1、2021 年四川省宜宾市南溪区、江安县中考数学二模试卷年四川省宜宾市南溪区、江安县中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）要求，答案涂在答题卡上） 12021 的相反数是（ ） A1202 B2021 C D 2如图是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾的标识，其中是中心对称图形的是（ ） A B C D 3据央广网消息，近年来，数字贸易在国内创造了高达 32000 亿元的经济效益将数据“32000 亿
2、”用科学记数法表示为（ ） A3.21011 B3.21012 C321012 D0.321013 4如图是手提水果篮的几何体，则它的俯视图为（ ） A B C D 5下列运算正确的是（ ） A2a+3a5a2 B（ab2）3a3b6 Ca2a3a6 D（a+2b）2a2+4b2 6某体育用品商店对某一型号运动服 9 月份的销售情况的统计如图所示，店长决定下个月进该型号运动服时多进一些蓝色的，店长的这一决定主要参考销售数据中的（ ） A平均数 B方差 C中位数 D众数 7 如图， 圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm， 母线长是50cm， 制作100个这样的烟囱帽至少需要铁皮 （ ） A40m2
3、 B30m2 C25m2 D20m2 8 如图， 在ABC 中， C90， AC16， AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D， 交 AB 于点 E， 连接 BD，若 CD：DB3：5，则ABC 的面积为（ ） A16 B32 C48 D64 9抗击“新冠肺炎”疫情中，某呼吸机厂家接到一份生产 300 台呼吸机的订单，在生产完成一半时，应客户要求，需提前供货，每天比原来多生产 20 台呼吸机，结果提前 2 天完成任务设原来每天生产 x 台呼吸机，下列列出的方程中正确的是（ ） A+2 B+2 C2 D2 10若关于 x 的一元一次不等式组的解集为 xa；且关于 y 的分式方程+1 有正整
4、数解，则所有满足条件的整数 a 的值之积是（ ） A7 B14 C28 D56 11如图，在边长为 12 的正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，BE4，且GCE45，则 GE（ ） A8 B10 C12 D16 12如图，ABC 和DEF 都是边长为 2 的等边三角形，它们的边 BC，EF 在同一条直线 l 上，点 C，E重合现将ABC 沿着直线 l 向右移动，直至点 B 与 F 重合时停止移动在此过程中，设点 C 移动的距离为 x，两个三角形重叠部分的面积为 y，则 y 随 x 变化的函数图象大致为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个
5、小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，答案写在答题卡上）分，答案写在答题卡上） 13分解因式：2a28ab+8b2 14如图，某小区有古树 3 棵，分别记作为 M，N，P，若建立平面直角坐标系，将古树 M，N 用坐标分别表示为（1，1）和（2，4），则古树 P 用坐标表示为 15如图，直线 ABCD，直线 EF 分别交 AB、CD 于 E、F 两点，EG 平分AEF，若132，则2 16在“抗疫”期间，某药店计划一次购进 A、B 两种型号的口罩共 200 盒，每盒 A 型口罩的销售利润为7.5 元，每盒 B 型口罩的销售利润为 10 元，若要求 B 型口罩的进货量不超过 A 型口罩的 3
6、倍，且完全售出后利润不少于 1870 元，则该药店在此次进货中获得的最大利润是 元 17如图，在ABC 中，ABAC，B45，AC5，BC4；E 是 AB 边上一点，将BEC 沿 EC 所在直线翻折得到DEC，DC 交 AB 于 F，当 DEAC 时，tanDCE 的值为 18如图，在矩形 ABCD 中，ADAB，BAD 的平分线交 BC 于点 E，DHAE 于点 H，连接 BH 并延长交 CD 于点 F， 连接 DE 交 BF 于点 O 下列结论： AEAD； AEDCED； H 为 BF 的中点；CFDF其中正确的有 （将所有正确结论的序号填在横线上） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大
