10,则ab的取值范围是_ .【答案】(0,1e)(e,+)【解析】 fx=ex+cosx，f-x=e-x+cos-x=ex+cosx=fx，fx是偶函数，x0时，fx=ex-sinx0，fx在0,+上递增，由fx是偶函数可得fx在-,0上递减，flnab+flnba-2f10，flnab+f-lnab-2f10化为2flnab2f1，flnabf1，等价于lnab1，lnab1或lnabe或0ab1e，即ab的取值范围是0,1ee,+，故答案为0,1ee,+.18已知直线l:y=kx与圆x2+y2-2x-2y+1=0相交于A,B两点，点M(0,b)，且MAMB，若b(1,32)，则实数k的取值范围是_【答案】(1,6-23)(6+23,+)【解析】MA,MB由ykxx2+y2-2x-2y+10，消去y得：（k2+1）x2-（2k+2）x+1=0，设P（x1，y1）Q（x2，y2），x1+x2=21+k1+k2，x1x2=11+k2， MAMB，MAMB=0，（x1
