1、6.4.3 第 3 课时 余弦定理、正弦定理应用举例 考点考点 学习目标学习目标 核心素养核心素养 测量中的术语 理解测量中的基线等有关名词、术语的确切含义 直观想象 测量距离、 高度、角度问题 会利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度等问题 数学建模 【导学聚焦】 预习教材内容，思考以下问题： 1什么是基线？ 2基线的长度与测量的精确度有什么关系？ 3利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？ 【问题导学】 1基线基线 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做_ 2基线与测量精确度的关系基线与测量精确度的关系 一般来说，基线越长，测量的精确度越_ 基线 高 【新知初探】 名
2、师点拨名师点拨 实际测量中的有关名称、术语实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 名称 定义 图示 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于 90) 南偏西 60 （指 以正南方向为始边， 转向目标方向线形成的角） 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)已知三角形的三个角，能够求其三条边( ) (2)两个不可能到达的点之间的距离无法求得( ) (3)若 P 在 Q
3、 的北偏东 44，则 Q 在 P 的东偏北 44方向( ) 【自我检测】 从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ，的关系为( ) A B C90 D180 解析：选 B.根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示， 因为两直线平行内错角相等，所以 . 轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 O，两船航行方向的夹角为 120，两船的航行速度分别为 25 n mile/h，15 n mile/h，则14 时两船之间的距离是( ) A50 n mile B70 n mile C90 n mile D110 n mile 解析：选 B.如图， 设轮船 A 和
4、轮船 B 两个小时后分别到达点 C，D 两处， 则 OC50，OD30，DOC120. 由余弦定理可得 CD2OC2OD22OC ODcos 120 5023022503012 2 5009001 5004 900， 所以 CD70 n mile. 如图，要测出山上一座天文台 BC 的高，从山脚 A 处测得 AC60 m， 天文台最高处 B的仰角为 45， 天文台底部 C 的仰角为 15，则天文台 BC 的高为_m. 解析：由题图可得B45，BAC30， 故 BCACsinBACsinB60sin 30sin 4530 2(m) 答案：30 2 【例 1】海上 A，B 两个小岛相距 10 海里
5、，从 A 岛望 C 岛和 B岛成 60的视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75的视角，则 B岛与 C 岛间的距离是_ 探究点一 测量距离问题 【探究互动】 【解析】 如图，在ABC 中，C180(BA)45， 由正弦定理，可得BCsin 60ABsin 45， 所以 BC32105 6(海里) 【答案】 5 6 海里 互动探究互动探究 变条件变条件 在本例中， 若“从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75的视角”改为“A，C 两岛相距 20 海里”，其他条件不变，又如何求 B岛与 C 岛间的距离呢？ 解：由已知在ABC 中，AB10，AC20，BAC60， 即已知两边和两边的夹角，利用余弦
6、定理求解即可 BC2AB2AC22AB AC cos 601022022102012300.故 BC10 3，即 B，C 间的距离为 10 3海里 【规律方法】 测量距离问题的解题思路测量距离问题的解题思路 求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中 【跟踪训练】 1要测量河对岸 A，B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的 C，D两点， 并测得BCA75， BCD45， ADC30， ADB45，则 AB( ) A2 km B 5 km C3 km D 6 km 解
7、析： 选 B.在ACD 中， ACD120， CADADC30， 所以 ACCD 3 km， 在BCD 中，BCD45，BDC75，CBD60， 所以 BC3 sin 75sin 606 22(km) 在ABC 中，由余弦定理，得 AB236 2222 36 22cos 755， 所以 AB 5 km. 2如图，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树 C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点 A，B(AB 与河岸平行)，测得数据：AB6 m，ABD60，DBC90，DAB75，试求 C，D 之间的距离 解：ABCABDDBC150. 因为 ABCD，所以C18015030. 在ABD 中
8、，AB6，ADB180756045， 所以 ADABsinABDsinADB6sin 60sin 453 6， 所以 BDADsinDABsinABD3 6sin 75sin 6033 3. 在 RtDBC 中，CDBDsinC33 3sin 3066 3. 所以 C，D 之间的距离为(66 3)m. 【例 2】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m. 探究点二 测量高度问题 【解析】 由题意，在ABC 中，BAC30， AB
9、C18075105，故ACB45. 又 AB600 m，故由正弦定理得600sin 45BCsin 30， 解得 BC300 2 m 在 RtBCD 中，CDBC tan 30300 233100 6(m) 【答案】 100 6 互动探究互动探究 变问法变问法 在本例条件下，汽车在沿直线 AB 方向行驶的过程中， 若测得观察山顶 D 点的最大仰角为 ，求 tan 的值 解：如图，过点 C，作 CEAB，垂足为 E，则DEC， 由例题可知，CBE75，BC300 2， 所以 CEBC sinCBE300 2sin 75 300 22 64150150 3. 所以 tan DCCE100 6150