7、题共 7 个小题，共个小题，共 78 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程写在答分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程写在答题卡上）题卡上） 19（1）计算：（1）0（）1+1|2cos30 （2）先化简，再求值：（x1），其中 x+3 20如图，在四边形 ABCD 中，ARt，对角线 BD 平分ABC，且 BDBC，CEBD 于点 E （1）求证：ABDEBC； （2）当ADB60时，求DCE 的度数 21“学而时习之，不亦说乎？”古人把经常复习当作是一种乐趣某校为了解九年级（一）班学生每周的复习情况，班长对该班学生每周的复习时间进行了调查，复习时间四舍五入后只
8、有 4 种：1 小时，2小时，3 小时，4 小时，已知该班共有 50 人，根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图表，该班女生一周的复习时间数据（单位：小时）如下： 1，1，1，2，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4 九年级（一）班女生一周复习时间频数分布表 复习时间 频数（学生人数） 1 小时 3 2 小时 a 3 小时 4 4 小时 6 （1）统计表中 a ，该班女生一周复习时间的中位数为 小时； （2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为 4 小时所对应圆心角的度数为 ； （3）该校九年级共有 600 名学生，通过计算估计一周复习时间为 4 小时的学生有多少名？
9、 （4）在该班复习时间为 4 小时的女生中，选择其中四名分别记为 A，B，C，D，为了培养更多学生对复习的兴趣，随机从该四名女生中选取两名进行班会演讲，请用树状图或者列表法求恰好选中 B 和 D 的概率 22周末时，小明和妈妈在小区对面的山上玩，回家走到 E 点时，在 E 点处测得楼顶 A 的仰角为 53，沿着坡度 i1：2.4 的山坡向下走了 13 米达到 C 处，再往前走了 42 米达到了 B 处，求小明家所住楼房的高度（精确到米） （参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75） 23如图所示，直线 yx 与反比例函数 y（k0，x0）的图象交于点 Q（4，a），
10、点 P（m，n）是反比例函数图象上一点，且 n2m （1）求反比例函数和直线 PQ 的解析式； （2）若点 M 在 x 轴上，使得PMQ 的面积为 3，求点 M 的坐标 24如图，在ABC 中，ACB90，BAC 的角平分线 AD 交 BC 于点 D，过点 D 作 DEAD 交 AB于点 E，以 AE 为直径作O （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若 AC3，BC4，求 BE 的长； （3）在（2）的条件下求 tanEDB 的值 25如图，抛物线与 x 轴交于 A（1，0）、B（3，0），交 y 轴于 C（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）P 是直线 BC 上方的抛物线上的一个动
11、点，设 P 的横坐标为 t，P 到 BC 的距离为 h，求 h 与 t 的函数关系式，并求出 h 的最大值； （3）设点 M 是 x 轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点 N，使得以点 A、C、M、N 为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点 N 坐标 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）要求，答案涂在答题卡上） 12021 的相反数是（ ） A1202 B2021 C D 【分析】绝对值相等
12、，符号相反的两个数互为相反数根据相反数的定义，则 2021 的相反数为2021 解：绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数 根据相反数的定义，则 2021 的相反数为2021 故选：B 2如图是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾的标识，其中是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析 解： 选项 B 能找到这样的一个点， 使图形绕这一点旋转 180后原来的图形重合， 所以是中心对称图形； 选项 A、C、D 不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180
