1、 本部分高考的热点主要为等差、 等比数列的基本量和性质的考查和数列求和及数列的综合问题 基本量和性质的考查常以小题的形式出现,数列求和及数列综合问题常以解答题的形式出现是高考的重点 1相关公式 等差数列的通项公式:= 1+ ( 1) 等差中项:2= ;1+ :1,若 + = + ,则+ = + (, ) 等差数列的求和公式:12nnn aaS,112nn ndSna 等比数列的通项公式:= 1;1 等比中项:2= ;1 :1,若 + = + ,则 = (, ) 等比数列的求和公式:1111nna qSqq 前项和与第项的关系:= ;1( 2) 2判断等差数列的方法 (1)定义法 ;1 = (常
2、数)( )*+是等差数列; (2)通项公式法 = + (,为常数, )*+是等差数列; (3)中项公式法 2:1= + :2( )*+是等差数列; (4)前项和公式法 命题趋势命题趋势 考点清单考点清单 专题专题 7 7 数列数列 = 2+ (,为常数, )*+是等差数列 3判断等比数列的常用方法 (1)定义法 1nnaqa(是不为 0 的常数, )*+是等比数列; (2)通项公式法 = (,均是不为 0 的常数, )*+是等比数列; (3)中项公式法 :12= :2( 0, )*+是等比数列 一、选择题 1设是数列*+的前项和,若112a ,111nnaa ,则2021=( ) A20172
3、 B1009 C20192 D1010 【答案】B 【解析】在数列*+中,112a ,111nnaa , 则21111aa ,32112aa ,431112aa , 以此类推可知,对任意的 ,:3= ,即数列*+是以3为周期的周期数列, 2021 = 3 673 + 2, 因此,202131233167367467412210092SSaaSa ,故选 B 【点评】根据递推公式证明数列*+是周期数列的步骤: (1)先根据已知条件写出数列*+的前几项,直至出现数列中的循环项,判断循环的项包含的项数; (2)证明:= ( ),则可说明数列*+是周期为的周期数列 2已知首项为最小正整数,公差不为零的
4、等差数列*+中,2,8,12依次成等比数列,则4的值 精题集训精题集训 (70 分钟) 经典训练题 是( ) A1619 B2219 C26 D58 【答案】A 【解析】设公差不为零的等差数列*+的公差为d,则有0d , 因为2,8,12依次成等比数列,1= 1, 所以有82= 2 12,即( + 7)2= (1+ )(1+ 11),整理得192= 1, 因为0d ,所以119ad ,119d , 因此41316311919aad ,故选 A 【点评】本题主要考了等查数列的通项公式,可以利用基本量法进行求解,属于基础题 3等比数列*+中,1+ 2= 6,3+ 4= 12,则*+的前 8 项和为
5、( ) A90 B30(2 + 1) C45(2 + 1) D72 【答案】A 【解析】 *+是等比数列, 1+ 2,3+ 4,5+ 6,7+ 8也成等比数列, Q1+ 2= 6,3+ 4= 12, 5+ 6= 24,7+ 8= 48, 前 8 项和为1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8= 90,故选 A 【点评】本题主要考了等比数列的性质以及等比数列的通项公式,属于基础题 4若数列*+满足1120nnaa,则称*+为“梦想数列”,已知正项数列1nb为“梦想数列”,且1+ 2+ 3= 1,则6+ 7+ 8=( ) A4 B8 C16 D32 【答案】D 【解析】由题意可知,若数列*+为
6、“梦想数列”,则1120nnaa,可得112nnaa, 所以,“梦想数列”*+是公比为12的等比数列, 若正项数列1为“梦想数列”,则1112nnbb,所以,12nnbb, 即正项数列*+是公比为2的等比数列, 因为1+ 2+ 3= 1,因此,6+ 7+ 8= 25(1+ 2+ 3) = 32,故选 D 【点评】本题考查数列的新定义“梦想数列”,解题的关键就是紧扣新定义,本题中,“梦想数列”就是公比为12的等比数列,解题要将这种定义应用到数列1nb中,推导出数列*+为等比数列,然后利用等比数列基本量法求解 5等差数列*+中,已知1+ 4+ 7= 39,3+ 6+ 9= 27,求2+ 8=( )
7、 A11 B22 C33 D44 【答案】B 【解析】等差数列*+中1+ 4+ 7= 39,3+ 6+ 9= 27, 1+ 4+ 7= 34= 39,3+ 6+ 9= 36= 27, 4= 13,6= 9,2+ 8= 4+ 6= 22,故选 B 【点评】本题的考点为等差中项,及等差数列的通项公式,属于基础题 6两个等差数列的前项和之比为51021nn,则它们的第 7 项之比为( ) A4513 B31 C8027 D21 【答案】B 【解析】设两个等差数列分别为*+,*+,它们的前项和分别为, 则51021nnSnTn,11377131137713131375231325132aaaaSbbb
