1、第09讲 直线与平面平行A组一、 选择题1（2019全国理）设，为两个平面，则的充要条件是（ ）A内有无数条直线与平行 B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线 D，垂直于同一平面【答案】B【解析】对于A，内有无数条直线与平行，则与相交或，排除；对于B，内有两条相交直线与平行，则；对于C，平行于同一条直线，则与相交或，排除；对于D，垂直于同一平面，则与相交或，排除故选B2已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D【答案】C【解析】补成四棱柱 ,则所求角为 因此 ，故选C.3如图，在正方体中，异面直线与所成的角为 （ ）A B C D【答案】C【解析】由题可知，在正方体
2、中，,所以异面直线与所成的角与异面直线与所成的角相等，连接，BD,为所求角，设正方体的边长为1，在中，三条边长均为，故=.4设，是两个不同的平面，是直线且“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，是两个不同的平面，是直线且若“”，则平面可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，则有，则“”是“”的必要而不充分条件.5下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（ ）A B C D【答案】C6已知互不重合的直线，互不重合的平面，给出下列四个命题，错误的命题是（ ）（A）若，则 (B)
3、若，则(C)若，则 (D)若，则/【答案】D【解析】A中，过直线作平面分别与交于，则由线面平行的性质知，所以，又由线面平行的性质知，所以，正确；B中，由，知垂直于两个平面的交线，则所成的角等于二面角过的大小，即为，所以，正确；C中，在内取一点A，过A分别作直线垂直于的交线，直线垂直于的交线，则由线面垂直的性质知，则，由线面垂直的判定定理知，正确；D中，满足条件的也可能在内，故D错，故选D.二、填空题7（2019年北京卷理）已知，是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：；以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：【答案】，则解析：由l，m是平面外的两条不同直线，知：由
4、线面平行的判定定理得：若，则由线面平行、垂直的性质定理得，则.8如图，已知四边形是矩形，平面，且， 的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 【答案】【解析】取的中点，连接、 、是中点，是的中位线 （或者其补角）为异面直线与所成角 在中， ； ， 由余弦定理可知 9是两平面，是两条线段，已知，于，于，若增加一个条件，就能得出，现有下列条件：；与所成的角相等；与在内的射影在同一条直线上；.其中能成为增加条件的序号是 .【答案】.【解析】由题意得，四点共面，：，又，面，又面，故正确；：由可知，若成立，则有面，则有成立，而与，所成角相等是无法得到的，故错误；：由与在内的射影在同一条直线上可知面，由可知正
5、确；：仿照的分析过程可知错误，故填：三、解答题10如图，是平行四边形所在平面外一点，分别是上的点，且.求证：平面【解析】连接并延长交于，连接，因为，所以，又因为，所以，所以.又平面，平面，所以平面11如图，多面体中，底面是菱形，四边形是正方形，且平面.（）求证：平面AED； （）若，求多面体的体积V.【解析】试题解析：（）证明：是菱形，又平面，平面，平面. 又是正方形，.平面，平面，平面. 平面，平面， 平面/平面.由于平面，知平面. （）解：连接，记.是菱形，且.由平面，平面，.平面，平面BDEF，平面于O，即为四棱锥的高. 由是菱形，则为等边三角形，由，则，.12如图，在三棱柱中，侧棱底面
6、，为的中点，.（）求证：/平面；（）设，求四棱锥的体积.【解析】（）连接,设与相交于点,连接， 四边形是平行四边形,点为的中点为的中点，为的中位线, 平面,平面,平面 （） 平面,平面, 平面平面，且平面平面作，垂足为，则平面， ，在Rt中，四棱锥的体积13如图，梯形中，于,于,且，现将，分别沿与翻折，使点与点重合（1）设面与面相交于直线，求证：；（2）试类比求解三角形的内切圆（与三角形各边都相切）半径的方法，求出四棱锥的内切球（与四棱锥各个面都相切）的半径【解析】（1），面，面面面，平面平面（2） 设内切球的半径，内切球的圆心与四棱锥的各个点连接，将四棱锥分成五个小的三棱锥，由于，面，.B组
7、一、 选择题1、已知直线和平面，则下列四个命题正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则【答案】C【解析】选项A， 若，则或或与相交，A错；选项B， 若，则或，B错；选项C， 若，则，C正确；选项D， 若，则或与相交，D错.故选C.2、已知异面直线，成角，为空间中一点，则过与，都成角的平面（ ） A有且只有一个 B有且只有两个 C有且只有三个 D有且只有四个【答案】B.【解析】分析题意可知，若平面与，都成角，则，与该平面的垂线夹角也为，故原问题等价于求直线，使得与，都都成角，如下图所示，把异面直线，平移到相交，使交点为，此时，过点作直线平分，将直线从旋转至与平面垂直的位置，根据对称性从
8、而可知满足题意的直线有两条，故选B3、点在正方形所在平面外，平面，则与所成的角是 A B C D【答案】A【解析】作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为，所以与所成的角就是，由题意可知：，所以.4、直三棱柱ABCA的底面为等腰直角三角形ABC，C90，且则与所成角为（ ）A.30 B.45 C.60 D.90【解析】过得中点F，分别作,的平行线因为.所以.故选D.二、填空题5、如图，在正方体中，为棱的中点，则与所在的直线所成角的余弦值等于【答案】【解析】连结，就是与所在的直线所成角，设，则，与所在的直线所成角的余弦值等于故答案为：6、在空间四边形中，分别是和上的点，若 ，则对角线AC与平面
