1、7.2 简单不等式的解法简单不等式的解法 典例精析典例精析 题型一 一元二次不等式的解法 【例 1】解下列不等式： (1)x22x30； (2)已知 Ax|3x27x20，Bx|2x2x10，求 AB，(RA)B. 【解析】(1)方程两根为 x11，x23， 所以原不等式解集为x|x1 或 x3. (2)因为 Ax|13x2，RAx|x13或 x2，Bx|x12或 x1， 所以 ABx|x12或 x13，(RA)Bx|x12或 x2. 【点拨】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数联系非常紧密，要注意转化，同时要熟练掌握一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系.对于 0 的不等式解集简
2、称“大于取两端，小于取中间”. 【变式训练 1】设函数 f(x)若 f(4)f(0)，f(2)0，则关于 x 的不等式f(x)1 的解集为( ) A.(，31，) B.3，1 C.3，1(0，) D.3，) 【解析】选 C.由已知对 x0 时 f(x)x2bxc，且 f(4)f(0)，知其对称轴为 x2，故b22b4. 又 f(2)0，代入得 c4，故 f(x) ),0()0(22xcbxxx),0(44)0(22xxxx 分别解之取并集即得不等式解集为3，1(0，). 题型二 解含参数的一元二次不等式问题 【例 2】解关于 x 的不等式 mx2(m2)x20 (mR). 【解析】当 m0 时
3、，原不等式可化为2x20，即 x1； 当 m0 时，可分为两种情况： (1)m0 时，方程 mx2(m2)x20 有两个根，x11，x22m 所以不等式的解集为x|x1 或 x2m； (2)m0 时，原不等式可化为mx2(2m)x20， 其对应方程两根为 x11，x22m，x2x12m(1)m2m. m2 时，m20，m0，所以 x2x10，x2x1， 不等式的解集为x|1x2m； m2 时，x2x11， 原不等式可化为(x1)20，解集为 ； 2m0 时，x2x10，即 x2x1， 不等式解集为x|2mx1. 综上所述： 当 m2 时，解集为x|1x2m； 当 m2 时，解集为 ； 当2m0
4、 时，解集为x|2mx1； 当 m0 时，解集为x|x1； 当 m0 时，解集为x|x1 或 x2m. 【点拨】解含参数的一元二次不等式，首先要判断二次项系数的符号，其次讨论根的情况，然后讨论根的大小，最后依据二次项系数的符号和根的大小写出解集. 【变式训练 2】解关于 x 的不等式ax1x10. 【解析】原不等式等价于(ax1)(x1)0. 当 a0 时，不等式的解集为x|x1； 当 a0 时，不等式的解集为x|x1a或 x1； 当1a0 时，不等式的解集为x|1ax1； 当 a1 时，不等式的解集为 ； 当 a1 时，不等式的解集为x|1x1a. 题型三 一元二次不等式与一元二次方程之间的
5、联系 【例 3】已知 ax2bxc0 的解集为x|1x3，求不等式 cx2bxa0 的解集. 【解析】由于 ax2bxc0 的解集为x|1x3，因此 a0， 且 ax2bxc0 的两根为 1、3，则ba13，ca1 3，即ba4，ca3. 又 a0，不等式 cx2bxa0 可以化为cax2bax10，即 3x24x10， 解得 x13或 x1. 【点拨】解一元二次不等式时，要注意联系相应的一元二次方程与一元二次函数，明确一元二次不等式的解区间的端点就是相应一元二次方程的根. 【变式训练 3】(2012 江西模拟)若不等式 9x2k(x2) 2的解集为区间a，b，且 ba2，则 k . 【解析】
6、 2.作出函数 y9x2和 yk(x2) 2的图象，函数 y9x2的图象是一个半圆，函数 yk(x2) 2的图象是过定点(2， 2)的一条动直线.依题意，半圆在直线下方的区间长度为 2，则必有 a1，即 1 是方程 9x2k(x2) 2的根，代入得 k 2. 总结提高总结提高 1.解一元二次不等式的一般步骤: (1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零； (2)计算相应的判别式； (3)当 0 时，求出相应的一元二次方程的两根； (4)根据一元二次不等式的结构，写出其解集. 2.当含有参数时，需分类讨论.分类标准往往根据需要而设定.如：是一元一次不等式还是一元二次不等式；开口方向如何；根的判别式的正负；根的大小等. 3.要注意三个“二次”之间的联系，重视数形结合思想的应用.