8、bT,故选 B 【点评】本题考查等差数列的性质,若等差数列含有奇数项,则其前项和等于项数乘以中间项,是基础题 7在等差数列*+中,1= 2018,其前n项和为,若101221210SS,则2020=( ) A4040 B2020 C2020 D4040 【答案】C 【解析】设等差数列*+的前项和为= 2+ ,则nSAnBn, 所以nSn是等差数列 因为101221210SS,所以nSn的公差为1, 又11201811Sa ,所以nSn是以2018为首项,1为公差的等差数列, 所以202020182019 112020S ,所以2020= 2020,故选 C 【点评】本题主要考查等差数列前项和公
9、式的理解和运用,考查等差数列基本量的计算,属于基础题 8等差数列*+的前项和为,其中352a ,414S ,则当取得最大值时的值为( ) A4 或 5 B3 或 4 C4 D3 【答案】C 【解析】设*+公差为,由题意知115224614adad,解得11322ad , 由等差数列前项和公式,知2152nSnn , 对称轴为154n ,所以当 = 4时,最大,故选 C 【点评】本题主要考查等差数列的基本量的计算及前项和的最值问题,属于基础题 9已知数列 na的前n项和0nSAqnB q,则“AB ”是“数列 na是等比数列”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也
10、不必要条件 【答案】B 【解析】当0AB时,0nS ,0na , na不是等比数列; 若数列 na是等比数列,当1q 时,nSAB, 所以02nan,与数列 na是等比数列矛盾,所以1q ,111nnaqSq, 所以11aAq ,11aBq,所以AB , 因此“AB ”是“数列 na是等比数列”的必要不充分条件,故选 B 【点评】 (1)本题主要考查充要条件的判断,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力 (2)判断充要条件,首先必须分清谁是条件,谁是结论,然后利用定义法、转换法和集合法来判断 二、填空题 10等差数列*+中,5= 9,7= 21,则10+ 11+ 12=_ 【答案】13
11、5 【解析】由已知得5+ 7= 26,所以6= 15,所以公差 = 6, 所以10+ 11+ 12= (5+ 6+ 7) + 15 = 135,故答案为 135 【点评】此题考查等差数列的性质的应用,属于基础题 11设数列*+中12a ,若等比数列*+满足:1= ,且1010= 1,则2020=_ 【答案】2 【解析】根据题意,数列*+满足:1= ,即1nnnaba, 则有20202020201920182201920182017112019201820171aaaaabbbbaaaaa , 而数列*+为等比数列,则2019 2018 2017 1= (1010)2019= 1, 则20201
12、1aa, 又由12a ,则2020= 2,故答案为 2 【点评】 本题考查了等比数列的性质以及应用, 考查了累乘法求数列通项的应用及运算求解能力, 属于中档题 三、解答题 12设等差数列*+的前n项和为,首项1= 1,且4 41= 12数列*+的前n项和为,且满足1= 1,:1= 2+ 1 (1)求数列*+和*+的通项公式; (2)求数列nnab的前n项和 【答案】 (1)= 2 1,= 3;1; (2)1133nn 【解析】 (1)设数列*+的公差为d,且1= 1, 又4 41= 12, 则1+ 2+ 3+ 4 41= (1 + 2 + 3) = 12,所以 = 2, 则= 1 + ( 1)
13、 2 = 2 1; 由:1= 2+ 1,可得= 2;1+ 1( 2), 两式相减得:1 = 2,:1= 3( 2), 又2= 21+ 1 = 3,所以2= 31, 故*+是首项为 1,公比为 3 的等比数列,所以= 3;1 (2)设1213nnnnancb,记*+的前n项和为 则0121135213333nnnTL,12311352133333nnnTL, 两式相减得:121222221133333nnnnT L, 11112212233122133313nnnnnnT ,所以1133nnnT 【点评】数列求和的方法: (1)等差等比公式法; (2)裂项相消法; (3)错位相减法; (4)分组
