1、2022年中考数学一轮复习 05 二次根式 考点考点 课标要求课标要求 考查角度考查角度 1 乘方与乘方与 开方开方 了解平方根、算术平方根、了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平表示数的平方根、算术平方根、立方根方根、立方根了解乘方了解乘方与开方互为逆运算与开方互为逆运算 会用平方运算求百以内整数的平方根，会会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根的立方根，会用计算器求平方根和立方根. 常以选择、填空题为主常以选择、填空题为主. 2
2、二次根式二次根式的概念和的概念和性质性质 了解二次根式、最简二次了解二次根式、最简二次根式的概念根式的概念. 考查二次根式的概念和基本性质考查二次根式的概念和基本性质.能掌握形能掌握形如：如： ， 的化简与运算（分母有的化简与运算（分母有理化）理化）. 常以选择、填空题、解答题的形式命题常以选择、填空题、解答题的形式命题. 中考命题说明中考命题说明 1232323 考点考点 课标要求课标要求 考查角度考查角度 3 二次根式二次根式的运算的运算 了解二次根式（根号下仅限于数）了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算们进行有
3、关的简单四则运算. . 考查二次根式的运算考查二次根式的运算. . 常以选择、填空题、解答题的形常以选择、填空题、解答题的形式命题式命题. . 中考命题说明中考命题说明 思维导图思维导图 知识点知识点1 1：数的乘方与开方：数的乘方与开方 知识点梳理知识点梳理 1. 数的乘方数的乘方：负数的奇次幕是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂：负数的奇次幕是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，都是正数，0的任何正整数次幂都是的任何正整数次幂都是0 2. 数的开方数的开方：（：（1）正数有两个平方根，负数没有平方根，）正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是的平方根是0，正数的正
4、的平方根叫做算术平方根正数的正的平方根叫做算术平方根 （2）若）若 ，则，则b叫做叫做a的立方根的立方根 3ba典型例题典型例题 知识点知识点1 1 ：数的乘方与开方：数的乘方与开方 【例【例1】（3分）分）（2021上海上海9/25）已知）已知 ，则，则x= 43x 【分析分析】根据算术平方根的概念：一般地根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数如果一个正数x的平方等于的平方等于a，即即x2=a，那那么这个正数么这个正数x叫做叫做a的算术平方根的算术平方根记为记为 进行解答即可进行解答即可 【解答解答】解：解： ， x+4=9 x=5 故答案为：故答案为：5 a43x 典型例题典型例题 【
5、例例2】（3分分）（2021包头包头15/26）一个正数一个正数a的两个平方根是的两个平方根是2b- -1和和b+4，则则a+ b的立方根为的立方根为 【解答解答】解：解：一个正数一个正数a的两个平方根是的两个平方根是2b-1和和b+4， 2b-1+b+4=0， b=-1 b +4=-1+4=3， a=9 a+b=9+(-1)=8， 8的立方根为的立方根为2，a+b的立方根为的立方根为2 故答案为：故答案为：2 知识点知识点1 1 ：数的乘方与开方：数的乘方与开方 典型例题典型例题 知识点知识点1 1 ：数的乘方与开方：数的乘方与开方 【例【例3】若】若a满足满足 ，则，则a的值为的值为（ ）
6、 A. 1 B. 0 C. 0或或1 D. 0或或1或或1 3aa【分析】【分析】 ，a为为0或或1 故选故选C 【答案】【答案】C 3aa知识点知识点2 2：二次根式的概念和性质：二次根式的概念和性质 知识点梳理知识点梳理 1. 二次根式二次根式：形如：形如(a0)的式子叫做二次根式的式子叫做二次根式 2. 二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于：被开方数大于或等于 0 3. 最简二次根式最简二次根式：必须同时满足以下两个条件：必须同时满足以下两个条件： （1）被开方数不含分母；）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）被开方数中不含能开得尽方的
7、因数或因式 如：如： ， 是最简二次根式，而是最简二次根式，而 ， ， 都不是最简二次根式都不是最简二次根式. 521x 81222a知识点知识点2 2 ：二次根式的概念和性质：二次根式的概念和性质 知识点梳理知识点梳理 4. 同类二次根式同类二次根式：当二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这：当二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式几个二次根式叫做同类二次根式 5. 二次根式的性质二次根式的性质： （1） = a (a0) （2） =|a|= （3） (a0，b0) （4） (a0，b0) 2()a2a(0)(0).aaaa ，abab
8、gaabb典型例题典型例题 【例例4】（2分分）（2021北京北京9/28）若若 在实数范围内有意义在实数范围内有意义，则实数则实数x的取值的取值范围是范围是 【考点考点】二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件 【分析分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式解不等式，得到答案得到答案 【解答解答】解：由题意得：解：由题意得：x70， 解得：解得：x7， 故答案为：故答案为：x7 【点评点评】本题考查的是二次根式有意义的条件本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键数是解题的关