13、后原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 故选：B 3据央广网消息，近年来，数字贸易在国内创造了高达 32000 亿元的经济效益将数据“32000 亿”用科学记数法表示为（ ） A3.21011 B3.21012 C321012 D0.321013 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为整数，且 n 比原来的整数位数少 1 解：32000 亿32000000000003.21012 故选：B 4如图是手提水果篮的几何体，则它的俯视图为（ ） A B C D 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中 解：从上面看，是
14、一个圆，圆的中间有一条横向的线段 故选：B 5下列运算正确的是（ ） A2a+3a5a2 B（ab2）3a3b6 Ca2a3a6 D（a+2b）2a2+4b2 【分析】分别根据合并同类项法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式逐一判断即可 解：A.2a+3a5a，故本选项不合题意； B（ab2）3a3b6，正确； Ca2a3a5，故本选项不合题意； D（a+2b）2a2+4ab+4b2，故本选项不合题意 故选：B 6某体育用品商店对某一型号运动服 9 月份的销售情况的统计如图所示，店长决定下个月进该型号运动服时多进一些蓝色的，店长的这一决定主要参考销售数据中的（ ） A平均数
15、 B方差 C中位数 D众数 【分析】在决定本周进女装时多进一些蓝色的，主要考虑的是各色女装的销售的数量，而蓝色上周销售量最大 解：在决定本周进女装时多进一些蓝色的，主要考虑的是各色女装的销售的数量，而蓝色上周销售量最大 由于众数是数据中出现次数最多的数，故考虑的是各色女装的销售数量的众数 故选：D 7 如图， 圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm， 母线长是50cm， 制作100个这样的烟囱帽至少需要铁皮 （ ） A40m2 B30m2 C25m2 D20m2 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式计算出圆锥的侧面
16、积，然后把圆锥的侧面积乘以 100 即可 解：根据题意，圆锥的侧面积为：80502000（cm2）， 所以 100 个这样的烟囱帽至少需要铁皮的面积为：1002000cm220m2 故选：D 8 如图， 在ABC 中， C90， AC16， AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D， 交 AB 于点 E， 连接 BD，若 CD：DB3：5，则ABC 的面积为（ ） A16 B32 C48 D64 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 ADBD，根据题意求出 AD、CD，根据勾股定理求出 BC，根据三角形的面积公式计算，得到答案 解：MN 是 AB 的垂直平分线， ADBD， CD：DB3：
17、5，AC16， ADBD10，CD6， ACAD+CD16， 由勾股定理得：BC8， 则 SABCACBC16864， 故选：D 9抗击“新冠肺炎”疫情中，某呼吸机厂家接到一份生产 300 台呼吸机的订单，在生产完成一半时，应客户要求，需提前供货，每天比原来多生产 20 台呼吸机，结果提前 2 天完成任务设原来每天生产 x 台呼吸机，下列列出的方程中正确的是（ ） A+2 B+2 C2 D2 【分析】根据完成前一半所用时间+后一半所用时间原计划所用时间2 可列出方程 解：设原来每天生产 x 台呼吸机， 根据题意可列方程：+2， 整理，得：2， 故选：D 10若关于 x 的一元一次不等式组的解集
