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2022年高考数学理科一轮复习《圆锥曲线综合问题》基础练+能力练+真题练(含答案解析)

1、圆锥曲线综合问题圆锥曲线综合问题 1(2021 黑龙江哈尔滨三中高三其他模拟(理)已知双曲线C:2221xya的一个焦点为2,0,则双曲线C的一条渐近线方程为( ) A30 xy B30 xy C310 xy D310 xy 2 (2021 江苏高二专题练习) 已知双曲线22144xyaa(a4)的实轴长是虚轴长的 3 倍, 则实数 a= ( ) A5 B6 C8 D9 3(2021 通辽新城第一中学高三其他模拟(理)已知双曲线22221xyab(0a ,0b )的一条渐近线方程为32yx,则该双曲线的离心率为( ) A213 B72 C72或213 D2 73或2 77 4 (2021 全国

2、高三专题练习)过抛物线24yx的焦点F的直线交抛物线于AB、两点,若F是线段AB的中点,则AB ( ) A1 B2 C3 D4 5(2021 广西浦北中学(理)已知抛物线2:2(0)C xpy p的焦点在直线10 xy 上,又经过抛物线 C 的焦点且倾斜角为60的直线交抛物线 C 于 AB 两点,则|AB ( ) A12 B14 C16 D18 6(2021 全国 (理) ) 已知F为抛物线2:4C yx的焦点, 过点F的直线l交抛物线C于A,B两点, 若6AB ,则线段AB的中点M到抛物线C的准线的距离为( ) A3 B4 C5 D6 7(2020 全国高三专题练习 (理) ) 直线 l 过

3、抛物线22yx的焦点 F, 且 l 与该抛物线交于不同的两点11,A x y,22,B x y若12 3xx,则弦 AB 的长是( ) A4 B5 C6 D8 8(2021 安徽师范大学附属中学高二期中(文)已知抛物线214yx上的动点 P 到直线:4l y 的距离为 d,A 点坐标为(2,0),则PAd+的最小值等于( ) A4 B25 C2 5 D35 9(2021 贵州凯里实验高级中学高二月考(理)双曲线22:13yC x 的两个焦点是1F、2F,O为原点,点P在C上且2OP ,则12PFF的面积是( ) A52 B72 C2 D3 10(2021 四川射洪中学高二期中(理)已知抛物线2

4、4Cyx:,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于11,A x y,22,B x y两点则12 y y的值为( ) A4 B4 C1 D1 11(2021 湖南高考真题)点(0, 1)到直线3410 xy 的距离为( ) A25 B35 C45 D1 12(2021 北京高考真题)已知圆22:4C xy,直线: l ykxm,当k变化时,l截得圆C弦长的最小值为 2,则m( ) A2 B2 C3 D5 13(2021 浙江高考真题)已知,R,0a bab,函数 2R()f xaxb x.若(),( ),()f stf sf st成等比数列,则平面上点, s t的轨迹是( ) A直线和圆 B直线和椭

5、圆 C直线和双曲线 D直线和抛物线 14(2020 全国高考真题(理)若直线 l 与曲线 y=x和 x2+y2=15都相切,则 l 的方程为( ) Ay=2x+1 By=2x+12 Cy=12x+1 Dy=12x+12 15(2020 全国高考真题(理)设双曲线 C:22221xyab(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为5P 是 C 上一点,且 F1PF2P若 PF1F2的面积为 4,则 a=( ) A1 B2 C4 D8 16(2021 湖南高考真题)过圆2240 xyx的圆心且与直线20 xy垂直的直线方程为_ 17 (2021 天津高考真题) 若斜率为3的直线与y轴交于

6、点A, 与圆2211xy相切于点B, 则AB _ 18(2021 全国高考真题)已知函数12( )1,0,0 xf xexx,函数( )f x的图象在点 11,A xf x和点22,B xf x的两条切线互相垂直,且分别交 y 轴于 M,N 两点,则|AMBN取值范围是_ 圆锥曲线综合问题圆锥曲线综合问题 1(2021 黑龙江哈尔滨三中高三其他模拟(理)已知双曲线C:2221xya的一个焦点为2,0,则双曲线C的一条渐近线方程为( ) A30 xy B30 xy C310 xy D310 xy 【答案】A 【分析】 根据, ,a b c的关系求出a,即可得到双曲线的一条渐近线方程 【详解】 因

7、为2c , 所以214a , 所以3a , 即双曲线C:2213xy, 所以双曲线C的渐近线方程为30 xy 故选:A 2 (2021 江苏高二专题练习) 已知双曲线22144xyaa(a4)的实轴长是虚轴长的 3 倍, 则实数 a= ( ) A5 B6 C8 D9 【答案】A 【分析】 根据题意可得434aa,计算即可得解. 【详解】 由双曲线22144xyaa(a4)的实轴长是虚轴长的 3 倍, 可得434aa 可得49(4)aa, 解得5a . 故选:A. 3(2021 通辽新城第一中学高三其他模拟(理)已知双曲线22221xyab(0a ,0b )的一条渐近线方程为32yx,则该双曲线

