1、 本部分的考查主要为函数图象、函数性质、函数零点问题的考查，多以选择题、填空题的形式出现函数图象识别，利用函数性质比较大小，函数零点个数判断是高考中的常考题型，难度一般中等偏上 1常见函数的值域 （1）一次函数 ( )的值域为 ； （2）二次函数 2 ( )：当 时，值域24,4acba， 当 时，值域为24,4acba； （3）反比例函数0kykx的值域为* | + 2函数的单调性 单调性是函数下定义域上的局部性质，函数单调性常考的等价形式有： 若 1 2，且 1， 2 ， ， ( )在 ， 上单调递增 1212121200f xf xxxf xf xxx； ( )在 ， 上单调递减 121
2、2121200f xf xxxf xf xxx 3函数的奇偶性 若( )是偶函数，则( ) ( )； 若( )是奇函数，则( ) ( )， 在其定义域内，则( ) ； 奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性， 偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性 4函数的周期性 命题趋势命题趋势 考点清单考点清单 专题专题 4 4 函数函数 若 ( )，对 ，( ) ( )或( 2 ) ( )( )恒成立， 则 ( )是周期为2 的周期函数； 若 ( )是偶函数，其图象又关于直线 对称，则( )是周期为2| |的周期函数； 若 ( )是奇函数，其图象又关于直线 对称，则( )是周期为4| |
3、的周期函数； 若( ) ( )或 1f xaf x，则 ( )是周期为2| |的周期函数 5函数的对称性( ， ) 若函数 ( )满足( ) ( )，即( ) (2 )，则 ( )的图象关于直线 对称； 若函数 ( )满足( ) ( )，即( ) (2 )，则 ( )的图象关于点( ， )对称； 若函数 ( )满足( ) ( )，则函数( )的图象关于直线2abx对称； 若函数 ( )满足( ) ( )，则函数( )的图象关于直线,02ab对称 6指数函数与对数函数的基本性质 （1）定点： ( ，且 1)恒过( ，1)点； log ( ，且 1)恒过(1， )点 （2）单调性：当 1时， 在
4、上单调递增； log 在( ， )上单调递增； 当 1时， 在 上单调递减； log 在( ， )上单调递减 7函数的零点问题 （1）函数( ) ( ) ( )的零点就是方程( ) ( )的根，即函数 ( )的图象与函数 ( )的图象交点的横坐标 （2）确定函数零点的常用方法：直接解方程法；利用零点存在性定理；数形结合，利用两个函数图象的交点求解 一、选择题 1 良渚遗址是人类早期城市文明的范例， 是华夏五千年文明史的实证之一， 2019 年获准列入世界遗产名录 考古学家在测定遗址年代的过程中，利用“生物死亡后体内的碳 14 含量按确定的比率衰减”这一规律，建立了样本中碳 14 的含量y随时间
5、x（年）变化的数学模型：5730012xyy（ 0表示碳 14 的初始量） 2020 年考古学家对良渚遗址某文物样本进行碳 14 年代学检测，检测出碳 14 的含量约为初始量的 55%，据此推测良渚遗精题集训精题集训 （70 分钟） 经典训练题 址存在的时期距今大约是（ ） （参考数据：2log 523 ，2log 1135 ） A3450 年 B4010 年 C4580 年 D5160 年 【答案】C 【解析】设良渚遗址存在的时期距今大约是x年， 则573000155%2xyy，即573010552x， 所以122222log 055log 100log 552log 5log 110857
6、30 x， 解得5730 084584x，故选 C 【点评】本题主要考了函数的实际应用，篇幅比较长，需要耐心读题，属于基础题 2已知( )是奇函数，且12120f xf xxx对任意 1， 2 且 1 2都成立，设32af，3log 7bf，308cf ，则（ ） Abac Bcab Ccba D acb 【答案】B 【解析】当 1 2时，由 1212120f xf xf xf xxx； 当12xx时，由 1212120f xf xf xf xxx， 因此函数( )是单调递增函数， 因为( )是奇函数，所以( ) ， 因此当 时，有( ) ( ) ；当0 x时，有( ) ( ) ， 因为( )