18、为 xa；且关于 y 的分式方程+1 有正整数解，则所有满足条件的整数 a 的值之积是（ ） A7 B14 C28 D56 【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出 a 的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正整数解，确定出 a 的值，求出之和即可 解：不等式组整理得：， 由解集为 xa，得到 a7， 分式方程去分母得：ya+3y4y2，即 3ya+2， 解得：y， 由 y 为正整数解，且 y2 得到 a1，7 177， 故选：A 11如图，在边长为 12 的正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，BE4，且GCE45，则 GE（ ） A8 B10 C12 D16 【分析】如
19、图，将EBC 绕点 C 按顺时针方向旋转 90得到DCM，由“SAS”可证CGECGM，可得 EGMG，由勾股定理可求解 解：如图，将EBC 绕点 DC 按顺时针方向旋转 90得到DCM EBC 绕点 DC 按顺时针方向旋转 90得到DCM CECM，ECM90，BCDM90， CDM+CDG180， 点 G，点 D，点 M 三点共线， GCE45， GCM45， GCEGCM， CGECGM（SAS）， EGMG； 设 EGMGx， BEDM4，ABBC12， AEABBE1248，AMAD+DM12+416， AGAMGM16x 在 RtEAG 中，由勾股定理得 EA2+AG2EG2， 即
20、 82+（16x）2x2， 解得：x10， 则 GE 的长为 10， 故选：B 12如图，ABC 和DEF 都是边长为 2 的等边三角形，它们的边 BC，EF 在同一条直线 l 上，点 C，E重合现将ABC 沿着直线 l 向右移动，直至点 B 与 F 重合时停止移动在此过程中，设点 C 移动的距离为 x，两个三角形重叠部分的面积为 y，则 y 随 x 变化的函数图象大致为（ ） A B C D 【分析】分为 0 x2、2x4 两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得 y 与x 的函数关系式，于是可求得问题的答案 解：如图 1 所示：当 0 x2 时，过点 G 作 GHBF 于
21、 H ABC 和DEF 均为等边三角形， GEJ 为等边三角形 GHEJx， yEJGHx2 当 x2 时，y，且抛物线的开口向上 如图 2 所示：2x4 时，过点 G 作 GHBF 于 H yFJGH（4x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，答案写在答题卡上）分，答案写在答题卡上） 13分解因式：2a28ab+8b2 2（a2b）2 【分析】原式提取 2，再利用完全平方公式分解即可 解：原式2（a24ab+4b2）2（a2b）2， 故答案为：2（a2b）2 14如图
22、，某小区有古树 3 棵，分别记作为 M，N，P，若建立平面直角坐标系，将古树 M，N 用坐标分别表示为（1，1）和（2，4），则古树 P 用坐标表示为 （4，3） 【分析】根据 M 与 N 的坐标建立平面直角坐标系，确定出 P 的坐标即可 解：古树 M，N 用坐标分别表示为（1，1）和（2，4），如图建立平面直角坐标系， 则点 P 的坐标分别为（4，3）， 故答案为（4，3） 15如图，直线 ABCD，直线 EF 分别交 AB、CD 于 E、F 两点，EG 平分AEF，若132，则2 64 【分析】根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得到1AEG，再利用角平分线的性质推出AEF21，再根
23、据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”就可求出2 的度数 解：ABCD， 1AEG EG 平分AEF， AEF2AEG， AEF2164 264 故答案为：64 16在“抗疫”期间，某药店计划一次购进 A、B 两种型号的口罩共 200 盒，每盒 A 型口罩的销售利润为7.5 元，每盒 B 型口罩的销售利润为 10 元，若要求 B 型口罩的进货量不超过 A 型口罩的 3 倍，且完全售出后利润不少于 1870 元，则该药店在此次进货中获得的最大利润是 1875 元 【分析】设购进 A 型口罩 x 盒，则购进 B 型口罩（200 x）盒，根据“要求 B 型口罩的进货量不超过 A型口罩的 3 倍，且
24、完全售出后利润不少于 1870 元”，即可得出关于 x 的一元一次不等式组，解之即可得出 x 的取值范围，结合 x 为正整数即可得出可以取的各 x 值，再利用总利润每盒的销售利润销售数量，可分别求出取各 x 值时获得的总利润，比较后即可得出结论 解：设购进 A 型口罩 x 盒，则购进 B 型口罩（200 x）盒， 依题意得：， 解得：50 x52， 又x 为正整数， x 可以取 50，51，52， 当 x50 时，该药店在此次进货中获得的利润是 7.550+10（20050）1875（元）； 当 x51 时，该药店在此次进货中获得的利润是 7.551+10（20051）1872.5（元）； 当
