1、第12讲 空间向量与立体几何综合A组一、 选择题1、已知是非零向量，若向量是平面的一个法向量，则“”是“向量所在的直线平行于平面”的（ ）条件A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 充分必要 D. 既不充分也不必要答案：B2、已知向量，且与互相垂直，则k的值是（）A1 B. C. D. 【解析】 D 与互相垂直，解得，故选D3、在空间直角坐标系中，平面的法向量为, 已知，则P到平面的距离等于 （）A B. C. D. 【解析】B 因为向量在平面OAB的法向量投影的绝对值为P到平面OAB的距离，所以4、如图，空间四边形中，分别是，的中点，则等于（ ）A BC D【答案】C【解析】试题分析： 如图
2、所示，连结，则由是的中点可得，又，故二、填空题5、若,则为邻边的平行四边形的面积为 【答案】 【解析】因为,所以,故所求的平行四边形的面积为.6、如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（ ）A21 B22 C23 D25【答案】B【解析】在上取点，使得，则面，连结，则在平面上，以所在直线为轴，以所在直线为轴，由题意可知，点轨迹为抛物线，其方程为，点坐标为，设，则（其中，当时，故三、解答题7（2017年北京卷理）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段P
3、B上，PD/平面MAC，PA=PD=，AB=4（I）求证：M为PB的中点；（II）求二面角B-PD-A的大小；（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值【解析】（I）设交点为，连接.因为平面，平面平面，所以.因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.（II）取的中点，连接，.因为，所以.又因为平面平面，且平面，所以平面.因为平面，所以.因为是正方形，所以.如图建立空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则，即.令，则，.于是.平面的法向量为，所以.由题知二面角为锐角，所以它的大小为.（III）由题意知，.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.8如图，在四棱锥PABCD中
4、， ，且四边形ABCD为菱形，.（1）求证：；（2）求平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值。【解析】（1）证：取AB边中点G，连接PG，DG，DB。 2分又四边形ABCD为菱形且 为等边三角形 又 又 5分（2）又，G且 z以G为原点，GA，GD，GP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则G(0，0，0),，且， 为的法向量，且 设为的法向量令，则，且 又平面PAB与平面PCD所成二面角的平面角为锐角，故所求二面角的平面角的余弦值为。 9、如图，在斜三棱柱中，点O是的中点，平面.已知,.(1)求证：; (2)求与平面所成角的正弦值.【解析】建立如图所示空间直角坐标系O-xyz,则,
5、（1）, (2)设,设平面的一个法向量是，则，令，得 与平面所成角的正弦值为. 10、如图，四边形中，面，且.（1）求证：面；（2）若二面角的大小为，求与面所成角的正弦值.【解析】（1）证明：设交于，连接，在中，由余弦定理可得：.，.，又，四边形为平行四边形.又面，面，面.（2）面，分别以所在直线建立如图所示空间直角坐标系，则，设，则，设平面的法向量为，则，即，取，有；易知平面的一个法向量；解得，易知面的一个法向量，；直线与面所成角的正弦为.11、如图，已知边长为6的菱形与相交于，将菱形沿对角线折起，使（1）若是的中点，求证：在三棱锥中，直线与平面平行；（2）求二面角的余弦值；（3）在三棱锥中
6、，设点是上的一个动点，试确定点的位置，使得【解析】（1）证明：因为点是菱形的对角线的交点，所以是的中点，又点是棱的中点，所以是的中位线，因为平面平面，所以平面（2）解：由题意可知，因为，所以，又因为菱形，所以，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以设平面的法向量为，则有，即，令，则，所以因为，所以平面，平面的法向量与平行，所以平面的一个法向量为，因为二面角的平面角是锐角所以二面角的余弦值为（3）解：设，因为是线段上的一个动点，设，即，所以，则，由，得：，即，解得：所以点的坐标为12如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC,求二
7、面角A-PB-C的余弦值.【解析】（1）由已知，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，从而AB平面PAD.又AB 平面PAB，所以平面PAB平面PAD.（2）在平面内做，垂足为，由（1）可知，平面，故，可得平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）及已知可得，.所以，.设是平面的法向量，则，即，可取.设是平面的法向量，则，即，可取.则，所以二面角的余弦值为.B组一、 选择题1、已知平面的法向量为,点不在内,则直线与平面的位置关系为A B C与相交不垂直 D【答案】D【解析】,而点不在内,故2、在正方体中,若是的中点,则异面直线与所成角的大小
8、是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】如图建系,设正方形棱长为2,则,则,即,即异面直线与所成角为.3、空间四边形中,点在上,且,点为中点,则等于（ ）A BC D【答案】B【解析】由题意 ；又 ,故选B4、正四棱柱中，则与平面所成角的正弦值等于（ ）A B C D【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，设为平面的一个法向量，则，取，设与平面所成的角为，则图3二、填空题5、如图3，在棱长为的正方体内（含正方体表面）任取一点，则的概率 .【解析】由几何概型的计算公式得.6、在直三棱柱中,底面ABC为直角三角形,. 已知与分别为和的中点,与分别为线段和上的动点（不包括端点）.