9、DEF的位置关系是 AC平面DEF 【解析】因为，所以EFAC又因为AC平面DEF，EF平面DEF，所以AC平面DEF三、解答题7、如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，点是侧面的中心，是棱的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【解析】（1）在中，因为是的中点，是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）因为是直三棱柱，所以底面，所以，又，即，而面，且，所以面. 而面，所以，又是正方形，所以，而面，且，所以面. 又面，所以面面. 8、在长方体中，过三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为（）求棱的长；（）若的中点为，求异面直线与所成角的余弦值【解析
10、】（）设，由题意得：，解得，故的长度为3.（）在长方体中，为异面直线与所成的角（或其补角）在中，；，则异面直线与所成角的余弦值为9、如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，.面，且.为中点，在棱上，且.（）求证：面；（）求三棱锥的体积.【解析】（）证明：如图所示，取的中点，连接，连接交于，连接由题可知，为的中点，为的中点，；又为的中点，为的中点，又面；面，平面平面，又面，面（）解：平面，所以是三棱锥的高，又，同理，则10、如图，在梯形ABCD中，ABCD，平面平面，四边形是矩形，点在线段上（1）求证：平面；（2）当为何值时，平面？写出结论，并加以证明【解析】（1）在梯形中，四边形是等腰梯形，且又平
11、面平面，交线为，平面 （2）当时，平面，在梯形中，设，连接，则，而， ，四边形是平行四边形， 又平面，平面平面C组一、选择题1、若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“l”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】若m，lm，则l或l；若m，l，则lm故选B2、设线段AB，CD是夹在两平行平面，间的两异面线段，点若分别为AB，CD的中点，则有（ ）A B C D【解析】如图，连接AC，BD，AD，取AD的中点P，连接MN，NP，PM，则又两线段异面，所以M，N，P不可能共线在MNP中，即3、已知l是过正方体的顶点的平面与下底面的交线
12、，则下列结论错误的是（ ）A B平面 C平面 D【解析】因为，由直线和平面平行的判定定理，知B正确；平面，又平面平面，由线面平行的性质定理知，平面，所以C，D正确故选A4、长方体中，已知二面角的大小为，若空间有一条直线与直线所成角为，则直线与平面所成角的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】试题分析：如图所示，过点作，连接，则，则为二面角，所以，因为，取角的角平分线，此时即为直线，过点做，即平面，此时直线与平面所成角的最大角是，另外一种情况是，此时直线为直线，则直线与平面平面所成最小角为，所以直线平面所成角的范围是，故选A二、填空题5、已知正方体，下列结论中正确的是
13、（只填序号）； 平面平面； 平面 解析：连接、，因为且=，所以四边形是平行四边形，故，从而正确；易证，又，所以平面平面，从而正确；由图易知与异面，故错误；由，平面，平面，所以平面，故正确6、如图11所示，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点给出下列四个结论：存在点，使得/平面；存在点，使得平面；对于任意的点，平面平面；对于任意的点，四棱锥的体积均不变.其中，所有正确结论的序号是_【答案】【解析】当点为的中点时，由对称性可知也是的中点，此时/,因为，所以/，故正确；假设，因为，所以。所以四边形为菱形或正方形，即。因为为正方体所以。所以假设不成立。故不正确。因为为正方形，所以，因为，所以，
14、因为，所以。因为，所以。同理可证，因为，所以，因为，所以。故正确。设正方体边长为，则。故正确。综上可得正确的是。三、解答题7、如图所示，矩形中，平面，为上的点，且平面() 求证：平面；() 求证：平面；() 求三棱锥的体积.【解析】 ()证明：平面，平面，则 又平面，则平面 ()由题意可得是的中点，连接平面，则，而，是中点,在中，平面() 平面，而平面，平面是中点，是中点，且， 平面，中， 8、如图，在直三棱柱中，是正三角形，点分别是棱，的中点.（1）求证：；（2）判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论.【解析】（1）证明:因为直三棱柱，所以平面，因为平面，所以，因为就正三角形，为棱的中点，
15、所以又因为，所以平面，因为平面，所以 (2)直线平面，证明如下:如图，连接交于点，连.因为四边形为矩形，所以为的中点，又为的中点，所以.因为点分别为的中点，所以，所以.因为平面，平面，所以直线平面9、如图，四边形为菱形，平面，. （）求证：平面； （）求证：平面平面. 【解析】(1)设与的交点为，连接，因为，所以，因为，所以，故四边形为平行四边形，所以，又平行，平行，所以平面； （）连结，因为，所以，因为，所以，故四边形为平行四边形.所以.因为平面，所以平面，又平行，所以，因为四边形为菱形，所以，又平行，平行，所以平面，又，所以平行，因为平面，所以平面平面.10、在四棱锥中，底面是边长为的菱形，面，分别为，的中点.（1）求证：面；（2）求二面角的大小的正弦值；（3）求点到面的距离. 【解析】（1）如图所示，取中点，连结，分别为，的中点，可证得，四边形是平行四边形，又平面，平面， 面；（2）作于点，作于点，连结，易证平面，又，平面，即为二面角的平面角，在中，；（3），.