8、的离心率为( ) A213 B72 C72或213 D2 73或2 77 【答案】B 【分析】 利用双曲线的渐近线方程,推出a、b的关系,然后求解离心率即可 【详解】 双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线的方程是32yx, 可得32ba,所以22234caa, 解得72cea 故选:B 【点睛】 方法点睛:求双曲线的离心率常用的方法:(1)公式法(求出, a c代入离心率的公式即得解);(2)方程法(化简已知得到关于离心率e的方程,解方程得解).要根据已知条件灵活选择方法求解. 4 (2021 全国高三专题练习)过抛物线24yx的焦点F的直线交抛物线于AB、两点,若F是线段AB的

9、中点,则AB ( ) A1 B2 C3 D4 【答案】D 【分析】 依据题意可知线段AB为抛物线的通径可得结果. 【详解】 由题可知:线段AB为抛物线的通径 所以AB4 故选:D 5(2021 广西浦北中学(理)已知抛物线2:2(0)C xpy p的焦点在直线10 xy 上,又经过抛物线 C 的焦点且倾斜角为60的直线交抛物线 C 于 AB 两点,则|AB ( ) A12 B14 C16 D18 【答案】C 【分析】 直线10 xy 与y轴的交点就是抛物线的焦点,从而可求出抛物线方程,然后将倾斜角为60的直线方程与抛物线方程联立成方程组,消去x,整理后利用根与系数的关系可得1214yy,从而再

10、利用抛物线的定义可求出|AB 【详解】 解:因为直线10 xy 与y轴的交点为(0,1), 所以抛物线2:2(0)C xpy p的焦点坐标为(0,1),设(0,1)F,抛物线方程为24xy, 所以过焦点且倾斜角为60的直线方程为31yx, 设1122( ,), (,)A x yB xy, 由2431xyyx,得21410yy , 所以1214yy, 所以12|14216AByyp, 故选:C 6(2021 全国 (理) ) 已知F为抛物线2:4C yx的焦点, 过点F的直线l交抛物线C于A,B两点, 若6AB ,则线段AB的中点M到抛物线C的准线的距离为( ) A3 B4 C5 D6 【答案】

11、A 【分析】 分别过A,M,B作准线的垂线,垂足分别为1A,1M,1B,再由抛物线的定义结合梯形的性质得出M到抛物线C的准线的距离. 【详解】 分别过A,M,B作准线的垂线,垂足分别为1A,1M,1B 则111322AABBABMM 故选:A 7(2020 全国高三专题练习 (理) ) 直线 l 过抛物线22yx的焦点 F, 且 l 与该抛物线交于不同的两点11,A x y,22,B x y若12 3xx,则弦 AB 的长是( ) A4 B5 C6 D8 【答案】A 【分析】 由题意得1p ,再结合抛物线的定义即可求解. 【详解】 由题意得1p , 由抛物线的定义知:12123 1422ppA

12、BAFBFxxxxp , 故选:A 【点睛】 本题主要考查了抛物线的几何性质,考查抛物线的定义,属于基础题. 8(2021 安徽师范大学附属中学高二期中(文)已知抛物线214yx上的动点 P 到直线:4l y 的距离为 d,A 点坐标为(2,0),则PAd+的最小值等于( ) A4 B25 C2 5 D35 【答案】D 【分析】 求得抛物线的焦点坐标和准线方程,得到动点 P 到直线l的距离为33dPEPF ,根据5PFPAFA,即可求解. 【详解】 抛物线214yx化为24xy,可得焦点0,1F,准线方程为1y ,如图所示, 可得动点 P 到直线 l4y 的距离为33dPEPF , 33PAd

13、PAPEPAPF 又由5PFPAFA,从而353PAdPAPF . 所以PAd+的最小值等于35. 故选:D. 9(2021 贵州凯里实验高级中学高二月考(理)双曲线22:13yC x 的两个焦点是1F、2F,O为原点,点P在C上且2OP ,则12PFF的面积是( ) A52 B72 C2 D3 【答案】D 【分析】 设点,P x y,根据已知条件求出y的值,利用三角形的面积公式即可求得12PFF的面积. 【详解】 设点,P x y,则2213yx ,所以,2224123OPxyy ,解得32y , 在双曲线C中,1a ,3b ,222cab,所以,1224FFc, 因此,1 21211343

14、222PF FSFFy . 故选:D. 10(2021 四川射洪中学高二期中(理)已知抛物线24Cyx:,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于11,A x y,22,B x y两点则12 y y的值为( ) A4 B4 C1 D1 【答案】B 【分析】 根据直线过C的焦点且斜率为k得直线方程,联立直线方程与抛物线方程,消去x得,2440yyk,从而有124y y . 【详解】 抛物线24Cyx:的焦点为1,0F, 过C的焦点且斜率为k的直线方程为1yk x, 因为该直线与抛物线C有两个交点11,A x y,22,B x y,所以0k , 联立21 ,4yk xyx ,消去x得,2440yyk.

