1、 1平面向量 平面向量是高考的重点和热点，在选择题、填空题、解答题中均有出现选择题、填空题主要考查平面向量的基本运算，难度中等偏低；解答题中常与三角函数、直线与圆锥曲线的位置关系问题相结合，通常涉及向量共线与数量积 2复数 复数的考查主要为复数的运算、复数的几何意义、复数概念的考查 一、平面向量 1平面向量基本定理 如果1e，2e是同一平面内的两个不共线的非零向量， 那么对于这一平面内的任一向量， 有且只有一对实数1，2，使 = 11+ 22 其中，不共线的非零向量1e，2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2平面向量的坐标运算 向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设11,x ya，22,
2、x yb，则1212,xx yyab，1212,xx yyab， 11,xya，2211xya 3平面向量共线的坐标表示 设11,x ya，22,x yb，其中0b，12210 x yx yab 4平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量cosa b叫做向量和的数量积， 记作 = |cos 规定：零向量与任一向量的数量积为0 命题趋势命题趋势 考点清单考点清单 专题专题 2 2 平面向量与复数平面向量与复数 （2）投影：cos,aab叫做向量在方向上的投影 （3）数量积的坐标运算：设向量11,x ya，22,x yb， 则1212x xy ya b 121200
3、x xy yaba b 12210 x yx y0abab b 121222221122cos,x xy yxyxya b 5三角形“四心”向量形式的充要条件 设为所在平面上一点，角，所对的边长分别为， 则：为内心 + + = （1）为外心2sinaOAOBOCAuuu ruuu ruuu r （2）为重心 + + = （4）为垂心 = = 二、复数 1形如 + ， 的数叫做复数，复数通常用字母 表示 全体复数构成的集合叫做复数集，一般用大写字母表示其中，分别叫做复数 + 的实部与虚部 2复数相等 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等 如果， ，那么 + = + = 且
4、 = 特别地， + = 0 = 0， = 0 两个实数可以比较大小，但对于两个复数，如果不全是实数，就只能说相等或不相等，不能比较大小 3复数的分类 复数 + ， ， = 0时为实数； 0时为虚数， = 0， 0时为纯虚数， 即复数（ + ， ）000bba实数虚数当时为纯虚数 4复平面 直角坐标系中，表示复数的平面叫做复平面， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴实轴上的点表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数集和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数 = + 对应复平面内的点 (，) 5共轭复数 （1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数 复数 的共轭复
5、数用 表示，即如果 = + ，那么 = ， （2）共轭复数的性质 = ；非零复数 是纯虚数 + = 0； + = ， = ； 1 2= 1 2； 1 2= 1 2；112220zzzzz （3）两个共轭复数的积 两个共轭复数 ， 的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即 = | |2= | |2 6复数的模 向量 的模 叫做复数 = + ， 的模(或长度)，记作| |或| + | 由模的定义可知| | = | + | = = 2+ 2（显然 0， ） 当 = 0时，复数 + 表示实数，此时 = 2= | 7复数的加法与减法 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减
6、)， 即 + + = + ， 8复数的乘法 （1）复数的乘法法则 复数乘法按多项式乘法法则进行，设 1= + ， 2= + ， ， 则它们的积 1 2= + + = + + （2）复数乘法的运算律 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律对任何 1， 2， 3 ， 有 1 2= 2 1 (交换律)； 1 2 3= 1 2 3 (结合律)； 1 2+ 3 = 1 2+ 1 3 (分配律) 9复数的除法 复数除法的实质是分母实数化， 即 222222, , ,0abicdiacbdbcad iabiacbdbcadi a b c dcdicdicdicdicdcdcdR 一、选择题 1如
7、图，若 = ， = ， = ，是线段上靠近点的一个三等分点，且bac， 则（ ） A2133， B1344， C3144， D1233， 【答案】D 【解析】22123333OBOAABOAACOAOCOAOAOCuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r， 即1233bac，得1233，故选 D 【点评】本题考查了平面向量的基本定理，结合向量的线性运算即可解题，属于基础题 2已知向量，满足3a，4b，且与反向，则3 abb（ ） A36 B48 C57 D64 【答案】A 【解析】因为与反向，所以a b， 又3a，4b，所以2333