7、是奇函数，所以有 ( 83) ( 83) ， 因为333log 7log272，所以33log 702ff，即 ， 因此cab，故选 B 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，注意分析函数单调性，属于基础题 3 已知定义域为 R R 的函数( )满足( 2) ( )， 且当 1时， ( ) lg( 2 2)， 则(2 21) （ ） Alg3 Blg9 Clg3 D0 【答案】C 【解析】由( )满足( 2) ( )，所以函数的周期 2， 且当 1时，( ) lg( 2 2)，所以(2 21) (1) lg3，故选 C 【点评】本题主要考查了函数的周期性，属于基础题 4“( 2)
8、3 ( 2)3”是“lglgab”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】充分性证明：取( 2)3 ( 2)3 2 2，明显地有，ab， 由于对数的真数大于 0，所以，无法推导出lglgab，所以，充分性不成立； 必要性证明：lglg0abab，可得 2 2 ( 2)3 ( 2)3， 所以，必要性成立， 故选 B 【点评】本题把函数的单调性，定义域，充分必要条件结合起来考，属于基础题 5函数 2sinxexfxx的部分图象大致为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】由题意，函数 2sinxexfxx的定义域为(,0)(0,)U
9、，关于原点对称， 且 22sin()sin()xxexexfxf xxx 所以函数( )是奇函数， 其图象关于原点中心对称，排除 C； 又由当 ( ，)时，( ) ，排除 A，D， 故选 B 【点评】本题考查函数图象的识别，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属于基础题 6 已知函数 ln ,11,12xxf xxx， 若( ) ,( ) 1- 两个零点 1， 2， 则 1 2的取值范围是 （ ） A, e B, e C,42ln2 D42ln2, 【答案】A 【解析】当 1时，( ) ln ，( ) 1 1； 当 1时， 1122x
10、f x ， 312f x ， ,( ) 1- ln,( ) 1-， 所以( ) ,( ) 1- 两个零点 1， 2， 等价于方程,( ) 1- ln,( ) 1- 有两个根 1， 2， 则( ) 1 ，即( ) 1有两个根 1， 2（不妨设12xx） ， 则 1时，2ln1mxe；当 1时，1112mxe， 令112mte ，则2ln xt，112xt，所以 2 ，122xt， 则 1 2 (2 )，12t ， 设() (2 2)，12t ，则() 2， 当1,2t时，() 显然恒成立， 所以函数()单调递减，则 12g tge， 所以( )的值域为, e，即 1 2的取值范围为, e，故选
11、A 【点评】求解本题的关键在于根据函数零点个数结合函数解析式，得到( ) 1有两个根为 1和 2，再构造函数，利用导数的方法求解即可 7 已知函数( ) ，21xee， 121xg xe， 若( )与( )的图象上分别存在点、， 使得、关于直线 1对称，则实数 的取值范围是（ ） A1,ee B24,2ee C2,2ee D3,3ee 【答案】C 【解析】设( 0， 0)是函数( )的图象上的任意一点，其关于 1对称的点的坐标为( ， )， 所以 0 1， 0 1，所以函数( )关于 1对称的函数为( ) 2ln 由于( )与( )的图象上分别存在点、，使得、关于直线 1对称， 故函数( )
12、2ln 与函数( ) 图象在区间21,ee有交点， 所以方程 2ln 在区间21,ee上有解，所以4 2，即42kxx， 所以22kee，故选 C 【点评】本题解题的关键在于由关于直线 1对称的点的坐标之间的关系得( )关于 1对称的函数为( ) 2ln ，进而将问题转化为函数( ) 2ln 与函数( ) 图象在区间21,ee有交点，考查化归转化思想和运算求解能力，是难题 二、填空题 8函数 (2 5 7) +3是幂函数且为奇函数，则的值为_ 【答案】 2 【解析】因为函数 (2 5 7) +3是幂函数， 所以2 5 7 1，即2 5 6 ，解得 2或 3， 当 2时， 5，是奇函数，满足条件