25、 x52 时，该药店在此次进货中获得的利润是 7.552+10（20052）1870（元） 18751872.51870， 该药店在此次进货中获得的最大利润是 1875 元 故答案为：1875 17如图，在ABC 中，ABAC，B45，AC5，BC4；E 是 AB 边上一点，将BEC 沿 EC 所在直线翻折得到DEC，DC 交 AB 于 F，当 DEAC 时，tanDCE 的值为 【分析】 作 CHAB 于 H， EMBC 于 M， 因为B45， BC4， 所以 BHCH4， 因为 AC5，所以 AH3，AB7，由题意，可得ACDDB45，DCEBCE， 所以ACEAEC，即 AEAC5，可得
26、 BE2，BMEM，在 RtCEM 中，利用锐角三角函数定义即可得出 tanDCE 的值 解：如图，作 CHAB 于 H，EMBC 于 M， B45，BC4， BHCH4， AC5， AH3， ABAH+BH3+47， 将BEC 沿 EC 所在直线翻折得到DEC，且 DEAC， ACDDB45，DCEBCE， ACEACD+DCEB+BCEAEC， AEAC5， BEABAE752， BMEM， BC4， MC， tanDCE 故答案为： 18如图，在矩形 ABCD 中，ADAB，BAD 的平分线交 BC 于点 E，DHAE 于点 H，连接 BH 并延长交 CD 于点 F， 连接 DE 交 B
27、F 于点 O 下列结论： AEAD； AEDCED； H 为 BF 的中点；CFDF其中正确的有 （将所有正确结论的序号填在横线上） 【分析】设 ABa，则 ADa，用 a 表示出 AE 长度可判断；证明 DHDC 即可说明；证明DHFEBH，可判断；用含 a 是式子表示 CF 与 DF，比较即可判断 解：设 ABa，则 ADa， AE 平分BAD， BAE45， BABE 在 RtABE 中，AEa， AEAD，故正确； DHAH，DAE45，ADa， DHAHa， DHDC， DE 平分AEC， AEDCED，故正确； AHABa， ABHAHB， ABCD， ABF+DFB180， 又A
28、HB+BHE180， BHEHFD，HEBFDH45， 在DHF 和EBH 中， ， DHFEBH（AAS）， BHHF， 点 H 是 BF 的中点，故正确； BHEHFD， HEDFAEAHaa， CFa（aa）2aa， CFDF，故错误； 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个小题，共个小题，共 78 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程写在答分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程写在答题卡上）题卡上） 19（1）计算：（1）0（）1+1|2cos30 （2）先化简，再求值：（x1），其中 x+3 【分析】（1）根据零指数幂的意义，负整数
29、指数幂的意义、绝对值的意义以及特殊锐角三角函数的值即可求出答案 （2）先根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将 x 的值代入原式即可求出答案 解：（1）原式 1 （2）原式 ， 当时， 原式 1+2 20如图，在四边形 ABCD 中，ARt，对角线 BD 平分ABC，且 BDBC，CEBD 于点 E （1）求证：ABDEBC； （2）当ADB60时，求DCE 的度数 【分析】（1）由“AAS”可证：ABDEBC； （2）由等腰三角形的性质可求BDC75，即可求解 【解答】证明：（1）BD 平分ABC， ABDCBD， BDBC，ACEB90， ABDEBC（AAS） （2）ADB60，
30、 ABD30， ABDEBC， ABDDBC30，且 BDBC， BDC75， CEBD， CED90， DCE15 21“学而时习之，不亦说乎？”古人把经常复习当作是一种乐趣某校为了解九年级（一）班学生每周的复习情况，班长对该班学生每周的复习时间进行了调查，复习时间四舍五入后只有 4 种：1 小时，2小时，3 小时，4 小时，已知该班共有 50 人，根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图表，该班女生一周的复习时间数据（单位：小时）如下： 1，1，1，2，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4 九年级（一）班女生一周复习时间频数分布表 复习时间 频数（学生人数） 1 小
