1、 数列的通项公式与求和公式数列的通项公式与求和公式 一、单选题 1（2021 宁夏中卫市 高三其他模拟（理）设数列 na的前 n 项和为nS，若232*nnSanN，则10622Sa（ ） A243 B244 C245 D246 2（2021 甘肃高三二模（理）数列 na的前n项和为nS，且21nnSa，则nnSa（ ） A22n B122n C22n D122n 3（2021 全国高二专题练习）设nS是数列 na的前n项和，若22nSnn，则2021a（ ） A4043 B4042 C4041 D2021 4（2021 全国高二课时练习）数列 3，7，13，21，31，的通项公式是（ ） A
2、41nan B322nannn C21nann D不存在 5（2021 全国高二课时练习）已知数列1、0、1、0、，可猜想此数列的通项公式是（ ） A1*11nnanN B*1112nnanN C1*111122nnannnN D*11 cos2nannN 5（2021 全国高二课时练习）已知数列1、0、1、0、，可猜想此数列的通项公式是（ ） A1*11nnanN B*1112nnanN C1*111122nnannnN D*11 cos2nannN 7 （2021 宁夏长庆高级中学高一期末） 已知数列 na中，*111,34(,2)nnaaanNn， 求数列 na的前n项和nS为（ ） A
3、13232nnnS B13232nnnS C13432nnnS D1332nnS 8（2021 全国高三其他模拟）设数列an的前 n 项和为 Sn，若11nnan，则 S99（ ） A7 B8 C9 D10 9（2021 新疆高三一模（理）在等差数列 na中，44a ，77a ，其前n项和为nS，则122020111SSSL（ ） A20192020 B20202021 C40392020 D40402021 10（2021 南宁市邕宁高级中学高二期末）数列 na， nb满足1nnab，2nann，则 nb的前 10项和为（ ） A15 B1011 C45 D111 11（2021 甘肃省永昌
4、县第一高级中学高一期末）等比数列 na中，12a ，2q =，数列111nnnnabaa， nb的前n项和为nT，则10T的值为（ ） A40944095 B20462047 C10221023 D510511 12（2021 全国高二课时练习）在数列na中，11a ，122nnnaaa，n+N，则na （ ） A21nan B21nnan C12nnan D221nnan 13（2021 浙江高考真题） 已知数列 na满足111,N1nnnaaana.记数列 na的前n项和为nS，则（ ） A100332S B10034S C100942S D100952S 14（2020 浙江高考真题）我
5、国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n就是二阶等差数列，数列(1)2n n(N )n 的前 3 项和是_ 15（2020 江苏高考真题）设an是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q 的等比数列已知数列an+bn的前 n 项和221()nnSnnnN，则 d+q 的值是_ 16 （2019 江苏高考真题） 已知数列*()nanN是等差数列，nS是其前 n 项和.若25890,27a aaS，则8S的值是_. 17 （2019 全国高考真题 （理） ） 记 Sn为等差数列an的前 n 项和，12103aaa ， 则105SS_. 18（2019 全国高考真
6、题 （理） ） 记 Sn为等比数列an的前 n 项和 若214613aaa， 则 S5=_ 数列的通项公式与求和公式数列的通项公式与求和公式 一、单选题 1（2021 宁夏中卫市 高三其他模拟（理）设数列 na的前 n 项和为nS，若232*nnSanN，则10622Sa（ ） A243 B244 C245 D246 【答案】B 【分析】 先证明数列 na是一个以2为首项， 以3为公比的等比数列， 再求出5510=(31)(31)S，5622(31)a ，即得解. 【详解】 由题得111232,2aaa. 由题得11232,232,(2)nnnnSaSan，所以11233,3,nnnnnaaa
7、aa 所以数列 na是一个以 2 为首项，以 3 为公比的等比数列， 所以101055102(1 3 )=31(31)(31)1 3S ， 55622 322(31)a ，所以51062312442Sa . 故选：B 【点睛】 方法点睛：已知()nnSf a，求数列的通项，通常用项和公式11,1=,2nnnS naSSn求解. 2（2021 甘肃高三二模（理）数列 na的前n项和为nS，且21nnSa，则nnSa（ ） A22n B122n C22n D122n 【答案】B 【分析】 利用1(2)nnnaSSn求出na，则可得nS，进一步可得nnSa. 【详解】 当1n 时，1121Sa，得1
8、1a ， 当2n时，1121nnSa， 所以1122nnnnnaSSaa，即12nnaa，又11a ， 所以数列 na是首项为11a ，公比2q =的等比数列， 所以12nna，1 2211 2nnnS， 所以1121222nnnnnSa. 故选：B 3（2021 全国高二专题练习）设nS是数列 na的前n项和，若22nSnn，则2021a（ ） A4043 B4042 C4041 D2021 【答案】A 【分析】 法一：由202120212020aSS可得； 法二：由数列公式1112nnnSnaSSn，先求通项，再代入求出2021a. 【详解】 法一：22202120212020202120
