1、圆锥曲线综合问题圆锥曲线综合问题 1（2021 黑龙江哈尔滨三中高三其他模拟（理）已知双曲线C：2221xya的一个焦点为2,0，则双曲线C的一条渐近线方程为（ ） A30 xy B30 xy C310 xy D310 xy 2 （2021 江苏高二专题练习） 已知双曲线22144xyaa(a4)的实轴长是虚轴长的 3 倍， 则实数 a= （ ） A5 B6 C8 D9 3（2021 通辽新城第一中学高三其他模拟（理）已知双曲线22221xyab（0a ，0b ）的一条渐近线方程为32yx，则该双曲线的离心率为（ ） A213 B72 C72或213 D2 73或2 77 4 （2021 全国
2、高三专题练习）过抛物线24yx的焦点F的直线交抛物线于AB、两点，若F是线段AB的中点，则AB （ ） A1 B2 C3 D4 5（2021 广西浦北中学（理）已知抛物线2:2(0)C xpy p的焦点在直线10 xy 上，又经过抛物线 C 的焦点且倾斜角为60的直线交抛物线 C 于 AB 两点，则|AB （ ） A12 B14 C16 D18 6（2021 全国 （理） ） 已知F为抛物线2:4C yx的焦点， 过点F的直线l交抛物线C于A，B两点， 若6AB ，则线段AB的中点M到抛物线C的准线的距离为（ ） A3 B4 C5 D6 7（2020 全国高三专题练习 （理） ） 直线 l 过
3、抛物线22yx的焦点 F， 且 l 与该抛物线交于不同的两点11,A x y，22,B x y若12 3xx，则弦 AB 的长是（ ） A4 B5 C6 D8 8（2021 安徽师范大学附属中学高二期中（文）已知抛物线214yx上的动点 P 到直线:4l y 的距离为 d，A 点坐标为(2,0)，则PAd+的最小值等于（ ） A4 B25 C2 5 D35 9（2021 贵州凯里实验高级中学高二月考（理）双曲线22:13yC x 的两个焦点是1F、2F，O为原点，点P在C上且2OP ，则12PFF的面积是（ ） A52 B72 C2 D3 10（2021 四川射洪中学高二期中（理）已知抛物线2
4、4Cyx：，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于11,A x y，22,B x y两点则12 y y的值为（ ） A4 B4 C1 D1 11（2021 湖南高考真题）点(0, 1)到直线3410 xy 的距离为（ ） A25 B35 C45 D1 12（2021 北京高考真题）已知圆22:4C xy，直线: l ykxm，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为 2，则m（ ） A2 B2 C3 D5 13（2021 浙江高考真题）已知,R,0a bab，函数 2R()f xaxb x.若(),( ),()f stf sf st成等比数列，则平面上点, s t的轨迹是（ ） A直线和圆 B直线和椭
5、圆 C直线和双曲线 D直线和抛物线 14（2020 全国高考真题（理）若直线 l 与曲线 y=x和 x2+y2=15都相切，则 l 的方程为（ ） Ay=2x+1 By=2x+12 Cy=12x+1 Dy=12x+12 15（2020 全国高考真题（理）设双曲线 C：22221xyab（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为5P 是 C 上一点，且 F1PF2P若 PF1F2的面积为 4，则 a=（ ） A1 B2 C4 D8 16（2021 湖南高考真题）过圆2240 xyx的圆心且与直线20 xy垂直的直线方程为_ 17 （2021 天津高考真题） 若斜率为3的直线与y轴交于
6、点A， 与圆2211xy相切于点B， 则AB _ 18（2021 全国高考真题）已知函数12( )1,0,0 xf xexx，函数( )f x的图象在点 11,A xf x和点22,B xf x的两条切线互相垂直，且分别交 y 轴于 M，N 两点，则|AMBN取值范围是_ 圆锥曲线综合问题圆锥曲线综合问题 1（2021 黑龙江哈尔滨三中高三其他模拟（理）已知双曲线C：2221xya的一个焦点为2,0，则双曲线C的一条渐近线方程为（ ） A30 xy B30 xy C310 xy D310 xy 【答案】A 【分析】 根据, ,a b c的关系求出a，即可得到双曲线的一条渐近线方程 【详解】 因
7、为2c ， 所以214a ， 所以3a ， 即双曲线C：2213xy， 所以双曲线C的渐近线方程为30 xy 故选：A 2 （2021 江苏高二专题练习） 已知双曲线22144xyaa(a4)的实轴长是虚轴长的 3 倍， 则实数 a= （ ） A5 B6 C8 D9 【答案】A 【分析】 根据题意可得434aa，计算即可得解. 【详解】 由双曲线22144xyaa(a4)的实轴长是虚轴长的 3 倍， 可得434aa 可得49(4)aa， 解得5a . 故选：A. 3（2021 通辽新城第一中学高三其他模拟（理）已知双曲线22221xyab（0a ，0b ）的一条渐近线方程为32yx，则该双曲线