9、键 知识点知识点2 2 ：二次根式的概念和性质：二次根式的概念和性质 7x 典型例题典型例题 【例【例5】（3分）分）（2020上海上海1/25）下列二次根式中，与）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是是同类二次根式的是（ ） A B C D 知识点知识点2 2 ：二次根式的概念和性质：二次根式的概念和性质 3181296【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断 【解答】解：【解答】解：A、 与与 的被开方数不相同，故不是同类二次根式；的被开方数不相同，故不是同类二次根式； B、 ，与，与 不是同类二次根式；不是同类二次根式； C、 ，与，
10、与 被开方数相同，故是同类二次根式；被开方数相同，故是同类二次根式； D、 ，与，与 被开方数不同，故不是同类二次根式被开方数不同，故不是同类二次根式 故选：故选：C 93122 3183 263333典型例题典型例题 【例例6】（3分分）（2021上海上海1/25）下列实数中下列实数中，有理数是有理数是（ ） A B C D 知识点知识点2 2 ：二次根式的概念和性质：二次根式的概念和性质 12151413【解答】解：【解答】解：A、 ，不是有理数，不合题意；，不是有理数，不合题意； B、 ，不是有理数，不合题意；，不是有理数，不合题意； C、 ，是有理数，符合题意；，是有理数，符合题意；
11、D、 ，不是有理数，不合题意；，不是有理数，不合题意； 故选：故选：C 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键 1222133311421555知识点知识点3 3 ：非负性非负性 知识点梳理知识点梳理 1. 概念概念：正数和零叫做非负数常见的非负数有：正数和零叫做非负数常见的非负数有|a|，a2， (a0) 2. 性质性质：若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零：若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零 如：若如：若a2+|b|+ =0，则，则a2=0，|b|=0， =0，可得，可得a=b=
12、c=0 acc典型例题典型例题 【例例7】（3分分）（2021云南云南9/23）已知已知a，b都是实数都是实数若若 ，则则a- -b= 知识点知识点3 3 ：非负性非负性 21(2)0ab 【解答解答】解：解： ， ，(b-2)20， a+1=0，b-2=0， 解得解得a=- -1，b=2， a- -b=- -1- -2=- -3 故答案为：故答案为：- -3 【点评点评】本题考查了非负数的性质本题考查了非负数的性质初中阶段有三种类型的非负数：初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；绝对值；（2）偶次方；偶次方；（3）二次根式二次根式（算术平方根算术平方根）当它们相加和为当它们相加和为0时时
13、，必须满足其必须满足其中的每一项都等于中的每一项都等于0根据这个结论可以求解这类题目根据这个结论可以求解这类题目 21(2)0ab 1 0a 典型例题典型例题 【例例8】（3分分）（2021青海青海3/25）已知已知a，b是等腰三角形的两边长是等腰三角形的两边长，且且a，b满足满足 +(2a+3b13)20，则此等腰三角形的周长为则此等腰三角形的周长为（ ） A8 B6或或8 C7 D7或或8 知识点知识点3 3 ：非负性非负性 235ab【分析】首先根据【分析】首先根据 +(2a+3b13)20，并根据非负数的性质列方程组，并根据非负数的性质列方程组求得求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周
14、长即可的值，然后求得等腰三角形的周长即可 235ab典型例题典型例题 知识点知识点3 3 ：非负性非负性 【解答解答】解：解： +(2a+3b13)20， ， 解得：解得： ， 当当b为底时为底时，三角形的三边长为三角形的三边长为2，2，3，周长为周长为7； 当当a为底时为底时，三角形的三边长为三角形的三边长为2，3，3，则周长为则周长为8， 等腰三角形的周长为等腰三角形的周长为7或或8 故选：故选：D 【点评点评】本题考查了等腰三角形的性质本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理三角形三边关系定理、二元一次方程方程组二元一次方程方程组，关键是根据关键是根据2，3分别作为腰分别作为腰，由
15、三边关系定理由三边关系定理，分类讨论分类讨论 235ab235023130abab23ab知识点知识点4 4 ：二次根式的化简与运算二次根式的化简与运算 知识点梳理知识点梳理 1. 加减运算加减运算：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并进行合并 2. 乘除运算乘除运算： (a0，b0)； (a0，b 0) =ababg=aabb知识点知识点4 4 ：二次根式的化简与运算二次根式的化简与运算 知识点梳理知识点梳理 3. 混合运算混合运算：与实数的运算顺序相同：与实数的运算顺序相同运算结果必须为最简二次根式运算结
16、果必须为最简二次根式 4. 把分母中的根号化去（分母有理化）的方法把分母中的根号化去（分母有理化）的方法： （1） ； （2） 1=aaaaaag1=()()ababa bababab典型例题典型例题 【例例9】（3分分）（2021包头包头6/26）若若 ，则代数式则代数式x2- -2x+2的值为的值为（ ） A7 B4 C3 D 知识点知识点4 4 ：二次根式的化简与运算二次根式的化简与运算 21x 32 2【分析分析】利用条件得到利用条件得到 ，两边平方得两边平方得x2-2x=1，利用整体代入的方法计算利用整体代入的方法计算 【解答解答】解：解： ， ， (x-1)2=2，即即x2-2x+