15、由韦达定理得,124y y . 故选:B. 11(2021 湖南高考真题)点(0, 1)到直线3410 xy 的距离为( ) A25 B35 C45 D1 【答案】D 【分析】 利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】 点(0, 1)到直线3410 xy 的距离为223 041151534d , 故选:D. 12(2021 北京高考真题)已知圆22:4C xy,直线: l ykxm,当k变化时,l截得圆C弦长的最小值为 2,则m( ) A2 B2 C3 D5 【答案】C 【分析】 先求得圆心到直线距离,即可表示出弦长,根据弦长最小值得出m 【详解】 由题可得圆心为0,0,半径为 2, 则圆心

16、到直线的距离21mdk, 则弦长为222 41mk, 则当0k 时,弦长取得最小值为22 42m,解得3m . 故选:C. 13(2021 浙江高考真题)已知,R,0a bab,函数 2R()f xaxb x.若(),( ),()f stf sf st成等比数列,则平面上点, s t的轨迹是( ) A直线和圆 B直线和椭圆 C直线和双曲线 D直线和抛物线 【答案】C 【分析】 首先利用等比数列得到等式,然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程. 【详解】 由题意得2() () ( )f st f stf s,即2222()()a stba stbasb, 对其进行整理变形: 222222

17、22asatastbasatastbasb, 222222(2)0asatbastasb, 22222 22240asatb ata s t, 22 22 42220a s ta tabt, 所以22220asatb或0t , 其中2212stbbaa为双曲线,0t 为直线. 故选:C. 【点睛】 关键点点睛:本题考查轨迹方程,关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形,提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养,属于中等题. 14(2020 全国高考真题(理)若直线 l 与曲线 y=x和 x2+y2=15都相切,则 l 的方程为( ) Ay=2x+1 By=2x+12 Cy=12x+1 D

18、y=12x+12 【答案】D 【分析】 根据导数的几何意义设出直线l的方程,再由直线与圆相切的性质,即可得出答案. 【详解】 设直线l在曲线yx上的切点为00,xx,则00 x , 函数yx的导数为12yx,则直线l的斜率012kx, 设直线l的方程为00012yxxxx,即0020 xx yx, 由于直线l与圆2215xy相切,则001145xx, 两边平方并整理得2005410 xx ,解得01x ,015x (舍), 则直线l的方程为210 xy ,即1122yx. 故选:D. 【点睛】 本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用,属于中档题. 15(2020 全国高考真

19、题(理)设双曲线 C:22221xyab(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为5P 是 C 上一点,且 F1PF2P若 PF1F2的面积为 4,则 a=( ) A1 B2 C4 D8 【答案】A 【分析】 根据双曲线的定义,三角形面积公式,勾股定理,结合离心率公式,即可得出答案. 【详解】 5caQ,5ca ,根据双曲线的定义可得122PFPFa, 1 2121|42PF FPFFSP,即12|8PFPF, 12FPF PQ,22212|2PFPFc, 22121224PFPFPFPFc,即22540aa,解得1a , 故选:A. 【点睛】 本题主要考查了双曲线的性质以及定义的

20、应用,涉及了勾股定理,三角形面积公式的应用,属于中档题. 16(2021 湖南高考真题)过圆2240 xyx的圆心且与直线20 xy垂直的直线方程为_ 【答案】220 xy 【分析】 根据圆的方程求出圆心坐标,再根据两直线垂直斜率乘积为1求出所求直线的斜率,再由点斜式即可得所求直线的方程. 【详解】 由2240 xyx可得2224xy, 所以圆心为2,0, 由20 xy可得2yx ,所以直线20 xy的斜率为2, 所以与直线20 xy垂直的直线的斜率为12, 所以所求直线的方程为:1022yx,即220 xy, 故答案为:220 xy. 17 (2021 天津高考真题) 若斜率为3的直线与y轴

21、交于点A, 与圆2211xy相切于点B, 则AB _ 【答案】3 【分析】 设直线AB的方程为3yxb, 则点0,Ab, 利用直线AB与圆2211xy相切求出b的值, 求出AC,利用勾股定理可求得AB. 【详解】 设直线AB的方程为3yxb,则点0,Ab, 由于直线AB与圆2211xy相切,且圆心为0,1C,半径为1, 则112b,解得1b或3b,所以2AC , 因为1BC ,故223ABACBC. 故答案为:3. 18(2021 全国高考真题)已知函数12( )1,0,0 xf xexx,函数( )f x的图象在点 11,A xf x和点22,B xf x的两条切线互相垂直,且分别交 y 轴

22、于 M,N 两点,则|AMBN取值范围是_ 【答案】()0,1 【分析】 结合导数的几何意义可得120 xx,结合直线方程及两点间距离公式可得1211xeAxM ,2221xeBxN ,化简即可得解. 【详解】 由题意, 1011,0,xxxexf xeex ,则 0,0 xxxfxeex, 所以点11,1xA xe和点22,1xB x e,12,xxAMBNkeke , 所以12121,0 xxeexx , 所以111111,0:,11xxxxeexxeAMeyMx , 所以112221111xxxe xexAM,同理2221xeBxN , 所以1111212222122221110,1111xxxxxxxexeeeeeeNxAMB.故答案为:()0,1 【点睛】 关键点点睛: 解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120 xx,消去一个变量后,运算即可得解.