8、的离心率为（ ） A213 B72 C72或213 D2 73或2 77 【答案】B 【分析】 利用双曲线的渐近线方程，推出a、b的关系，然后求解离心率即可 【详解】 双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线的方程是32yx， 可得32ba，所以22234caa， 解得72cea 故选：B 【点睛】 方法点睛：求双曲线的离心率常用的方法：（1）公式法（求出, a c代入离心率的公式即得解）；（2）方程法（化简已知得到关于离心率e的方程，解方程得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解. 4 （2021 全国高三专题练习）过抛物线24yx的焦点F的直线交抛物线于AB、两点，若F是线段AB的
9、中点，则AB （ ） A1 B2 C3 D4 【答案】D 【分析】 依据题意可知线段AB为抛物线的通径可得结果. 【详解】 由题可知：线段AB为抛物线的通径 所以AB4 故选：D 5（2021 广西浦北中学（理）已知抛物线2:2(0)C xpy p的焦点在直线10 xy 上，又经过抛物线 C 的焦点且倾斜角为60的直线交抛物线 C 于 AB 两点，则|AB （ ） A12 B14 C16 D18 【答案】C 【分析】 直线10 xy 与y轴的交点就是抛物线的焦点，从而可求出抛物线方程，然后将倾斜角为60的直线方程与抛物线方程联立成方程组，消去x，整理后利用根与系数的关系可得1214yy，从而再
10、利用抛物线的定义可求出|AB 【详解】 解：因为直线10 xy 与y轴的交点为(0,1)， 所以抛物线2:2(0)C xpy p的焦点坐标为(0,1)，设(0,1)F，抛物线方程为24xy， 所以过焦点且倾斜角为60的直线方程为31yx， 设1122( ,), (,)A x yB xy， 由2431xyyx，得21410yy ， 所以1214yy， 所以12|14216AByyp， 故选：C 6（2021 全国 （理） ） 已知F为抛物线2:4C yx的焦点， 过点F的直线l交抛物线C于A，B两点， 若6AB ，则线段AB的中点M到抛物线C的准线的距离为（ ） A3 B4 C5 D6 【答案】
11、A 【分析】 分别过A，M，B作准线的垂线，垂足分别为1A，1M，1B，再由抛物线的定义结合梯形的性质得出M到抛物线C的准线的距离. 【详解】 分别过A，M，B作准线的垂线，垂足分别为1A，1M，1B 则111322AABBABMM 故选：A 7（2020 全国高三专题练习 （理） ） 直线 l 过抛物线22yx的焦点 F， 且 l 与该抛物线交于不同的两点11,A x y，22,B x y若12 3xx，则弦 AB 的长是（ ） A4 B5 C6 D8 【答案】A 【分析】 由题意得1p ，再结合抛物线的定义即可求解. 【详解】 由题意得1p ， 由抛物线的定义知：12123 1422ppA
12、BAFBFxxxxp ， 故选：A 【点睛】 本题主要考查了抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，属于基础题. 8（2021 安徽师范大学附属中学高二期中（文）已知抛物线214yx上的动点 P 到直线:4l y 的距离为 d，A 点坐标为(2,0)，则PAd+的最小值等于（ ） A4 B25 C2 5 D35 【答案】D 【分析】 求得抛物线的焦点坐标和准线方程，得到动点 P 到直线l的距离为33dPEPF ，根据5PFPAFA，即可求解. 【详解】 抛物线214yx化为24xy，可得焦点0,1F，准线方程为1y ，如图所示， 可得动点 P 到直线 l4y 的距离为33dPEPF ， 33PAd
13、PAPEPAPF 又由5PFPAFA，从而353PAdPAPF . 所以PAd+的最小值等于35. 故选：D. 9（2021 贵州凯里实验高级中学高二月考（理）双曲线22:13yC x 的两个焦点是1F、2F，O为原点，点P在C上且2OP ，则12PFF的面积是（ ） A52 B72 C2 D3 【答案】D 【分析】 设点,P x y，根据已知条件求出y的值，利用三角形的面积公式即可求得12PFF的面积. 【详解】 设点,P x y，则2213yx ，所以，2224123OPxyy ，解得32y ， 在双曲线C中，1a ，3b ，222cab，所以，1224FFc， 因此，1 21211343
14、222PF FSFFy . 故选：D. 10（2021 四川射洪中学高二期中（理）已知抛物线24Cyx：，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于11,A x y，22,B x y两点则12 y y的值为（ ） A4 B4 C1 D1 【答案】B 【分析】 根据直线过C的焦点且斜率为k得直线方程，联立直线方程与抛物线方程，消去x得，2440yyk，从而有124y y . 【详解】 抛物线24Cyx：的焦点为1,0F， 过C的焦点且斜率为k的直线方程为1yk x， 因为该直线与抛物线C有两个交点11,A x y，22,B x y，所以0k ， 联立21 ,4yk xyx ，消去x得，2440yyk.