31、时 3 2 小时 a 3 小时 4 4 小时 6 （1）统计表中 a 7 ，该班女生一周复习时间的中位数为 2.5 小时； （2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为 4 小时所对应圆心角的度数为 72 ； （3）该校九年级共有 600 名学生，通过计算估计一周复习时间为 4 小时的学生有多少名？ （4）在该班复习时间为 4 小时的女生中，选择其中四名分别记为 A，B，C，D，为了培养更多学生对复习的兴趣，随机从该四名女生中选取两名进行班会演讲，请用树状图或者列表法求恰好选中 B 和 D 的概率 【分析】（1）由已知数据可得 a 的值，利用中位数的定义求解可得； （2）先根据百分比之和等于 1
32、 求出该班男生一周复习时间为 4 小时所对应的百分比，再乘以 360即可得； （3）用总人数乘以样本中一周复习时间为 4 小时的学生所占比例即可得； （4）通过树状图展示 12 种等可能的结果数，找出恰好选中 B 和 D 的结果数，然后根据概率公式求解 解：（1）由题意知 a7，该班女生一周复习时间的中位数为2.5（小时）， 故答案为：7，2.5； （2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为 4 小时所对应的百分比为 1（10%+20%+50%）20%， 该班男生一周复习时间为 4 小时所对应的圆心角的度数为 36020%72， 故答案为：72； （3）估计一周复习时间为 4 小时的学生有 6
33、00144（名）； 答：估计一周复习时间为 4 小时的学生有 144 名 （4）画树状图得： 一共有 12 种可能出现的结果，它们都是等可能的，恰好选中 B 和 D 的有 2 种结果， 恰好选中 B 和 D 的概率为 P 答：恰好选中 B 和 D 的概率为 22周末时，小明和妈妈在小区对面的山上玩，回家走到 E 点时，在 E 点处测得楼顶 A 的仰角为 53，沿着坡度 i1：2.4 的山坡向下走了 13 米达到 C 处，再往前走了 42 米达到了 B 处，求小明家所住楼房的高度（精确到米） （参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75） 【分析】过点 E 作 EFBC
34、 的延长线于点 F，作 EHAB 于点 H，根据坡度的概念求出 EF、CH，根据正切的定义求出 AH，计算即可 解：过点 E 作 EFBC 的延长线于点 F，作 EHAB 于点 H， 在 RtCEF 中，iEF：CF，CE13 米， EF5 米，CF12 米， BHEF5 米，HEBFBC+CF42+1254（米）， 在 RtAHE 中，HAE905337， AH72（米）， ABAH+HB72+577（米） 答：小明家所住楼房的高度约为 77 米 23如图所示，直线 yx 与反比例函数 y（k0，x0）的图象交于点 Q（4，a），点 P（m，n）是反比例函数图象上一点，且 n2m （1）求反
35、比例函数和直线 PQ 的解析式； （2）若点 M 在 x 轴上，使得PMQ 的面积为 3，求点 M 的坐标 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数解析，再利用反比例函数 k 的意义得 P 点的坐标，最后利用待定系数法得一次函数解析式； （2）先求点 A（6，0），再设 M（a，0），根据 SPQMSPAMSQAM且PMQ 的面积为 3，列出方程，解方程可得问题的答案 解：（1）直线与反比例函数的图象交于点 Q（4，a）， ， k8， 反比例函数的解析式为， 点 P（m，n）是反比例函数图象上一点， mn8，且 n2m，m0， m2，n4， P（2，4）， 设直线 PQ 的解析式为 ycx+
36、b， ， 解得， 直线 PQ 的解析式为 yx+6； （2）直线 PQ 交 x 轴于点 A， 令 y0，x+60，得 x6， A（6，0）， 设 M（a，0）， AM|6a| SPQMSPAMSQAM且PMQ 的面积为 3， ， a3 或 a9， 点 M 的坐标为（3，0）或（9，0） 24如图，在ABC 中，ACB90，BAC 的角平分线 AD 交 BC 于点 D，过点 D 作 DEAD 交 AB于点 E，以 AE 为直径作O （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若 AC3，BC4，求 BE 的长； （3）在（2）的条件下求 tanEDB 的值 【分析】（1）连接 OD，由 AE 为直径