9、202 20212 20204043aSS ； 法二：22nSnnQ，当1n 时，113aS， 当2n时，2212(1)2(1)21nnnaSSnnnnn. 当1n 时，也适合上式，21nan，则20212 2021 14043a . 故选：A. 【点睛】 （1）设nS是数列 na的前n项和，2nSAnBn na是等差数列. （2）已知nS求na，应用公式1112nnnSnaSSn时，一要注意不要忽略1n 时的情况，二要注意1nnnaSS时的成立条件. 4（2021 全国高二课时练习）数列 3，7，13，21，31，的通项公式是（ ） A41nan B322nannn C21nann D不存在
10、 【答案】C 【分析】 利用累加法求得数列的通项公式. 【详解】 依题意可知112 ,3nnaan a， 所以 123211nnnnnaaaaaaaaL 2212 2 3nn L 222 21312nnnn . 故选：C 【点睛】 本小题主要考查累加法求数列的通项公式，属于基础题. 5（2021 全国高二课时练习）已知数列1、0、1、0、，可猜想此数列的通项公式是（ ） A1*11nnanN B*1112nnanN C1*111122nnannnN D*11 cos2nannN 【答案】D 【分析】 通过反例可排除 ABC，分别在n为奇数和n为偶数时化简 D 中通项公式，可知其满足题意. 【详
11、解】 对于 A，011121a ，A 错误； 对于 B，111 1012a ，B 错误； 对于 C，311 12 1312a ，C 错误； 对于 D，当n为奇数时，cos1n，则11 112na ； 当n为偶数时，cos1n，则11 102na ；D 正确. 故选：D. 6（2021 甘肃省民乐县第一中学高三三模（理）已知数列 na为等比数列，其前n项和为nS，若2672a aa ，36S ，则6a （ ） A2或 32 B2或 64 C2 或32 D2 或64 【答案】B 【分析】 利用等比数列的性质由2672a aa ，可求得12a ，再由36S 可求出q，从而可求出6a的值 【详解】 数
12、列 na为等比数列，267172a aaa a ，解得12a ， 设数列的公比为q，236222Sqq ， 解得2q 或1q ， 当2q ，则66264a ， 当1q ，则62a 故选：B 7 （2021 宁夏长庆高级中学高一期末） 已知数列 na中，*111,34(,2)nnaaanNn， 求数列 na的前n项和nS为（ ） A13232nnnS B13232nnnS C13432nnnS D1332nnS 【答案】C 【分析】 根据题意化简得到123(2)nnaa，得到数列2na 构成首项为3，公比为3的等比数列，求得32nna ，结合等比数列和等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】 由
13、题意，数列 na中，*111,34(,2)nnaaanNn， 可得112363(2)nnnaaa，即1232nnaa， 且123a ，所以数列2na 构成首项为3，公比为3的等比数列， 所以23nna ，即32nna ， 则数列 na的前n项和2333222nnS LL 113 1 333343221 322nnnnnn. 故选：C. 8（2021 全国高三其他模拟）设数列an的前 n 项和为 Sn，若11nnan，则 S99（ ） A7 B8 C9 D10 【答案】C 【分析】 采用裂项相消法求数列的和 【详解】 因为111nannnn ， 所以 992132999810099SL 1001
14、10 19 故选 C. 9（2021 新疆高三一模（理）在等差数列 na中，44a ，77a ，其前n项和为nS，则122020111SSSL（ ） A20192020 B20202021 C40392020 D40402021 【答案】D 【分析】 设 na的公差为d，利用等差数列通项公式结合已知条件，列方程求基本量，进而写出通项公式，即可得前n项和为nS，再根据裂项相消法求目标式的值即可. 【详解】 由题设，若 na的公差为d，则113467adad，得111ad， nan，故(1)2nn nS，则1112()1nSnn， 1220201111111140402(1.)2232020202
15、12021SSSL. 故选：D 10（2021 南宁市邕宁高级中学高二期末）数列 na， nb满足1nnab，2nann，则 nb的前 10项和为（ ） A15 B1011 C45 D111 【答案】B 【分析】 求出1111nnbann，再利用裂项相消法求解即可. 【详解】 因为数列 na， nb满足1nnab，2nann， 所以21111111nnban nnnnn， 所以， nb的前 10 项和为： 111111101122310111111 ， 故选：B. 11（2021 甘肃省永昌县第一高级中学高一期末）等比数列 na中，12a ，2q =，数列111nnnnabaa， nb的前n项
16、和为nT，则10T的值为（ ） A40944095 B20462047 C10221023 D510511 【答案】B 【分析】 先求出na，从而可得11121122121 21nnnnnnb，然后利用裂项相消求和法可求出10T 【详解】 由题意得2nna ，所以1121121212121nnnnnnb， 所以102231011111111111204612 12121212121212047T . 故选：B 12（2021 全国高二课时练习）在数列na中，11a ，122nnnaaa，n+N，则na （ ） A21nan B21nnan C12nnan D221nnan 【答案】A 【分析】
