2022届高三数学一轮复习考点32:正弦定理余弦定理的应用(解析版)

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1、考点 32 正弦定理、余弦定理的应用 【命题解读】【命题解读】 高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活,题型多变,往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理,以解答题的形式综合考查定理的综合应用,多与三角形周长、面积有关;有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查,试题难度控制在中等或以下,主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等 【基础知识回顾基础知识回顾】 1仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图) 2方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 (如图) 3方向角:相对于某

2、一正方向的水平角 (1)北偏东 ,即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向(如图) (2)北偏西 ,即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向 (3)南偏西等其他方向角类似 区分两种角 (1)方位角:从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角 (2)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 4坡角与坡度 (1)坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图,角 为坡角) (2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图,i 为坡度)坡度又称为坡比 1 为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩 A,B(如图),要测量 A,B 两点的距离,测量人员在岸边定出基线 BC,测得 BC50 m,

3、ABC105 ,BCA45 就可以计算出 A,B 两点的距离为_ A20 2 m B30 2 m C40 2 m D50 2 m 【答案】 :D 【解析】 :由正弦定理得,则 AB50 2(m) 2 如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120 的扇形 AOB,C 是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 min,从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 min若此人步行的速度为每分钟 50 m,则该扇形的半径为_m A50 3 B50 5 C50 7 D50 11 【答案】 :C 【解析】连结 OC,在OCD 中,OD100,CD

4、150,CDO60 , 由余弦定理可得 OC2100215022 100 1501217 500,解得 OC50 7(m) 3 如图,一艘船上午 9:30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30 处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10:00 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75 处,且与它相距 8 2 n mile此船的航速是_n mile/h A16 B32 C64 D128 【答案】 :B 【解析】 :设航速为 v n mile/h,在ABS 中,AB12v,BS8 2 n mile,BSA45 , 由正弦定理,得8 2sin3012vsin45, v32 n m

5、ile/h 4 某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为 45距离为 10 海里的 C 处,并测得渔轮正沿方位角为 105 的方向,以 9 海里/小时的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以 21 海里/小时的速度前去营救,则舰艇靠近渔轮所需的时间为_小时 A12 B23 C34 D1 【答案】 :B 【解析】 :如图,设舰艇在 B处靠近渔轮,所需的时间为 t 小时,则 AB21t,CB9t 在ABC 中,根据余弦定理,则有 AB2AC2BC22AC BCcos120 , 可得 212t210281t22 10 9t12 整理得 360t290t10

6、00,解得 t23或 t512(舍去) 故舰艇需23小时靠近渔轮 考向一 利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题 例 1、 某市电力部门需要在 A, B 两地之间架设高压电线, 因地理条件限制, 不能直接测量 A, B 两地距离 现测量人员在相距 3 km 的 C, D 两地(假设 A, B, C, D 在同一平面上), 测得ACB75, BCD45,ADC30,ADB45(如图),假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因,实际所须电线长度大约应该是 A,B 距离的43倍,问施工单位至少应该准备多长的电线? 【解析】 :在ACD 中,由已知可得CAD30 ,所以 AC 3 km 在BCD 中,由

7、已知可得,CBD60 sin75 sin(45 30 )6 24 由正弦定理,BC3sin75sin606 22 cos75 cos(45 30 )6 24 在ABC 中,由余弦定理 AB2AC2BC22AC BCcosBCA 326 2222 36 22 cos75 5 所以 AB 5,故施工单位应该准备电线长为435 km 变式 1、如图,有一段河流,河的一侧是以 O 为圆心,半径为 10 3 m 的扇形区域 OCD,河的另一侧是一段笔直的河岸 l,岸边有一烟囱 AB(不计 B 离河岸的距离),且 OB 的连线恰好与河岸 l 垂直,设 OB 与圆弧的交点为 E经测量,扇形区域和河岸处于同一