14、(并项)求和法; (5)倒序相加法 13已知数列*+满足31212311212121212nnnaaaaL, (1)求数列*+的通项公式; (2) 设等差数列*+的前项和为, 且21122nSnnk, 令= + 2, 求数列*+的前项和 【答案】 (1)112nna ; (2)11122nnn nT 【解析】 (1)当 = 1时,11132a,132a ; 当 2时,由31212311212121212nnnaaaaL, 得31121231111212121212nnnaaaaL, ,得111121222nnnnna ,112nna ,132a 也符合, 因此,数列*+的通项公式为112nna
15、 (2)由题意,设等差数列*+的公差为, 则221111122222nn ndddSnbnbnnnk, 11221220ddbk ,解得1010bdk, = 1+ ( 1) = 1, 由(1)知,212nnnncbaknn, 故1232311111232222nnnTccccn LLL 111111221122212nnn nn n 【点评】数列求和的常用方法: (1)对于等差等比数列,利用公式法直接求和; (2)对于n na b型数列,其中*+是等差数列,*+是等比数列,利用错位相减法求和; (3)对于*+ +型数列,利用分组求和法; (4)对于11nna a型数列,其中*+是公差为0d d
16、 的等差数列,利用裂项相消法求和 一、解答题 1已知数列*+满足:21*1233333nnnaaaanN (1)求数列*+的通项公式; (2)设111311nnnnbaa,求数列*+的前项和 【答案】 (1)*13nnanN; (2)11142 31nnS 【解析】 (1)因为数列*+满足:21*1233333nnnaaaanN, 高频易错题 所以,当 = 1时,113a , 当 2时,21211333nnnaaa, 相减可得1133nna,所以13nna , 综上可得,*13nnanN (2)因为1111111131131133nnnnnnnbaa 1131112 313131 31nnnn
17、n, 所以122311111111111231313131313142 31nnnnS 【点评】该题考查的是有关数列的问题,解题方法如下: (1)利用数列项与和的关系,求得通项,注意需要对首项验证; (2)将化简,利用裂项相消法求和即可 一、选择题 1公差不为 0 的等差数列*+中,23 72+ 211= 0,数列*+是等比数列,且7= 7,则68=( ) A2 B4 C8 D16 【答案】D 【解析】等差数列*+中,3+ 11= 27, 故原式等价于72 47= 0,解得7= 0或7= 4, 各项不为 0 的等差数列*+,故得到7= 4 = 7, 数列*+是等比数列,故68= 72=16,故
18、选 D 【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的性质 2设等差数列*+的前项和为,若396,S S S成等差数列,且2= 10,则9的值为( ) A28 B36 C42 D46 【答案】B 精准预测题 【解析】396,S S S成等差数列, 29= 3+ 6, 设*+的公差为,则1119 83 26 52936222adadad,解得16ad , Q2= 10,2= 1+ = 6 + = 5 = 10, = 2,112a , 919 89362Sad,故选 B 【点评】本题主要考查等差数列的性质以及前项和公式,考查学生的运算求解能力,求解本题的关键是熟练掌握等差数列的有关公式,并灵活运用,属于
19、基础题 3设等差数列 na的前n项和为nS,且0na ,若533aa,则95SS( ) A95 B59 C53 D275 【答案】D 【解析】依题意,19951553992552aaSaaaSa, 又533aa,95927355SS,故选 D 【点评】本题考查了等差数列的前n项和,考查了等差中项的性质,考查计算能力,属于基础题 4若等差数列*+的公差为d,前n项和为,记nnSbn,则( ) A数列*+是等差数列,*+的公差也为d B数列*+是等差数列,*+的公差为 2d C数列*+ +是等差数列,*+ +的公差为d D数列* +是等差数列,* +的公差为2d 【答案】D 【解析】由题可得= 1
20、+ ( 1),112nn nSnad, 则11111222nnSnbadaddnn是关于n的一次函数, 则数列*+是公差为12d的等差数列,故 A,B 错误; 由133222nnabaddn是关于n的一次函数,得数列*+ +是公差为32d的等差数列,故 C 错误; 又1122nnabddn 是关于n的一次函数,则数列* +是公差为12d的等差数列,故 D 正确, 故选 D 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式,考查等差数列*+,= + 是关于的一次函数,公差为p,熟练掌握等差数列通项公式的函数性质是解题的关键,属于基础题 5等比数列*+的首项1= 4,前n项和为,若6= 93,则数列l
