1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 7.2 二元一次不等式二元一次不等式(组组)及简单的线性规划问题及简单的线性规划问题 目录 一、考点全归纳 . 1 题型 一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 . 3 角度二 平面区域的形状 . 4 命题角度一 求线性目标函数的最值 . 7 命题角度三 求参数值或取值范围. 9 三、高效训练突破 . 13 一、考点全归纳一、考点全归纳 1二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式(组) 表示区域 AxByC0(0) 直线 AxByC0 某 一侧的所有点组成的平 面区域来源:Z
2、xxk.Com 不包括边界直线来源:学科网来源:Zxxk.Com AxByC0(0)来源:学科网 ZXXK 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2.二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的 有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集 3线性规划的有关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x，y 组成的不等式(组) 线性约束条件 由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于变量 x，y 的函数解析式，如 zx2y 线性目标函数 关于变量
3、 x，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 常用结论 1画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域； (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实数 (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证 2利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域 对于 AxByC0 或 AxByC0 时，区域为直线 AxByC0 的上方； (2)当 B(
4、AxByC)0 时， 直线 zaxby 向上平移 z 变大， 向下平移 z 变小； 当 b0 时， 直线 zaxby 向上平移 z 变小， 向下平移 z 变大 二、题型全归纳二、题型全归纳 题型题型 一一 二元一次不等式二元一次不等式(组组)表示的平面区域表示的平面区域 【题型要点】(1)求平面区域面积的方法 首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从 而再作出平面区域； 对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积 公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和 (2)根据平面
5、区域确定参数的方法 在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数 形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案 命题角度一命题角度一 平面区域的面积平面区域的面积 【例【例 1】不等式组 x0， x3y4， 3xy4 所表示的平面区域的面积等于( ) A.3 2 B2 3 C.4 3 D3 4 【答案】 C 【解析】 由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示， A 0，4 3 ， B(1， 1)， C(0， 4)， 则 ABC 的面积为1 2 1 8 3 4 3.故选 C. 【例 2】 不等式组 xy2，
6、 2xy4， xy0 所围成的平面区域的面积为( ) A3 2 B6 2 C6 D3 【答案】D 【解析】如图 不等式组所围成的平面区域为 ABC，其中 A(2,0)，B(4，4)，C(1,1)，所求平面区域的面积为 S ABOS ACO 1 2 (2 42 1)3. 角度二角度二 平面区域的形状平面区域的形状 【例【例 3】若不等式组 xy0， 2xy2， y0， xya 表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是_ 【答案】 (0，1 ， 3 4 【解析】 不等式组 xy0， 2xy2， y0 表示的平面区域如图所示(阴影部分) 解 yx， 2xy2得 A 2 3， 2 3 ；解 y
7、0， 2xy2得 B(1，0)若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线 x ya 中的 a 的取值范围是 00，x，y 满足约束条件 x1， xy3， yax3， 若 z2xy 的最小值为 1， 则 a( ) A.1 2 B.1 3 C1 D2 【答案】A 【解析】作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界) 当直线 z2xy 过交点 A 时，z 取最小值，由 x1， yax3， 得 x1， y2a， zmin22a1，解得 a1 2. 题型三题型三 线性规划的实际应用线性规划的实际应用 【题型要点】【题型要点】线性规划解决实际问题的一般步骤 (1)能建立线性规划模型的实际问题 给定
8、一定量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收益最大； 给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少 (2)解决线性规划实际问题的一般步骤 转化：设元，写出线性约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题； 求解：解决这个纯数学的线性规划问题； 作答：根据实际问题，得到实际问题的解，据此作出回答 【例【例 1】(2020 河北河北“五个一名校联盟五个一名校联盟”模拟模拟)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示 如果生产 1 吨甲、 乙产品可获利润分别为 3 万元、 4