8、水平面,在点 C,点 O 和点 E 处测得烟囱 AB 的仰角分别为45,30和 60 (1) 求烟囱 AB 的高度; (2) 如果要在 CE 间修一条直路,求 CE 的长 【解析】 :(1) 设 AB 的高度为 h在CAB 中,因为ACB45 ,所以 CBh 在OAB 中,因为AOB30 ,AEB60 , 所以 OB 3h,EB33h 由题意得 3h3h310 3,解得 h15 故烟囱 AB 的高度为 15 m (2) 在OBC 中,cosCOBOC2OB2BC22OC OB300225 32252 10 3 15 356 所以在OCE 中,CE2OC2OE22OC OE cosCOE3003

9、0060056100 故 CE 的长为 10 m 变式 2、在海岸 A 处,发现北偏东 45方向,距离 A 为( 31) nmile 的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西75的方向,距离 A 为 2 nmile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 nmile/h 的速度追截走私船此时,走私船正以 10 nmile/h 的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船? 【解析】 : 如题图所示,注意到最快追上走私船且两船所用时间相等,若在 D 处相遇,则可先在ABC中求出 BC,再在BCD 中求BCD 设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船,则有 CD10 3t

10、,BD10t,在ABC 中, AB 31,AC2,BAC120 , 由余弦定理得 BC2AB2AC22AB AC cosBAC ( 31)2222 ( 31) 2 cos120 6, BC 6 cosCBABC2AB2AC22BC AB6( 31)242 6 ( 31)22, CBA45 ,即 B 在 C 正东 CBD90 30 120 ,在BCD 中,由正弦定理得 sinBCDBD sinCBDCD10tsin12010 3t12, BCD30 即缉私船沿北偏东 60 方向能最快追上走私船 变式 3、如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船

11、乙以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙,刚好用 2 h 追上,此时到达 C 处 (1) 求渔船甲的速度; (2) 求 sin 的值 【解析】 :(1) 依题意知,BAC120 ,AB12 海里,AC10 220 海里, BCA在ABC 中,由余弦定理, 得 BC2AB2AC22AB AC cosBAC 1222022 12 20 cos120 784,解得 BC28 海里 所以渔船甲的速度为BC214 海里/小时 (2) 在ABC 中,因为 AB12 海里,BAC120 ,BC28 海里,BCA, 由正弦定理,得ABsi

12、nBCsin120 即 sinAB sin120BC1232283 314 方法总结:(1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理 考向二 正余弦定理在三角形中的运用 例 2、(2015 南京、盐城、徐州二模)如图,在ABC 中,D 是 BC 上的一点已知B60 ,AD2,AC 10,DC 2,则 AB_. 【答案答案】2 63 【解析解析】 、在ACD 中,因为 AD2,AC 10,DC 2,所以 cosADC241022 222,从而A

13、DC135 ,所以ADB45 .在ADB 中,ABsin452sin60,所以 AB222322 63 变式 1、(2015 南通、扬州、淮安、连云港二调)如图,在ABC 中,AB3,AC2,BC4,点 D 在边BC 上,BAD45 ,则 tanCAD 的值为_ 【答案答案】8 157 【解析解析】 、 从构造角的角度观察分析, 可以从差的角度(CADA45 ), 也可以从和的角度(ACAD45 ),所以只需从余弦定理入手求出A 的正切值,问题就迎刃而解了 解法 1 在ABC 中,AB3,AC2,BC4,由余弦定理可得 cosA32224223214,所以 tanA 15,于是 tanCADt

14、an(A45 )tanAtan451tanAtan458 157. 解法 2 由解法 1 得 tanA 15.由 tan(45 CAD) 15得tan45 tanCAD1tan45 tanCAD 15,即1tanCAD1tanCAD 15,解得 tanCAD8 157. 变式 2、 (2017 徐州、 连云港、 宿迁三检) 如图, 在ABC中, 已知点D在边AB上,3ADDB,4cos5A,5cos13ACB,13BC (1)求cosB的值; (2)求CD的长 A B C D (第 15 题) 解析: (1)在ABC中,4cos5A,(0,)A, 所以2243sin1 cos1 ( )55AA