13、； 当 3时， 6，是偶函数，不满足条件， 故 2，故答案为 2 【点评】本题主要考了幂函数的概念以及幂函数的性质，属于基础题 9已知函数( ) 3 lg( 2 1)，若| 1| ,(2 3) (2)- ，则实数 的取值范围是_ 【答案】1,11,2U 【解析】由题得( ) 3 lg( 2 1)定义域为 ， ( ) 3 lg( 2 1)， ( ) ( ) 3 lg( 2 1) 3 lg( 2 1) lg1 ， 即( )为定义域在 上的奇函数，且( )在 上单调递增（增函数+增函数=增函数） ， 当1a 时，不等式显然不成立， 当 1时，| 1| ， | 1| ,(2 3) (2)- ，即为(2
14、 3) (2) ， 即(2 3) (2)，(2 3) (2)， 则12322aa ， 故实数 的取值范围是1,11,2U，故答案为1,11,2U 【点评】解答本题的关键是想到分析函数的奇偶性和单调性，对于求解函数的问题，我们要想到分析函数的性质（单调性、奇偶性和周期性）等，来帮助我们解题 一、选择题 1已知 22log124f xxxx，若( 2 1) 2 ，则x的取值范围为（ ） A ,01,U B15 15,22 C1515,01,22U D 1,01,2U 【答案】C 【解析】函数( )的定义域需满足210240 xxx ，解得 1， 并且在区间(1， )上，函数单调递增，且(2) 2，
15、 所以( 2 1) 2 ( 2 1) (2)， 即221 112xxxx ，解得1512x或1502x，故选 C 高频易错题 【点评】本题的关键是判断函数的单调性和定义域，尤其是容易忽略函数的定义域 一、选择题 1已知 5且 5 5， 4且 4 4， 3且 3 3，则（ ） Acba B C D 【答案】D 【解析】因为 5 5， 5，故 ，同理， ， ， 令 0 xef xxx，则 21xexfxx， 当 1时，( ) ；当 1时，( ) ， 故( )在0,1为减函数，在(1， )为增函数， 因为 5 5， 5，故55aeea，即(5) ( )， 而 5，故 1， 同理 1， 1，(4) (
16、 )，(3) ( )， 因为(5) (4) (3)，故( ) ( ) ( )， 所以 1，故选 D 【点评】导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性， 此类问题，代数式变形很关键 2已知 ，且 1，则函数 与1logayx的图象可能是（ ） A B 精准预测题 C D 【答案】C 【解析】若 1，函数 的图象下降，即为减函数，且过0,1， 1loglogaayxx 的图象下降，即为减函数，且0 x，以上图象 C 符合； 若 1，函数 的图象上升，即为增函数，且过0,1， 1loglogaayxx 的图象上升，即为增函数，以上图象都不符合， 故选 C 【点
17、评】本题主要考查了指数函数与对数函数图象之间的关系以及通过图象变换得到新的函数图象 3已知函数( ) ln ，( ) ln ，若( 1) ln，( 2) ，则 1 2ln的最小值为（ ） A21e B2e C1e D21e 【答案】C 【解析】 ( 1) 1 ln 1 ln， 1 1， ( 2) 2ln 2 ，2ln2lnxtex ， 由得12ln12lnxxexex， 在( ， )单调递增， 1 ln 2，则 1 2 ， 1 2ln ln， 令( ) ln( )，则() ln 1， 令() ，解得1te；令() ，解得10te ， 故()在10,e单调递减，在1,e单调递增，min11hee
18、 ，故选 C 【点评】本题考查函数与方程的应用，解题的关键是根据方程的特点得出 1 ln 2，即 1 2 ， 将所求化为( ) ln( )求最值，利用导数即可 4已知函数 ln ,01,0 xx xf xxx，若 1 2且( 1) ( 2)，则| 1 2|的最大值为（ ） A22 B2 C2 D1 【答案】B 【解析】当 时，( ) ln ，求导( ) ln 1， 令( ) ，得1xe， 当10,xe时，( ) ，( )单调递减；当1,xe时，( ) ，( )单调递增， 如下图所示： 设点的横坐标为 1，过点作 轴的垂线交函数 yf x于另一点， 设点的横坐标为 2，并过点作直线 1的平行线，