9、 万元， 则该企业每天可获得的最大利润为( ) 甲 乙 原料限量 A/吨 3 2 12 B/吨 1 2 8 A.16 万元 B17 万元 C18 万元 D19 万元 【答案】C 【解析】 设该企业每天生产 x 吨甲产品，y 吨乙产品，可获得利润为 z 万元，则 z3x4y，且 x，y 满足 不等式组 3x2y12， x2y8， x0， y0， 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线 3x4y0 并平移，可 知当直线经过点(2，3)时，z 取得最大值，zmax3 24 318(万元)故选 C. 【例【例 2】某旅行社租用 A，B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行，A，B 两种
10、车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为_元 【答案】 ：36 800 【解析】 ： 设租用 A 型车 x 辆，B 型车 y 辆，目标函数为 z1 600 x2 400y，则约束条件为 36x60y900， xy21， yx7， x，yN， 作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点 A(5，12)时，有最小值 zmin36 800(元) 三、高效训练突破三、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1(2020 贵阳期中贵阳期中)不等式组 y3x12，
11、 x2y 表示的平面区域为( ) 【答案】B 【解析】选特殊点(0,6)检验，当 x0，y6 时，y3x12 成立，x2y 成立，所以点(0,6)在不等式组 y3x12， x2y 表示的平面区域内，另外注意到边界线是虚线，故选 B. 2(2020 揭阳模拟揭阳模拟)若 x，y 满足约束条件 xy10， 2xy10， x0， 则 zx 2y 的最小值为( ) A1 B2 C1 D2 【答案】A. 【解析】 ：作出 x，y 满足约束条件 xy10， 2xy10， x0 的平面区域如图所示(阴影部分)： 由图易得，目标函数 zx 2y 在点 A 处取最小值，为1.故选 A. 3(2020 福建漳州一
12、模福建漳州一模)若实数 x，y 满足 3xy30， x2y20. 则 xy( ) A有最小值无最大值 B有最大值无最小值 C既有最小值也有最大值 D既无最小值也无最大值 【答案】A. 【解析】 ：如图中阴影部分所示即为实数 x，y 满足 3xy30， x2y20 的可行域， 由 3xy30， x2y20 得 A 8 5， 9 5 . 由图易得当 x8 5，y 9 5时，xy 有最小值 17 5 ，没有最大值故选 A. 4(2020 琼海摸底琼海摸底)若实数 x，y 满足 xy2， yx1， y0， 则 z2x 8y的最大值是( ) A4 B8 C16 D32 【答案】D 【解析】先根据实数 x
13、，y 满足 xy2， yx1， y0 画出可行域(如图阴影部分所示)， 由 xy2， yx1， 解得 A 1 2， 3 2 ， 当直线 ux3y 过点 A 时，u 取得最大值是1 23 3 25，则 z2 x 8y2x3y的最大值为 2532. 5(2020 华中师范大学第一附中模拟华中师范大学第一附中模拟)已知变量 x，y 满足约束条件 1xy2， x1， 则xy y 的取值范围是( ) A. 1 2， 2 3 B. 0，2 3 C. 1，1 3 D. 3 2，2 【答案】 B 【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分 由图可知ky x在点A(1,3)处取得最小值3， 且斜率k小于直
14、线xy1的斜率1.故3k1.所以1 x y 1 3.故 0 xy y 2 3. 6已知点(x，y)满足 xy1， xy1， 2xy2， 目标函数 zaxy 仅在点(1，0)处取得最小值，则 a 的取值范围为( ) A(1，2) B(2，1) C. 1 2， D ，1 2 【答案】B. 【解析】 ： 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示， 由 zaxy 可得 yaxz，直线的斜率 ka， 因为 kAC2，kAB1， 因为目标函数 zaxy 仅在点 A(1，0)处取得最小值，则有 kABkkAC， 即1a2，所以2a1， 即实数 a 的取值范围是(2，1)故选 B. 7.不等式组 x0，
15、 xy3， yx1 表示的平面区域为 ， 直线 ykx1 与区域 有公共点， 则实数 k 的取值范围为( ) A(0，3 B1，1 C(，3 D3，) 【答案】D. 【解析】 ：直线 ykx1 过定点 M(0，1)， 由图可知， 当直线ykx1经过直线yx1与直线xy3的交点C(1， 2)时， k最小， 此时kCM2（1） 10 3，因此 k3，即 k3，)故选 D. 8实数 x，y 满足 xa， yx， xy2 (a1)，且 z2xy 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是( ) A. 2 11 B1 4 C.1 2 D3 4 【答案】B. 【解析】 ：在直角坐标系中作出不等式组所表示的
16、可行域如图中阴影部分(包括边界)所示 当目标函数 z2xy 经过可行域中的点 B(1， 1)时有最大值 3， 当目标函数 z2xy 经过可行域中的点 A(a， a)时有最小值 3a，由 34 3a，得 a1 4. 9.不等式组 x1， y2， xy4 的解集记为 D，则“(x，y)D，使 xya 成立”的必要不充分条件是( ) Aa0 Da2 【答案】A. 【解析】 ：画出不等式组 x1， y2， xy4 表示的区域 D，如图中阴影部分所示 其中 A(2，2)，B(1，2)，C(1，3)，(x，y)D，使 xya 成立，则 a(xy)min，平移直线 xy0，易知 当直线经过点 C(1，3)时
17、，xy 取得最小值，(xy)min2，则 a2，故必要不充分条件可以是 a1， 则(x2)2y2的最小值为_ 【答案】 ：5 【解析】 ：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示， 设 z(x2)2y2，则 z 的几何意义为区域内的点到定点 D(2，0)的距离的平方， 由图知 C，D 间的距离最小，此时 z 最小 由 y1， xy10得 x0， y1，即 C(0，1)， 此时 zmin(02)212415. 3 已知点 A(2， 1)， O 是坐标原点， P(x， y)的坐标满足： 2xy0 x2y30 y0 ， 设 zOP OA ， 则 z 的最大值是_ 【答案】 ：4 【解析】 ：法