8、413 436 abba bb b，故选 A 【点评】本题考查了平面向量的数量积，属于基础题 3设向量 = ， ， = ， ， = ， ，且 ，则 =（ ） A B C2 D 【答案】A 【解析】因为 = ， ， = ， ，所以 = ( + ， )， 当 时，则有 + + = 0，解得 = ，故选 A 【点评】本题主要考查向量垂直的坐标运算公式，设向量 = ( 1， 1)， = ( 2， 2)， 则当 时， 1 2+ 1 2= 0 精题集训精题集训 （70 分钟） 经典训练题 4在 中，若 + 2= 0，则 的形状一定是（ ） A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 【答案
9、】B 【解析】因为 + 2= 0，所以cos + 2= 0， 所以cos = 2，所以22222acbaccac， 所以2+ 2= 2，所以三角形是直角三角形，故选 B 【点评】判断三角形的形状，常用的方法有：（1）边化角；（2）角化边在边角互化时常利用正弦定理和余弦定理 5已知双曲线2222:1xyCab 0， 0 的左右焦点分别为1，2，且以12为直径的圆与双曲线的渐近线在第四象限交点为 ， 1交双曲线左支于 ，若 1 = ，则双曲线的离心率为（ ） A1012 B10 C512 D5 【答案】A 【解析】1 ，0 ，2 ，0 ，圆方程为 2+ 2= 2， 由222xycbyxa ，由2+
10、 2= 2， 0， 0，解得xayb ，即 ， ， 设00,Q x y， 由 1 = ， ， = + ， ，得023acx，03by ， 因为 在双曲线上， 2222(2 )199acbab， 2= 0，解得1012e（1102e舍去）， 故选 A 【点评】解题关键是找到关于，的齐次关系式，由题意中向量的线性关系，可得解法，圆与渐近线相交得 点坐标，由向量线性关系得 点坐标，代入双曲线方程可得 6复数121ii（ ） A12i B32i Ci Di 【答案】B 【解析】12112122311122iiiiiiiii ，故选 B 【点评】本题主要考查了复数的运算，属于基础题 7在复平面内，复数2
11、4ii对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】D 【解析】由复数的运算法则，可得224(24 )42421ii iiiii ， 对应的点(4, 2)位于第四象限，故选 D 【点评】本题主要考了复数的运算，以及复数平面的概念，属于基础题 8已知a为实数，复数2izaa（i为虚数单位），复数z的共轭复数为z，若z为纯虚数， 则1z（ ） A12i B1 2i C2i D2i 【答案】B 【解析】2izaa为纯虚数，2a，则2iz ， 2iz ，则112iz ，故选 B 【点评】本题主要考查了复数的相关概念，属于基础题 9对于给定的复数z，若满足|4 | 2zi的
12、复数对应的点的轨迹是圆，则|1|z 的取值范围是（ ） A 172, 172 B 171, 171 C 32, 32 D 31, 31 【答案】A 【解析】|4 | 2zi的复数对应的点Z的轨迹是圆，圆心为(0,4)C，半径为2r =， 1z表示点Z到定点(1,0)A的距离，221417AC ， 1721172z，故选 A 【点评】本题考查复数的几何意义，z表示复平面上z对应点Z到原点的距离，12zz表示12,z z对应的点12,Z Z间的距离，而0zzr，则复数z对应的点在以0z对应点0Z为圆心，r为半径的圆上，利用几何意义题中问题转化为求定点到圆心的距离即可得 10已知,m nR，i是虚数
13、单位，若()(1)miini，则|mni（ ） A5 B2 C3 D1 【答案】A 【解析】()(1)(1)(1)miimminiQ，10112mmmnn ， 2|1 21 25mnii ，故选 A 【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算、复数相等的充要条件、复数的模，属于基础题 11（多选）设123,zzz为复数，10z 下列命题中正确的是（ ） A若23zz，则23zz B若1 21 3z zz z，则23zz C若23zz，则1 21 3z zz z D若21 21z zz，则12zz 【答案】BC 【解析】由复数模的概念可知，23zz不能得到23zz ，例如23,11iizz ，A 错
14、误； 由1 21 3z zz z可得123()0z zz，因为10z ，所以230zz，即23zz，B 正确； 因为21 21|z zzz，1 313|z zzz，而23zz，所以232| |zzz，所以1 21 3z zz z，C 正确； 取121,1zizi ，显然满足21 21z zz，但12zz，D 错误， 故选 BC 【点评】本题主要考了复数的一些抽象概念，难度中等偏易 二、填空题 12已知 = ( ， )， = ( ， )，若 ，则与的夹角为_ 【答案】4 【解析】 = ( ， )， ， + = 0，解得 = ， 即 = ( ， )， 22221 1 3 22cos,21312 a
15、 b， 又与的夹角的范围是0， ，则与的夹角为4，故答案为4 【点评】本题考查了向量的垂直，向量的坐标运算，向量夹角的求法，考查计算能力 一、填空题 1平面向量，的夹角为60，且| | = ，则2aab的最大值为_ 【答案】2 313 【解析】1cos602 a ba ba b， 因为| | = ，所以21ab，所以22|21aba b， 所以22|1aba b， 所以22222|22aa baabaa baaabba b， 22111313113131bbaabbbbbbaaaaaa， 令1t ba，则1112 313332 333232ttttaab， 当且仅当 = ，即31ba时，等号成
