1、第2课时余弦定理的变形及应用学习目标1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正弦定理、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题知识点余弦定理及其推论1a2b2c22bccos A，b2 c2a22cacos_B，c2a2b22abcos_C.2cos A；cos B；cos C.3在ABC中，c2a2b2C为直角；c2a2b2C为钝角；c20时，三角形ABC为锐角三角形()3在ABC中，恒有a2(bc)22bc(1cos A)()4ABC中，若c2a2b20，则角C为钝角()题型一余弦定理的变形及应用例1在ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，则
2、A_.答案120解析由条件得a2c2b2bc，b2c2a2bc，cos A，又A(0，180)，故A120.反思感悟只有熟悉余弦定理及其变形，才能敏锐地抓住条件中与余弦定理及变形相似的地方，从而对条件进行有目的地变形跟踪训练1在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c若0，则ABC()A一定是锐角三角形 B一定是直角三角形C一定是钝角三角形 D是锐角或直角三角形答案C解析0，c2a2b20，a2b2c2，cos C0，又C(0，)，C为钝角，ABC为钝角三角形，故选C.题型二综合应用余弦定理与正弦定理判断三角形形状例2在ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，试判断三角形的形状
3、解方法一由正弦定理知，a2Rsin A，b2Rsin B，R为ABC外接圆半径，sin Acos Bsin Bcos Bsin Acos Bsin Acos A，sin Bcos Bsin Acos A，sin 2Bsin 2A，2A2B或2A2B，即AB或AB，ABC为等腰三角形或直角三角形方法二由，得11，由余弦定理，得，.a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，a2c2a4b2c2b4，c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)a2b2或c2a2b2.ABC是等腰三角形或直角三角形反思感悟(1)要结合题目特征灵活选择使用正弦定理还是使用余弦定理(2)变形要注意等价性，如sin 2Asin
4、 2B2A2B.c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)c2a2b2.跟踪训练2ABC中，(abc)(bca)3bc且sin A2sin Bcos C，试确定ABC的形状解方法一因为(abc)(bca)3bc，所以a2b2c2bc.又由余弦定理知a2b2c22bccos A，所以cos A，因为A(0，180)，所以A60.又因为sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C且sin A2sin Bcos C，所以sin Bcos Ccos Bsin C，即sin(BC)0，所以BC，又因为BC120，所以BCA60，故ABC是等边三角形方法二由(abc)(bca)3bc，所
5、以a2b2c2bc.cos A，由于0A180，则A60，因为sin A2sin Bcos C，所以a2b，所以a2a2b2c2，所以b2c20，所以bc，又因为A60.所以ABC是等边三角形题型三综合应用正弦定理、余弦定理化简变形例3在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a4，b5，c6，则等于()A1 B2 C. D.答案A解析由余弦定理得cos A，所以1.反思感悟实际上是先把目标化为.因为条件是三条边，所以要想办法把，cos A全部用三边求出来跟踪训练3已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A，则角B的大小
6、为()A30 B45 C60 D120答案A解析由正弦定理，得(bc)(bc)(ac)a，即b2c2a2ac，所以a2c2b2ac，因为cos B，所以cos B，又0B180，所以B30.利用正、余弦定理化简求值典例在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为()A. B.或 C. D.或答案B解析cos B，a2c2b22accos B，代入已知等式得2accos Btan Bac，即sin B，0B，则B或.素养评析选择运算方法是数学运算素养的内涵之一运算从一点出发可以有无限个方向一个式子也可以有无限个变形，逐个试探肯定不现实那么如何选择
7、运算方向才能算得出，算得快？要点有3个：公式要熟，如本例至少应知道cos B，tan B.观察联想，如看到a2c2b2应联想到a2c2b22accos B.权衡选择，如本例也可把所有的边都化为相应角的正弦，但权衡运算繁简，不如整体把a2c2b2化为2accos B简单1在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定答案C解析由正弦定理知，sin A，sin B，sin C.sin2Asin2Bsin2C可化为a2b2c2，a2b2c20.cos C0.角C为钝角，ABC为钝角三角形2在ABC中，若b2a2c2ac，则B等于(
8、)A60 B45或135C120 D30答案C解析b2a2c22accos Ba2c2ac，ac2accos B，cos B，又0B0)，则cos B.4在ABC中，关于x的方程(1x2)sin A2xsin B(1x2)sin C0有两个不等的实根，则A为()A锐角 B直角C钝角 D不存在答案A解析由方程可得(sin Asin C)x22xsin Bsin Asin C0. 方程有两个不等的实根， 4sin2B4(sin2Asin2C)0.由正弦定理，代入不等式中得 b2a2c20，再由余弦定理，有2bccos Ab2c2a20. 0A90.5在ABC中，若B30，AB2，AC2，则满足条件的三角形有几个？解设BCa，ACb，ABc，由余弦定理b2a2c22accos B，得22a2(2)22a2cos 30，即a26a80，解得a2或a4.当a2时，三边长为2,2,2，可组成三角形；当a4时，三边长为4,2,2，也可组成三角形满足条件的三角形有两个1已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单2对所给条件进行变形，主要有两种途径：(1)化边为角(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理进行边、角转换