21、og2的前 10 项和为( ) A65 B75 C90 D110 【答案】A 【解析】*+的首项1= 4,前项和为,6= 93, 634 14 1911qqqq ,解得 = 2, = 4 2;1= 2:1,log2= + 1, 故数列log2的前10项和为10 2 1123411652 L,故选 A 【点评】本题考查等比数列的通项与求和,考查学生的计算能力,考查学生分析解决问题的能力,比较基础 6 (多选)设*+是等差数列,是其前项的和,且5 8,则下列结论正确的是( ) A 0 B7= 0 C9 5 D6与7S均为的最大值 【答案】BD 【解析】根据题意,设等差数列*+的公差为,依次分析选项
22、: *+是等差数列,若6= 7,则7 6= 7= 0,故 B 正确; 又由5 0,则有 = 7 6 5,即6+ 7+ 8+ 9 0,可得2(7+ 8) 0, 又由7= 0且 0,则8 0,必有7+ 8 0,显然 C 选项是错误的; 5 8,6与7S均为的最大值,故 D 正确, 故选 BD 【点评】本题考查了等差数列以及前项和的性质,需熟记公式,属于基础题 二、填空题 7数列*+中,1= 2,:= ,若155231122kkkaaaL,则 =_ 【答案】3 【解析】因为1= 2,:= ,所以:1= 1,所以112nnaaa, *+是等比数列,公比为 2,所以= 2 因为2311132155231
23、12222222kkkkkkkkaaaLL, 所以 = 3,故答案为 3 【点评】本题主要考查等比数列的定义、前n项和公式的应用,属于基础题 8 在等差数列 na中, 若1216aa,51a , 则1a _; 使得数列 na前n项的和nS取到最大值的n_ 【答案】9,5 【解析】设等差数列 na的公差为d, 1216aa,51a ,1216ad,141ad, 解得19a ,2d 92111 2nann 令11 20nan,解得111522n 使得数列 na前n项的和nS取到最大值的5n 故答案为 9,5 【点评】本题考查等差数列的通项公式,考查等差数列前n项的和的最值,考查学生的计算能力,是中
24、档题 三、解答题 9已知数列*+是等差数列,其前n项和为,且3= 12,8= 16数列*+为等比数列,满足1= 2,35= 2564 (1)求数列*+,*+的通项公式; (2)若数列*+满足111nnnnca ab,求数列*+的前n项和 【答案】 (1)= 2,= 4; (2)1114134nnnTn 【解析】 (1)设数列*+的公差是d,数列是*+的公比是q 由题意得117163312adad,所以12ad,所以= 2; 1= 2= 4,35= 2564 4= 256, 341644bqqb,= 4 (2)由(1)知111111 111414414nnnnnnca abn nnn, = 1+
25、 2+ 3+ + 121 1111 1111 1114 1244 234414nnnL 121111111111412231444nnnLL 11144111141413414nnnnnn 【点评】数列求和的常用方法: (1)对于等差等比数列,利用公式法可直接求解; (2)对于n na b结构,其中*+是等差数列,*+是等比数列,用错位相减法求和; (3)对于*+ +结构,利用分组求和法; (4) 对于11nna a结构, 其中*+是等差数列, 公差为, 则111111nnnna adaa, 利用裂项相消法求和 10已知*+是等差数列,其前项和为若1 1,2 2,3 2成等比数列,5= 3(1
26、+ 4) (1)求*+的通项公式; (2)设= + 2数列*+的前项和为,求 【答案】 (1)= 2; (2)41413nnTn n 【解析】 (1)设等差数列*+的公差为, 因为1 1,2 2,3 2成等比数列,所以(1+ 2)2= (1 1)(1+ 2 2), 即2 2 = 1 2, 因为5= 3(1+ 4),所以1115 45332adaad,即1= , 由得1= 1, = 1或12a , = 2 当1= 1, = 1时,1 1 = 0,与1 1,2 2,3 2成等比数列矛盾, 所以12a , = 2,所以= 2 + ( 1) 2 = 2 (2)由(1)得= + 2= 2 + 22= 2 + 4, 所以1241 422246244421 4nnnnnTn 41413nn n 【点评】数列求和的常用方法: (1)公式法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和 (2)错位相减法:若*+是等差数列,*+是等比数列,求11+ 22+ (3) 裂项相消法: 把数列的通项拆成两项之差, 相消剩下首尾的若干项 常见的裂项有11111n nnn,11 11222n nnn,111121 212 2121nnnn等 (4)分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和 (5)倒序相加法