15、由韦达定理得，124y y . 故选：B. 11（2021 湖南高考真题）点(0, 1)到直线3410 xy 的距离为（ ） A25 B35 C45 D1 【答案】D 【分析】 利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】 点(0, 1)到直线3410 xy 的距离为223 041151534d ， 故选：D. 12（2021 北京高考真题）已知圆22:4C xy，直线: l ykxm，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为 2，则m（ ） A2 B2 C3 D5 【答案】C 【分析】 先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】 由题可得圆心为0,0，半径为 2， 则圆心
16、到直线的距离21mdk， 则弦长为222 41mk， 则当0k 时，弦长取得最小值为22 42m，解得3m . 故选：C. 13（2021 浙江高考真题）已知,R,0a bab，函数 2R()f xaxb x.若(),( ),()f stf sf st成等比数列，则平面上点, s t的轨迹是（ ） A直线和圆 B直线和椭圆 C直线和双曲线 D直线和抛物线 【答案】C 【分析】 首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程. 【详解】 由题意得2() () ( )f st f stf s，即2222()()a stba stbasb， 对其进行整理变形： 222222
17、22asatastbasatastbasb， 222222(2)0asatbastasb， 22222 22240asatb ata s t， 22 22 42220a s ta tabt， 所以22220asatb或0t ， 其中2212stbbaa为双曲线，0t 为直线. 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题. 14（2020 全国高考真题（理）若直线 l 与曲线 y=x和 x2+y2=15都相切，则 l 的方程为（ ） Ay=2x+1 By=2x+12 Cy=12x+1 D
18、y=12x+12 【答案】D 【分析】 根据导数的几何意义设出直线l的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】 设直线l在曲线yx上的切点为00,xx，则00 x ， 函数yx的导数为12yx，则直线l的斜率012kx， 设直线l的方程为00012yxxxx，即0020 xx yx， 由于直线l与圆2215xy相切，则001145xx， 两边平方并整理得2005410 xx ，解得01x ，015x （舍）， 则直线l的方程为210 xy ，即1122yx. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 15（2020 全国高考真
19、题（理）设双曲线 C：22221xyab（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为5P 是 C 上一点，且 F1PF2P若 PF1F2的面积为 4，则 a=（ ） A1 B2 C4 D8 【答案】A 【分析】 根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案. 【详解】 5caQ，5ca ，根据双曲线的定义可得122PFPFa， 1 2121|42PF FPFFSP，即12|8PFPF， 12FPF PQ，22212|2PFPFc， 22121224PFPFPFPFc，即22540aa，解得1a ， 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了双曲线的性质以及定义的
20、应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题. 16（2021 湖南高考真题）过圆2240 xyx的圆心且与直线20 xy垂直的直线方程为_ 【答案】220 xy 【分析】 根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为1求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程. 【详解】 由2240 xyx可得2224xy， 所以圆心为2,0， 由20 xy可得2yx ，所以直线20 xy的斜率为2， 所以与直线20 xy垂直的直线的斜率为12， 所以所求直线的方程为：1022yx，即220 xy， 故答案为：220 xy. 17 （2021 天津高考真题） 若斜率为3的直线与y轴
21、交于点A， 与圆2211xy相切于点B， 则AB _ 【答案】3 【分析】 设直线AB的方程为3yxb， 则点0,Ab， 利用直线AB与圆2211xy相切求出b的值， 求出AC，利用勾股定理可求得AB. 【详解】 设直线AB的方程为3yxb，则点0,Ab， 由于直线AB与圆2211xy相切，且圆心为0,1C，半径为1， 则112b，解得1b或3b，所以2AC ， 因为1BC ，故223ABACBC. 故答案为：3. 18（2021 全国高考真题）已知函数12( )1,0,0 xf xexx，函数( )f x的图象在点 11,A xf x和点22,B xf x的两条切线互相垂直，且分别交 y 轴
22、于 M，N 两点，则|AMBN取值范围是_ 【答案】()0,1 【分析】 结合导数的几何意义可得120 xx，结合直线方程及两点间距离公式可得1211xeAxM ，2221xeBxN ，化简即可得解. 【详解】 由题意， 1011,0,xxxexf xeex ，则 0,0 xxxfxeex， 所以点11,1xA xe和点22,1xB x e，12,xxAMBNkeke , 所以12121,0 xxeexx ， 所以111111,0:,11xxxxeexxeAMeyMx ， 所以112221111xxxe xexAM，同理2221xeBxN , 所以1111212222122221110,1111xxxxxxxexeeeeeeNxAMB.故答案为：()0,1 【点睛】 关键点点睛： 解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120 xx，消去一个变量后，运算即可得解.