10、150 33 2 63. 【规律方法】 测量高度问题的解题思路测量高度问题的解题思路 高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离， 然后转化为解直角三角形的问题 这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度 【跟踪训练】 如图，要在山坡上 A，B 两处测量与地面垂直的铁塔 CD 的高，由 A，B 两处测得塔顶 C 的仰角分别为 60和 45，AB 长为40 m，斜坡与水平面成 30角，则铁塔
11、CD 的高为_m. 解析：延长 CD 交过 A，B 的水平线于点 E，F， 因为CAE60，CBF45，DBF30， 所以BCF45，ACE30，BDF60， 所以BCA15， ADC120， CBA15， CAD30.所以 ACAB40， 在ACD 中，由正弦定理得，ACsinADCCDsinCAD， 即4032CD12，解得 CD40 33. 答案：40 33 【例 3】岛 A 观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只， 正以每小时 10 海里的速度向东南方向航行(如图所示)， 观察站即刻通知在岛 A 正南方向 B 处巡航的海监船前往检查 接到通知后， 海监船测得可疑船只在其北偏东 75方向且
12、相距 10 海里的 C 处，随即以每小时 10 3海里的速度前往拦截 (1)问：海监船接到通知时，在距离岛 A 多少海里处？ (2)假设海监船在 D 处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间 探究点三 测量角度问题 【解】 (1)根据题意得BAC45，ABC75，BC10， 所以ACB180754560， 在ABC 中，由ABsinACBBCsinBAC， 得 ABBCsinACBsinBAC10sin 60sin 451032225 6. 所以海监船接到通知时，在距离岛 A 5 6 海里处 (2)设海监船航行时间为 t 小时，则 BD10 3t，CD10t， 又因为BCD180ACB
13、18060120， 所以 BD2BC2CD22BC CDcos 120， 所以 300t2100100t221010t12， 所以 2t2t10， 解得 t1 或 t12(舍去) 所以 CD10，所以 BCCD， 所以CBD12(180120)30， 所以ABD7530105. 所以海监船沿方位角 105航行，航行时间为 1 个小时 (或海监船沿南偏东 75方向航行，航行时间为 1 个小时) 【规律方法】 测量角度问题的基本思路测量角度问题的基本思路 (1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离 (2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，
14、然后将解得的结果转化为实际问题的解 【跟踪训练】 1若点 A 在点 C 的北偏东 30方向上，点 B 在点 C 的南偏东60方向上，且 ACBC，则点 A 在点 B 的( ) A北偏东 15方向上 B北偏西 15方向上 C北偏东 10方向上 D北偏西 10方向上 解析：选 B.如图所示，ACB90. 又因为 ACBC，所以CBA45. 因为 30，所以 90453015 . 所以点 A 在点 B 的北偏西 15方向上 2地图测绘人员在点 A 测得某一目标参照物 P 在他的北偏东 30的方向，且距离为 40 3 m，之后该测绘人员沿正北方向行走了 40 m，达到点 B.试确定此时目标参照物 P
15、在他北偏东的度数以及他与目标参照物 P 的距离 解：如图，在PAB 中，PAB30，PA40 3 m，AB40 m. 由余弦定理，得 PB AB2PA22 AB PA cosPAB 402（40 3）224040 3cos 30 40(m) 因为 AB40 m，所以 ABPB，所以APBPAB30，所以PBA120.因此测绘人员到达点 B 时，目标参照物 P 在他的北偏东 60方向上，且目标参照物 P 与他的距离为 40 m. 1若 P 在 Q 的北偏东 4450方向上，则 Q 在 P 的( ) A东偏北 4510方向上 B东偏北 4550方向上 C南偏西 4450方向上 D西偏南 4550方
16、向上 解析：选 C.如图所示 【达标反馈】 2.如图，D，C，B 三点在地面同一直线上，从地面上 C，D 两点望山顶 A，测得它们的仰角分别为 45和 30，已知 CD200 米，点 C 位于 BD 上，则山高 AB 等于( ) A100 2米 B50( 31)米 C100( 31)米 D200 米 解析：选 C.设 ABx 米，在 RtACB 中，ACB45， 所以 BCABx. 在 RtABD 中，D30，则 BD 3AB 3x. 因为 BDBCCD，所以 3xx200， 解得 x100( 31)故选 C. 3已知台风中心位于城市 A 东偏北 ( 为锐角)度的 150 公里处，以 v 公里
17、/小时沿正西方向快速移动，2.5 小时后到达距城市 A 西偏北 ( 为锐角)度的 200 公里处，若 cos 34cos ，则v( ) A60 B80 C100 D125 解析：选 C.画出图象如图所示，由余弦定理得(2.5v)2200215022 200 150cos()，由正弦定理得150sin 200sin ，所以 sin 43sin .又 cos 34 cos ，sin2 cos2 1，解得 sin 35，故 cos 45，sin 45，cos 35，故 cos()122512250，代入解得 v100. 4某巡逻艇在 A 处发现在北偏东 45距 A 处 8 海里处有一走私船，正沿南偏东 75的方向以 12 海里/小时的速度向我岸行驶， 巡逻艇立即以 12 3海里/小时的速度沿直线追击， 问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船， 并指出巡逻艇的航行方向 解：设经过 t 小时在点 C 处刚好追上走私船， 依题意：AC12 3t，BC12t，ABC120， 在ABC 中，由正弦定理得12 3tsin 12012tsinBAC， 所以 sinBAC12，所以BAC30， 所以 ABBC812t，解得 t23，航行的方向为北偏东 75. 即巡逻艇最少经过23小时可追到走私船，沿北偏东 75的方向航行