9、 若,则线段的长度的最小值为 .【答案】【解析】建立直角坐标系,以为坐标原点,为轴,为轴,为轴,则（）,（）.所以,.因为,所以,由此推出 .又,从而有 .三、解答题7、如图，在三棱柱中，已知，.（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值.【解析】（1）连结，在中，.又，由勾股定理的逆定理，得为直角三角形.，,平面.平面（2）在中，,则由勾股定理的逆定理，得为直角三角形，.以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，.设平面的法向量为.由.令，则平面的一个法向量为.设平面的法向量为.由.令，则平面的一个法向量为.设二面角的平面角为，易知为锐角.8、如
10、图，四棱锥中，底面是平行四边形，且平面，与底面所成角为.（I）证明：平面平面；（II）求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值. 【解析】（I） 底面是平行四边形，且, 又平面， ，面 平面平面 （II）平面，与底面所成角为在中， 在中， ，故 ， 设与相交于点，取的中点，连结，则 平面，平面以分别为轴方向建立空间直角坐标系，则 ， ,， 设平面的法向量 由 得 ，取 ，则 故平面的一个法向量为由 得 ，取 ，则 平面的一个法向量 设平面与平面所成二面角为，且因为为锐角. ，即平面与平面所成二面角的余弦值为 9、如图，在空间几何体中，平面平面，与都是边长为2的等边三角形，点在平面上的射影在的平分
11、线上，已知和平面所成角为.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【解析】证明：由题意知，与都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则.又平面平面，平面,作平面,那么，根据题意，点落在上，和平面所成角为，.，四边形是平行四边形，.平面，平面，平面（2）由已知，两两互相垂直，故以为轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，得.,设平面的一个法向量为.,.令取又平面的一个法向量，.又由图知，所求二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值.10、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面底面，为的中点，是棱上的点，（1）求证：平面平面；（2）若二面角大小的为 ，求的长【解析】（1）AD / BC，BC=A
12、D，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形， CD / BQ (2分)ADC=90 AQB=90 即QBAD又平面PAD平面ABCD且平面PAD平面ABCD=AD，BQ平面PADBQ平面MQB，平面MQB平面PAD (5分)（2）PA=PD，Q为AD的中点， PQAD平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD， PQ平面ABCD (6分)如图，以Q为原点建立空间直角坐标系则，由 ，且，得所以 又， 平面MBQ法向量为由题意知平面BQC的法向量为二面角M-BQ-C为60 ， （C组）一、选择题1、在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A
13、B且 C且 D且【答案】D 【解析】三棱锥在平面上的投影为，所以，设在平面、平面上的投影分别为、，则在平面、上的投影分别为、，因为，所以，故选D.2、已知棱长为2的正方体，是过顶点圆上的一点，为中点，则与面所成角余弦值的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，连结，交于点，过作的垂线交延长，交于，结合图形得与面所成角余弦值是与面所成角余弦值的最小值，过作的平行线交圆于，此时与面所成角余弦值的取最大值，由此能求出与面所成角余弦值的取值范围3、如图，正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（ ）A BC
14、 D【答案】D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以,设平面的法向量为,则由题设,即,令,则,所以由平面,则,即,也即,所以.因平面的法向量为,故与平面所成角的正弦值,正切值,令,则,所以,即,所以应选D. 4、在正三棱锥中，底面边长，侧棱，分别是线段，上的动点（可以和端点重合），则的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】A. 【解析】如下图所示，设，当，时，当，或时，即的取值范围是，故选A.二、填空题5、直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M、N分别是A1B1、A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成的角的余弦值为 【解析】 如图，分别以C1B1，C1A1，C1
15、C为x，y，z轴，建立坐标系，令CA2，则A（0，2，2），B（2，0，2），M（1，1，0），N（0，1，0）（1，1，2），（0，1，2）cos，6、如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为 .【解答】：（求解对照）以A为坐标原点，AB为轴，AQ为轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则 设，其中，令，则当，即M在Q时，取最大值.三、解答题7、三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示设，分别是线段，的中点，为线段上的点，且（1） 证明：为线段的中点；（2） 求二面角的
16、余弦值【解析】（1）由三棱锥及其侧视图、俯视图知，在三棱锥中：平面平面，设为的中点，连接，于是，且，所以平面，进而因为，分别为线段，的中点，所以，又，于是假设不是线段的中点，则直线与直线是平面内相交直线，从而平面，这与矛盾所以是线段的中点（2）过作交于，因为，所以；又因为，所以即为二面角的平面角连接，在中，（其中），所以8、如图，矩形中，（），将其沿翻折，使点到达点的位置，且二面角的直二面角.（1）求证：平面平面；（2）设是的中点，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围.【解析】（）二面角为直二面角，；平面 平面 平面平面 （）解法1：如图，以为坐标原点，以长为一个单位长度，建立如图空间直
17、角坐标系，则 则设平面的法向量为则，取，则 同理设平面的法向量为 解法2：过作于，过作于，连，则则二面角的平面角为 为的中点； 由，得 ； 9、如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，,为棱的中点.（）证明:；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若为中点，棱上是否存在一点，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【解析】（）证明：因为底面，所以因为，所以.由于，所以有分（）解：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），不妨设，可得，.由为棱的中点，得. 向量,.设为平面的法向量，则即不妨令，可得（1,1,1）为平面的一个法向量.所以 .所以，直线与平面所成角的正弦值为. （）解：向量，
18、.由点在棱上，设.故 .由，得，因此，解得.所以 . 10、如图1，在等腰梯形中， 为中点，点分别为的中点将沿折起到的位置，使得平面平面（如图2）（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）侧棱上是否存在点，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解析】（）如图1，在等腰梯形中，由，为中点，所以为等边三角形如图2,因为为的中点，所以又因为平面平面，且平面平面，所以平面，所以（）连结，由已知得，又为的中点， 所以由（）知平面，所以，所以两两垂直以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系（如图）因为，易知所以，所以设平面的一个法向量为， 由 得 即 取，得设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为 （）假设在侧棱上存在点，使得平面 设，因为，所以易证四边形为菱形，且，又由（）可知，所以平面所以为平面的一个法向量由，得所以侧棱上存在点，使得平面，且