15、 同理可得,12sin13ACB 所以coscos()cos()BAACBAACB sinsincoscosAACBAACB 3 12451651351365 (2)在ABC中,由正弦定理得,1312sin203sin135BCABACBA 又3ADDB,所以154BDAB 在BCD中,由余弦定理得,222cosCDBDBCBD BCB 22165132 5 1365 9 2 变式 3、(2016 徐州、连云港、宿迁三检)如图,在梯形 ABCD 中,已知 ADBC,AD1,BD2 10,CAD4,tanADC2. (1) 求 CD 的长; (2) 求BCD 的面积 解析: (1)因为 tanA

16、DC2,且ADC(0,),所以 sinADC2 55,cosADC55. 所以 sinACDsinADC4 sinADC4 sinADC cos4cosADC sin4 1010,(6 分) 在ADC 中,由正弦定理得 CDAD sinDACsinACD 5 (2) 因为 ADBC, 所以 cosBCDcosADC55,sinBCDsinADC2 55 在BDC 中,由余弦定理得 BD2BC2CD22BC CD cosBCD, 得 BC22BC350,解得 BC7, (12 分) 所以 SBCD12BC CD sinBCD127 52 557. 变式 4、 (2017 年苏北四市模拟)如图,在

17、四边形 ABCD 中,已知 AB13,AC10,AD5,CD 65,AB AC50. (1) 求 cosBAC 的值; (2) 求 sinCAD 的值; (3) 求BAD 的面积 解析: (1) 因为AB AC|AB|ACcosBAC, 所以 cosBACAB AC|AB|AC501310513. (2) 在ADC 中,AC10,AD5,CD 65. 由余弦定理,得 cosCADAC2AD2CD22AC AD10252 652210535. 因为CAD(0,),所以 sinCAD 1cos2CAD135245. (3) 由(1)知,cosBAC513. 因为BAC(0,), 所以 sinBAC

18、 1cos2BAC151321213. 从而 sinBADsin(BACCAD) sinBACcosCADcosBACsinCAD 121335513455665. 所以 SBAD12AB AD sinBAD121355665 方法总结:正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题,许多题目中往往给出多边形,因此,就要根据题目所给的条件,标出边和角,合理的选择三角形,尽量选择边和角都比较多的条件的三角形,然后运用正余弦定理解决。 1、 (2020 届山东师范大学附中高三月考)泉城广场上矗立着的“泉标”,成为泉城济南的标志和象征为了测量“泉标”高度, 某同学在“泉标”的正西方向的点 A 处测得

19、“泉标”顶端的仰角为45, 沿点 A 向北偏东30前进 100 m 到达点 B,在点 B 处测得“泉标”顶端的仰角为30,则“泉标”的高度为( ) A50 m B100 m C120 m D150 m 【答案】A 【解析】 如图,CD为“泉标”高度,设高为h米,由题意,CD平面ABD,100AB米,60BAD,,4530CADCBDo 在CBDV中,BD3h,在CADV中,ADh, 在ABD中,3 ,BDh ADh,,100AB,60BAD, 由余弦定理可得223100002 100 cos60(50)(100)0hhhhh , 解得50h或100h (舍去), 故选:B. 2、某小区有一个四

20、边形草坪 ABCD,BC120 ,AB40 m,BCCD20 m,则该四边形 ABCD 的面积等于_m2 【答案】 :500 3 【解析】 :连结 BD,在BCD 中,BCCD20,BCD120 , CBD30 ,BD20 3,SBCD12 20 20 sin120 100 3 在ABD 中,ABD120 30 90 ,AB40,BD20 3, SABD12AB BD12 40 20 3400 3, 四边形 ABCD 的面积是 500 3 m2 3、 某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶,在点 A 处测得电视塔 S 在电动车的北偏东30 方向上,15 min 后到点 B

21、 处,测得电视塔 S 在电动车的北偏东 75 方向上,则点 B 与电视塔的距离是_km 【答案】 :3 2 【解析】 :如题图,由题意知 AB2415606,在ABS 中,BAS30 ,AB6, ABS180 75 105 ,ASB45 ,由正弦定理知BSsin 30ABsin 45, BSAB sin 30sin 453 2 4、 如图,一栋建筑物的高为(3010 3)m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔 CD在它们之间的地面点 M(B,M,D 三点共线)处测得楼顶 A,塔顶 C 的仰角分别为 15 和 60 ,在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30 ,则通信塔 CD 的高为_ m 【答