18、一：由题意，作出可行域 如图中阴影部分所示zOP OA 2xy，作出直线 2xy0 并平移，可知当直线过点 C 时，z 取得最大 值，由 2xy0 x2y30，得 x1 y2，即 C(1，2)，则 z 的最大值是 4. 法二：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知可行域是三角形封闭区域zOP OA 2xy，易 知目标函数 z2xy 的最大值在顶点处取得，求出三个顶点的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，0)，分别 将(0，0)，(1，2)，(3，0)代入 z2xy，对应 z 的值为 0，4，6，故 z 的最大值是 4. 4(2019 湖北湖北“四地七校四地七校”联考联考)若实数 x，
19、y 满足 xy20， 2xy50， xy40， 则 zx2y4 的最大值是_ 【答案】21 【解析】画出 x，y 满足的可行域，如图中阴影部分所示，由 xy20， 2xy50， 解得点 B(7,9)，则目标函数 z x2y4 经过点 B(7,9)时，z 取得最大值为 718421. 5(2019 河南安阳模拟河南安阳模拟)已知向量 a(2,3)，b(x，y)，且变量 x，y 满足 y0， yx， xy30， 则 za b 的最大 值为_ 【答案】 15 2 【解析】 a b2x3y，作出题中可行域，如图 OAB 内部(含边界)， 作直线 l：2x3y0，向上平移直线 l.当直线过点 A 2 3
20、 2 3， 时，z2x3y15 2 为最大值 6(2019 厦门模拟厦门模拟)若 x，y 满足约束条件 x2y50， x3y50， 2xy50， 则 zx2y2的最大值为_ 【答案】25 【解析】不等式组 x2y50， x3y50， 2xy50 所表示的平面区域如图中阴影部分所示 zx2y2表示可行域内的点到原点距离的平方zx2y2的最大值对应的点为 A.由 x3y50， 2xy50， 解得 x4， y3， 则 A(4,3)所以 zx2y2的最大值为|OA|2423225，因此 zx2y2的最大值为 25. 7.已知实数 x，y 满足约束条件 y0， yx10， y2x40. 若目标函数 zy
21、ax(a0)取得最大值时的最优解有无数个， 则 zyax(a0)的最小值为_ 【答案】2 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示 易得 A(1,0)，B(2,0)，C(3,2)， 由 zyax(a0)得 yaxz. 当 a0 时，作直线 l0：yaxz，平移 l0可知，当 yaxz 与 xy10 重合时，z 取得最大值的最优解 有无数个，此时 a1. 当直线过 B 点时，z 有最小值 zmin01 22； 当 a0 时，数形结合知，zyax 取得最大值的最优解不可能无限多 综上可知 zmin2. 8已知实数 x，y 满足 6xy10， xy30， y0， 则 zyln x 的取
22、值范围为_ 【答案】 ：2，ln 6 【解析】 ：作出可行域如图(阴影部分) 其中 A(1 6，0)，B(3，0)，C( 4 7， 17 7 ) 由图可知，当 yln xz 过点 A(1 6，0)时 z 取得最大值， zmax0ln1 6ln 6.设 yln xz 的图象与直线 yx3 相切于点 M(x0，y0)，由 yln xz 得 y1 x，令 1 x01 得 x01 3 7 4， ， 故 yln xz 与 yx3 切于点 M(1，2)时，z 取得最小值，zmin2ln 12. 所以 zyln x 的取值范围为2，ln 6 三三 解答题解答题 1已知点 A(5 3，5)，直线 l：xmyn
23、(n0)过点 A.若可行域 xmyn， x 3y0， y0 的外接圆的直径为 20，求 n 的 值 【答案】n10 3. 【解析】 ：注意到直线 l：x 3y0 也经过点 A，所以点 A 为直线 l 与 l的交点 画出不等式组 xmyn， x 3y0， y0 表示的可行域，如图中阴影部分所示 设直线 l 的倾斜角为 ，则ABO. 在 OAB 中，OA（5 3）25210. 根据正弦定理，得 10 sin（）20，解得 5 6 或 6. 当 5 6 时，1 mtan 5 6 ，得 m 3. 又直线 l 过点 A(5 3，5)，所以 5 3 3 5n， 解得 n10 3. 当 6时，同理可得 m
24、3，n0(舍去) 综上，n10 3. 2某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A，B，C 三种主要原料生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙 种肥料所需三种原料的吨数如下表所示： 原料 肥料 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 现有 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元分别用 x，y 表示计划 生产甲、乙两种肥料的车皮数 (1)用 x，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问分别生产甲、乙两种肥料
25、各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润 【答案】见解析 【解析】 ：(1)由已知得，x，y 满足的数学关系式为 4x5y200， 8x5y360， 3x10y300， x0， y0. 设二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分 (2)设利润为 z 万元，则目标函数为 z2x3y. 考虑 z2x3y，将它变形为 y2 3x z 3， 这是斜率为 2 3，随 z 变化的一族平行直线. z 3为直线在 y 轴上的 截距，当z 3取最大值时，z 的值最大又因为 x，y 满足约束条件，所以由图 2 可知，当直线 z2x3y 经过 可行域 上的点 M 时，截距z 3最大，即 z 最大 解方程组 4x5y200， 3x10y300， 得点 M 的坐标为(20，24) 所以 zmax2 203 24112. 即生产甲种肥料 20 车皮、乙种肥料 24 车皮时利润最大，且最大利润为 112 万元