16、立 所以2aab的最大值为2 313，故答案为2 313 【点评】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 一、选择题 高频易错题 精准预测题 1已知向量 = ( ， )， = ( ， )，若与反向，则 =（ ） A30 B18 C30 D18 【答案】A 【解析】若与共线，
17、则 = ，解得 = ， = ( ， )，2 34630 a b，故选 A 【点评】本题考查了向量共线的条件以及向量的坐标运算，属于基础题 2如图所示的 中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则 =（ ） A1136BABCuuu ruuu r B1163BABCuuu ruuu r C5163BABCuuu ruuu r D5163BABCuuu ruuu r 【答案】B 【解析】依题意，11111113233263DEDAAEACBABCBABABABC uuu ruuu ruuu ruuu ruu u ruuu ruu u ruu u ruu u ruuu r， 故选 B 【点评】
18、本题考查了平面向量的基本定理，以及向量的线性运算，属于基础题 3已知平面向量m，n均为单位向量，若向量m，n的夹角为23，则23mn（ ） A25 B7 C5 D 【答案】D 【解析】因为平面向量m，n为单位向量，且向量m，n的夹角为23， 所以2221|23 |412949 12 1 172 mnmm nn， 故| + | = ，故选 D 【点评】本题考查了向量模长的计算，运用“遇模则平方”的思想即可解题 4如图，在 的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，满足 = + ，则 + =（ ） A0 B1 C D7 【答案】D 【解析】将向量，放入如图所示的坐标系中，每个小正方形的边长为 1，
19、则 = ( ， )， = ( ， )， = ( ， )， = + ， ( ， ) = ( ， ) + ( ， )， 即1234xyxy ，解得52xy， + = ，故选 D 【点评】本题主要考查向量的分解，利用向量的坐标运算是解决本题的关键 5 已知复数 z 满足121iiz （i 为虚数单位） ， 则z（z为z的共轭复数） 在复平面内对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】C 【解析】因为121iiz ，所以121121 313111222iiiiziiii ， 所以1322zi ，在复平面内对应的点为13,22，在第三象限，故选 C 【点评】本题考点为
20、复数的运算和复数的概念属于基础题 6已知复数12zi，21 2zi ，则112zzz为（ ） A1 B2 C2 D5 【答案】C 【解析】由题意，复数12zi，21 2zi ， 可得21121221252125iziiiziiii ， 则112(2)2izziz ，故选 C 【点评】本题主要考了复数的运算和复数的几何意义，属于基础题 7已知复数12zi，21 2zi ，则12zz的虚部为（ ） A4 B4 C3 D3i 【答案】C 【解析】因为12zi，212zi ， 所以1221 2z zii 4 3i ，所以12zz的虚部为3，故选 C 【点评】本题考点为复数的运算及复数的相关概念，属于基
21、础题 8若i为虚数单位，复数 z 满足33zi，则2zi的最大值为（ ） A2 B3 C2 3 D3 3 【答案】D 【解析】因为33zi 表示以点3, 1M 为圆心，半径3R 的圆及其内部， 又2zi表示复平面内的点到0,2N的距离，据此作出如下示意图： 所以22max2032133 3ziMNR ，故选 D 【点评】常见的复数与轨迹的结论： （1）00zzr r：表示以0z为圆心，半径为r的圆； （2）1220zzzza a且1 22az z：表示以12,z z为端点的线段； （3）1220zzzza a且1 22az z：表示以12,z z为焦点的椭圆； （4）1220zzzza a且1
22、 202az z：表示以12,z z为焦点的双曲线 9复数2391ziiii L，则复数z在复平面内所对应的点在第（ ）象限 A一 B二 C三 D四 【答案】A 【解析】 111111ziiiiii ， 对应的点为1,1，在第一象限，故选 A 【点评】本题主要考查了复数的周期性、复数的运算法则、复数的几何意义，属于基础题 二、填空题 10已知向量| | | 1abc，若12a b，且xycab，则 + 的最大值为_ 【答案】2 33 【解析】| = |，且12a b，与的夹角为60， 设(1,0)a，则13,22b， xycab，13,22xyyc， 又1c，2213122xyy，化简得 2+
23、 + 2= ， 22()()14xyxyxy ，当且仅当33xy时，等号成立， 2 33xy，故答案为2 33 【点评】本题考查了平面向量的混合运算，还涉及利用基本不等式解决最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题 11 在 中，3AB， = ， 点在边上 若 = ，53AD ACuuu r uuu r， 则 的值为_ 【答案】 【解析】设 = 0 ，故 = ( )， 即 = + ， 故 = + 2= + ， = 2+ = + ， 所以 9 11 154123AC ABAC ABuuu r uuu ruuu r uuu r，两式相加可得1953AC ABuuu r uuu r， 此式代入（1）式可得23或125（舍去）， 代入（1）式可得 = ， 故答案为 【点评】本题考查平面向量的基本定理、数量积的运算，以及方程思想的运用，属于中档题