19、 设点到直线的距离为，| 1 2| 2， 由图形可知，当直线与曲线 ln 相切时，取最大值， 令( ) ln 1 1，得 1，切点坐标为(1， )， 此时，1 0 122d ，12max222xx，故选 B 【点评】本题考查函数零点差的最值问题，解题的关键将问题转化为两平行直线的距离，考查学生的化归与转化思想以及数形结合思想，属于难题 5已知函数 21,10,0 xxeexf xxx，若 5001，33log 22b ，3log 09c ，则有（ ） A( ) ( ) ( ) B( ) ( ) ( ) C( ) ( ) ( ) D( ) ( ) ( ) 【答案】C 【解析】因为 21,10,0
20、 xxeexf xxx， 当 时，( ) 1，( ) ， 所以( ) 1单调递增，且( ) 1； 当 时，( ) 1 2，在,0上单调递增，且( ) 1， 所以函数( )在 上单调递增， 又由 5001 1，30log 2 21b， ，得 ， 所以( ) ( ) ( )，故选 C 【点评】本题考查比较大小，解题方法是利用函数的单调性同时在比较幂与对数大小时，利用指数函数与对数函数的单调性并结合中间值比较 6已知函数 yf x的定义域为 ，( ) ( ) ，且当 1 2 时，有12120f xf xxx， 当 2 2 时，有( ) (2 2 ) ( )恒成立，则 的取值范围为（ ） A( ， )
21、 B(， ) C(1， ) D(，1) 【答案】B 【解析】根据( ) ( ) ，得( ) ( )，所以( )是定义在 上的奇函数， 则有( ) 又由 1 2 时，有12120f xf xxx，得 yf x在( ， )上单调递减 又 yf x是奇函数，则有( )在(， )上也单调递减， 则( )在 上为减函数，所以(2 2 ) 当0 x时， 2 2 2 2 ，所以( ) (2 2 ) ( )， 则恒有( ) (2 2 ) ( )； 当 时， 2 2 ，此时( ) (2 2 ) (2 2 ) ( )， 故( ) (2 2 ) ( )不成立； 当 时， 2 2 2 2 ，所以( ) (2 2 )，
22、此时，( ) ， 故( ) (2 2 ) ( )，与条件矛盾， 故 的取值范围为(， )，故选 B 【点评】此题考查函数奇偶性的应用和单调性的应用，解题的关键是根据( ) ( ) ， 得( ) ( )，所以( )是定义在 上的奇函数，则有( ) 又由 1 2 时，有12120f xf xxx，得 yf x在( ， )上单调递减 又 yf x是奇函数，则有( )在(， )上也单调递减，则( )在 上为减函数， 所以(2 2 ) ，然后分情况求解即可 二、填空题 7已知函数22 ,0( )log,0 xxf xxx，若() (1) ，则 _ 【答案】14 【解析】因为(1) 2(1) 2，若()
23、(1) ，则() 2， 当 时，() 2 2无解； 当 时，() log2 2，可得2124t， 故答案为14 【点评】本题主要考了分段函数的性质，指数、对数函数的运算，属于基础题 8函数( ) ln ln(2 )的最大值为_ 【答案】0 【解析】由( ) ln ln(2 ) ln, ( 1)2 1-，且 2， 令( ) ( 1)2 1，() ln， 即( )在 1为单调递增，1 2为单调递减，而()为增函数， ( )在 1上单调递增，1 2上单调递减，( )max ， 故答案为 0 【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，复合函数最值得求法，难度中等偏简单 9意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数
24、量为例引入数列* +：1，1，2，3，5，8，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，故此数列称为斐波那契数列，通项公式为11515225nnna，该通项公式又称为“比内公式”（法国数学家比内首先证明此公式） ，是用无理数表示有理数的一个范例设n是不等式2 log15156xxx的正整数解，则n的最小值为_ 【答案】9 【解析】设n是不等式2 log15156xxx的正整数解， 2 log15156nnn，即615152nnn， 61515222nn，61151522255nn， 即625na ，则1222409655na ， 又* +单调递增，且222289409621345aa，故答案为 9 【点评】本题把函数与数列结合，考查了对数得运算，数列得单调性，属于中档题