17、1=2， x2-2x=1， x2-2x+2=1+2=3 故选：故选：C 12x 21x 12x 典型例题典型例题 【例【例10】（3分）分）（2019安徽省安徽省11/23）计算）计算 的结果是的结果是 知识点知识点4 4 ：二次根式的化简与运算二次根式的化简与运算 182【考点】二次根式的乘除法【考点】二次根式的乘除法 【分析】根据二次根式的性质把【分析】根据二次根式的性质把 化简，再根据二次根式的性质计算即可化简，再根据二次根式的性质计算即可 【解答】解：【解答】解： 故答案为：故答案为：3 【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法运算，熟练掌握二次根式的性质是解【点评】本题主要考查了二次根
18、式的乘除法运算，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键答本题的关键 1823 22318典型例题典型例题 【例【例11】（3分）（分）（2021山西山西11/23）计算：）计算： 知识点知识点4 4 ：二次根式的化简与运算二次根式的化简与运算 1227【考点考点】二次根式的加减法二次根式的加减法 【分析分析】先将二次根式化为最简先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可然后合并同类二次根式即可 【解答解答】解：原式解：原式 ； 故答案为：故答案为： 【点评点评】本题考查了二次根式的加减本题考查了二次根式的加减，属于基础题属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根解答本题的关键是掌握二次根式的化
19、简及同类二次根式的合并式的化简及同类二次根式的合并 2 33 35 35 3典型例题典型例题 【例例12】（4分分）（2021重庆重庆A卷卷6/26）计算计算 的结果是的结果是（ ） A7 B C D 知识点知识点4 4 ：二次根式的化简与运算二次根式的化简与运算 14726 27 22 7【解答解答】解：原式解：原式 故选：故选：B 【点评点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合如能结合题目特点题目特点，灵活运用二次根式的性质灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径选择恰当的解题途径，往往能事半功倍往往能事半功
20、倍 277227727 22=6 2典型例题典型例题 【例例13】（3分分）（2021天津天津14/25）计算计算 的的结果等于结果等于 知识点知识点4 4 ：二次根式的化简与运算二次根式的化简与运算 ( 101)( 101)【考点】平方差公式；二次根式的混合运算【考点】平方差公式；二次根式的混合运算 【分析】利用平方差公式计算【分析】利用平方差公式计算 【解答】解：原【解答】解：原式式 =10- -1=9 故答案为故答案为9 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的
21、性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 2( 10)1知识点知识点5 5：二次根式的估值：二次根式的估值 知识点梳理知识点梳理 一般步骤一般步骤： 1. 一般先对根式进行平方，如 ； 2. 找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如459； 3. 对以上两个整数开方，如 ， ； 4. 这个根式的值在这两个相邻整数之间，如 2( 5)5429325 3典型例题典型例题 【例例14】（3分）（分）（2021天津天津6/25）估计估计 的的值在（值在（ ） A2和和3之间之间 B3和和4之间之间 C4和和5之间之间 D5和和6之间
22、之间 知识点知识点5 5：二次根式的估值：二次根式的估值 17【考点】估算无理数的大小【考点】估算无理数的大小 【分析】本题需先【分析】本题需先根据根据 的的整数部分是多少，即可求出它的范围整数部分是多少，即可求出它的范围 【解答】解：【解答】解： ， 的的值在值在4和和5之间之间 故选：故选：C 【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，在解题时确定无理数的整数部分即【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，在解题时确定无理数的整数部分即可解决问题可解决问题 1717174.12典型例题典型例题 【例【例15】（2分）（分）（2021北京北京7/28）已知）已知4321849，4421936，4
23、522025，4622116若若n为整数且为整数且n n+1，则，则n的值为（的值为（ ） A43 B44 C45 D46 知识点知识点5 5：二次根式的估值：二次根式的估值 2021【解答】解：【解答】解：193620212025， 44 45， n44， 故选：故选：B 【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键无理数是解题的关键 2021典型例题典型例题 【例【例16】（3分分）（）（2021广东广东8/25）设）设 的的整数部分为整数部分为a，小数部分为，小数部分为b，则则 的的值是（值是（ ） A6 B C12 D 知识点知识点5 5：二次根式的估值：二次根式的估值 610(210)ab2 109 10【解答】解：【解答】解： ， ， 的的整数部分为整数部分为a，小数部分为，小数部分为b， a=2， ， ， 故选：故选：A 3104261036106102410b (210)(2210)(410)(410)(410)6ab