17、 对122nnnaaa变形可得1211122nnnnaaaa，所以1na为以111a=为首项，公差为12的等差数列，即可得解. 【详解】 在na中，11a ， 由122nnnaaa可得1211122nnnnaaaa， 所以1na为以111a=为首项，公差为12的等差数列， 所以1111(1)22nnna ， 所以21nan， 故选：A. 13（2021 浙江高考真题） 已知数列 na满足111,N1nnnaaana.记数列 na的前n项和为nS，则（ ） A100332S B10034S C100942S D100952S 【答案】A 【分析】 显然可知，10012S， 利用倒数法得到2111
18、111124nnnnaaaa， 再放缩可得11112nnaa，由累加法可得24(1)nan，进而由11nnnaaa局部放缩可得113nnanan，然后利用累乘法求得6(1)(2)nann，最后根据裂项相消法即可得到1003S，从而得解 【详解】 因为111,N1nnnaaana，所以0na ，10012S 由211111111241nnnnnnnaaaaaaa 21111111122nnnnaaaa，即11112nnaa 根据累加法可得，111122nnna ，当且仅当1n 时取等号，12412(1)3111nnnnnnaanaaannan 113nnanan， 由累乘法可得6(1)(2)na
19、nn，当且仅当1n 时取等号， 由裂项求和法得： 所以10011111111116632334451011022102SL，即100332S 故选：A 【点睛】 本题解题关键是通过倒数法先找到1,nnaa的不等关系，再由累加法可求得24(1)nan，由题目条件可知要证100S小于某数，从而通过局部放缩得到1,nna a的不等关系，改变不等式的方向得到6(1)(2)nann，最后由裂项相消法求得1003S 14（2020 浙江高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n就是二阶等差数列，数列(1)2n n(N )n 的前 3 项和是_ 【答案】10 【
20、分析】 根据通项公式可求出数列 na的前三项，即可求出 【详解】 因为12nn na，所以1231,3,6aaa 即31231 3610Saaa 故答案为：10. 【点睛】 本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题 15（2020 江苏高考真题）设an是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q 的等比数列已知数列an+bn的前 n 项和221()nnSnnnN，则 d+q 的值是_ 【答案】4 【分析】 结合等差数列和等比数列前n项和公式的特点，分别求得 ,nnab的公差和公比，由此求得dq. 【详解】 设等差数列 na的公差为d，等比数列 nb的公比为q，根据题意1q
21、. 等差数列 na的前n项和公式为2111222nn nddPnadnan， 等比数列 nb的前n项和公式为1111111nnnbqbbQqqqq ， 依题意nnnSPQ，即22111212211nnbbddnnnanqqq ， 通过对比系数可知111212211ddaqbq 112021daqb，故4dq. 故答案为：4 【点睛】 本小题主要考查等差数列和等比数列的前n项和公式，属于中档题. 16 （2019 江苏高考真题） 已知数列*()nanN是等差数列，nS是其前 n 项和.若25890,27a aaS，则8S的值是_. 【答案】16. 【分析】 由题意首先求得首项和公差，然后求解前
22、8 项和即可. 【详解】 由题意可得： 258111914709 89272a aaadadadSad， 解得：152ad ，则818 784028 2162Sad . 【点睛】 等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1,a d的方程组. 17 （2019 全国高考真题 （理） ） 记 Sn为等差数列an的前 n 项和，12103aaa ， 则105SS_. 【答案】4. 【分析】 根据已知求出1a和d的关系，再结合等差数列前 n 项和公式求得结果. 【详解】 因213aa，所以
23、113ada，即12ad， 所以105SS111110 910100245 42552adaaad 【点睛】 本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算渗透了数学运算素养使用转化思想得出答案 18（2019 全国高考真题 （理） ） 记 Sn为等比数列an的前 n 项和 若214613aaa， 则 S5=_ 【答案】1213. 【分析】 本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到5S题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查 【详解】 设等比数列的公比为q，由已知21461,3aaa，所以32511(),33qq又0q ， 所以3,q 所以55151(1 3 )(1)121311 33aqSq 【点睛】 准确计算，是解答此类问题的基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误