37、、DEAD 可得出点 D 在O 上且DAOADO，根据 AD 平分CAB 可得出CADDAOADO，由“内错角相等，两直线平行”可得出 ACDO，再结合C90即可得出ODB90，进而即可证出 BC 是O 的切线； （2） 在RtACB中， 利用勾股定理可求出AB的长度， 设ODr， 则BO5r， 由ODAC可得出，代入数据即可求出 r 值，再根据 BEABAE 即可求出 BE 的长度 （3）接着利用勾股定理计算 BD，则 CD，利用正切定义得 tanCAD，然后证明CADEDB，从而得到 tanEDB 的值 【解答】（1）证明：连接 OD，如图所示 在 RtADE 中，点 O 为 AE 的中心
38、， DOAOEOAE， 点 D 在O 上，且DAOADO 又AD 平分CAB， CADDAO， ADOCAD， ACDO C90， ODB90，即 ODBC 又OD 为半径， BC 是O 的切线； （2）解：在 RtACB 中，AC3，BC4， AB5 设 ODr，则 BO5r ODAC， BDOBCA， ，即， 解得：r， BEABAE5 （3）解：OD，OB， 在 RtODB 中，BD， CDBCBD， 在 RtACD 中，tanCAD， AE 为直径， ADE90， EDB+ADC90， CAD+ADC90， CADEDB， tanEDB 25如图，抛物线与 x 轴交于 A（1，0）、B
39、（3，0），交 y 轴于 C（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）P 是直线 BC 上方的抛物线上的一个动点，设 P 的横坐标为 t，P 到 BC 的距离为 h，求 h 与 t 的函数关系式，并求出 h 的最大值； （3）设点 M 是 x 轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点 N，使得以点 A、C、M、N 为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点 N 坐标 【分析】（1）由 A、B、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）过点 P 作 PDx 轴于点 D，交 BC 于点 E，PHBC 于点 H，连接 PB、PC，可先求得直线 BC 的解析式，则可用 t 分别表
40、示出 E 的坐标，从而可表示出 PE 的长，再可用 t 表示出PBC 的面积，再利用等积法可用 t 表示出 h，利用二次函数的性质可求得 h 的最大值； （3）分 AM、CM 和 AC 为对角线三种情况，分别根据菱形的性质可求得 N 点的坐标 解：（1）抛物线 yax2+bx+c 过 A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点， ，解得 ， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3； （2）如图 1，过点 P 作 PDx 轴于点 D，交 BC 于点 E，PHBC 于点 H，连接 PB、PC， B（3，0）、C（0，3）， OBOC3，BC， 设直线 BC 解析式为 ykx+n，则 ，解得 ， 直线
41、 BC 解析式为 yx+3， 点 P 的横坐标为 t，且在抛物线 yx2+2x+3 上， P（t，t2+2t+3）， 又PDx 轴于点 D，交 BC 于点 E， D（t，0），E（t，t+3）， PE（t2+2t+3）（t+3）t2+3t， SPBC PE（ xBxC ） （t2+3t）3 t2+ t， 又SPBC BCPH3 hh， ht2+t， h 与 t 的函数关系式为：ht2+t（0t3）， ， 当 t时，h 有最大值为 ； （3）存在 若 AM 为菱形对角线，如图 2， 则 AM 与 CN 互相垂直平分， N（0，3）； 若 CM 为菱形对角线，如图 3 和图 4， 则 CNAMAC， N（，3）或 N（ ，3）； 若 AC 为菱形对角线，如图 5， 则 CNAMCM， 设 M（m，0）， 由 CM2AM2，得 m2+32（m+1）2， 解得 m4， CNAMCM5， N（5，3） 综上可知存在点 N，使得以点 A、C、M、N 为顶点的四边形是菱形，符合条件的点 N 有 4 个： （0，3）或（，3）或（ ，3）或（5，3）