22、案】 :60 【解析】 :如图,在 RtABM 中, AMABsinAMB3010 3sin 153010 3sin(45 30 )3010 36 2420 6 m 又易知MANAMB15 ,所以MAC30 15 45 , 又AMC180 15 60 105 ,从而ACM30 在AMC 中,由正弦定理得MCsin 4520 6sin 30,解得 MC40 3 在 RtCMD 中,CD40 3 sin 60 60 m,故通信塔 CD 的高为 60 m 5、如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为 10 000 m,速度为 50 m/s某一时刻飞机看山顶的俯角为 15

23、 ,经过 420 s 后看山顶的俯角为 45 ,则山顶的海拔高度为_m(取 21.4, 31.7) 【答案】 :2 650 【解析】 : : 如图, 作 CD 垂直于 AB 的延长线于点 D, 由题意知A15 , DBC45 ,ACB30 ,AB50 42021 000(m) 又在ABC 中,BCsin AABsinACB, BC21 00012 sin 15 10 500( 6 2) CDAD,CDBC sinDBC10 500( 6 2)2210 500( 31)7 350 故山顶的海拔高度 h10 0007 3502 650(m) 6、如图,甲船从 A 处以每小时 30 海里的速度沿正北

24、方向航行,乙船在 B 处沿固定方向匀速航行,B 在 A北偏西 105 方向且与 A 相距 10 2海里处当甲船航行 20 分钟到达 C 处时,乙船航行到甲船的北偏西120 方向的 D 处,此时两船相距 10 海里 (1) 求乙船每小时航行多少海里? (2) 在 C 处北偏西 30 方向且与 C 相距8 33海里处有一个暗礁 E,暗礁 E 周围 2海里范围内为航行危险区域问:甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险?如有危险,从有危险开始多少小时后能脱离危险;如无危险,请说明理由 【解析】 : :(1) 如图,连结 AD,由题知 CD10,AC2060 3010,ACD60 , ACD 是等边三角形

25、 AD10 又DAB45 ,在ABD 中,由余弦定理得 BD2AD2AB22AB ADcos45 100, BD10,v10 330(海里) 答:乙船的速度为每小时 30 海里 (2) 在海平面内,以 B 点为原点,分别以东西方向作 x 轴,以南北方向作 y 轴,建立如图所示平面直角坐标系危险区域在以 E 为圆心,半径为 r 2的圆内 DABDBA45 ,易知直线 BD 的方程为 y 3x, E 的横坐标为 ABcos15 CEsin30 ,纵坐标为 ABsin15 CEcos30 AC, 求得 A(5 35,5 35),C(5 35,5 35),E511 33,95 3 点 E 到直线 BD

26、 的距离为 D1|5 31195 3|21 2,故甲船没有危险 以 E 为圆心,半径为 2的圆截直线 BD 所得的弦长分别为 l2 r2d212, 乙船遭遇危险持续时间为 t230115(小时) 答:甲船没有危险,乙船有危险,且在遭遇危险开始持续115小时后脱险 7、 【2020 年江苏卷】在ABC中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知3,2,45acB (1)求sinC的值; (2)在边 BC 上取一点 D,使得4cos5ADC ,求tanDAC的值 【答案】 (1)5sin5C ; (2)2tan11DAC. 【解析】 (1)由余弦定理得22222cos922 3252bacacB ,所以5b . 由正弦定理得sin5sinsinsin5cbcBCCBb. (2)由于4cos5ADC ,,2ADC,所以23sin1 cos5ADCADC. 由于,2ADC,所以0,2C,所以22 5cos1 sin5CC 所以sinsinDACDACsinADCC sincoscossinADCCADCC32 5452 5555525 . 由于0,2DAC,所以211 5cos1 sin25DACDAC. 所以sin2tancos11DACDACDAC.

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