1、第第 24 章圆动点最值问题期末压轴题章圆动点最值问题期末压轴题 一、单选题一、单选题 1已知 PA，PB 是O 的切线，A，B 是切点，点 C 是O 上不同于点 A、点 B 的一个动点，若P54 ，则ACB 的度数是（ ） A63 B117 C53 或 127 D117 或 63 2如图，在 Rt ABC 中，90ACB，2 2ACCB，D 是 AB 上的动点，连接 CD，过 A 作AGCD于 G，点 E 是 BC 的中点，连接 GE，则 GE 的最小值是（ ） A2 B1 C2 D22 3 如图， O 的半径为 2， 定点 P 在O 上， 动点 A， B 也在O 上， 且满足APB30 ，
2、 C 为 PB 的中点，则点 A，B 在圆上运动的过程中，线段 AC 的最大值为（ ） A1+3 B3+2 C232 D1+33 4如图，点 A、B、P 在O 上，且APB50 若点 M 是O 上的动点，要使 ABM 为等腰三角形，则所有符合条件的点 M 有 （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5如图，F 为正方形 ABCD 的边 CD 上一动点，AB2连接 BF，过 A 作 AHBF 交 BC 于 H，交 BF 于G，连接 CG，当 CG 为最小值时，CH 的长为（ ） A2 B2 25 C35 D3+5 6如图， ACB 中，CACB4，ACB90 ，点 P 为 CA 上的动点
3、，连 BP，过点 A 作 AMBP 于 M当点 P 从点 C 运动到点 A 时，线段 BM 的中点 N 运动的路径长为（ ） A22 B2 C3 D2 7如图，AB 是半O 的直径，点 C 在半O 上，AB5cm，AC4cmD 是BC上的一个动点，连接 AD，过点 C 作 CEAD 于 E，连接 BE在点 D 移动的过程中，BE 的最小值为（ ） A1 B132 C221 D3 8如图，点 A 是半圆上一个三等分点，点 B 是弧AN的中点，点 P 是直径MN上一动点，Oe的半径为 1，则APBP的最小值为（ ） A3 B3 C2 D2 二、填空题二、填空题 9如图，AB是Oe的直径，2AB ，
4、OC是Oe的半径，OCAB，点D在AC上，2ADCD，点P是半径OC上的一个动点，则APPD的最小值为_ 10如图，Oe的半径为 4，定点 P 在Oe上，动点 A，B 也在Oe上，且满足30APB，C 为 PB 的中点，则点 A、B 在圆上运动的过程中，线段 AC 的最大值为_，此时ACB_ 11如图，点 C 是O 优弧 ACB 上的中点，弦 AB8cm，E 为 OC 上任意一点，动点 F 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度沿 AB 方向向点 B 匀速运动，若22yAEEF，则 y 与动点 F 的运动时间 x（0 x4）秒的函数关系式为_ 12如图，AB 是O 的直径，C、D 是O 上的两
5、个动点（点 C、D 不与 A、B 重合） ，在运动过程中弦 CD始终保持不变， F 是弦 CD 的中点， 过点 C 作 CEAB 于点 E 若 CD5， AB6， 则 EF 的最大值为_，此时 CE 的长度为_ 13如图， ABC 为等边三角形，AB2，若 P 为 ABC 内一动点，且满足PABACP，则点 P 运动的路径长为_ 14如图，MN 是O 的直径，MN2，点 A 在O 上，AMN40 ，B 为弧 AN 的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PAPB 的最小值为_ 15如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一动点，将 AC 绕点 A 逆时针旋转 120 得 AD，若 AB2，则 B
6、D的最大值为_ 16如图，在半径为 2 的O 中，弦 AB直径 CD，垂足为 E，ACD=30 ，点 P 为O 上一动点，CFAP于点 F当点 P 在O 上运动的过程中，线段 OF 长度的最小值为_ 三、解答题三、解答题 17如图，BC为Oe的直径，A为半圆上一动点，过点A作Oe的切线l，过点C作CDl，垂足为D，CD与Oe交于点E，连接OA，BE，AE，BE交OA于点F （1）求证：ADEEFA； （2）若4BC ，连接AB， 当AB _时，四边形OCEA为菱形； 当AB _时，四边形AFED为正方形 18如图，O的半径为 5，弦 AB 的长为 8，OCAB 于点 C。 （1）求 AC 的长
7、。 （2）求圆心 O 到弦 AB 的距离。 （3）设点 P 是弦 AB 上的一个动点，求线段 OP 的长的取值范围。 19如图，在以 AG 为直径的半圆 C 中，ACB90 ，且 BC3AC6，D 为半圆上的一动点 （1）当 BD26时，试判断直线 BD 与半圆 C 的位置关系，并说明理由 （2）当BCD50 时，求AD的长 （结果保留 ） 20如图，AB是Oe的直径，4AB ，点 C 为Oe上一点，60ABC，点P为Oe上一动点，点D是AP的中点，求CD的最小值 参考答案参考答案 1D 解：如图，连接 OA、OB，在 AB 弧上任取一点 C； PA、PB 是O 的切线，A、B 为切点， 连接
8、 AC、BC， OAPOBP90 ， P54 ， 在四边形 OAPB 中，可得AOB126 ； 则有若 C 点在优弧 AB 上，则ACB63 ； 若 C 点在优劣弧 AB 上，则ACB180 -63 =117 故选 D 2D AGCD AGC=90 如图，取 AC 中点 O，连接 OG，则122OGAC 点 G 在以 AC 为直径的O 上运动 连接 OE，则OG GEOE 即GEOE OG 当点 G 在线段 OE 上时，GE 取得最小值，且最小值为 OEOG 在 Rt ABC 中，由勾股定理得：228 84ABACBC O、E 分别是 AC、BC 的中点 OE 是 ABC 的中位线 122OE
9、AB GE=OEOG=22 故选：D 3A 如图，延长 BA 到点 D，使 DA=BA,连接 PD，PO，OA，OB，OD， BA=AD，BC=PC， AC 是 PBD 的中位线， AC=12PD， APB30 ， AOB60 ， AOB 等边三角形， OA=OB=AB=AD=2，AOB=OAB=60 ， ADO=AOD=30 ， DOB=90 ， OD=222242BDOB=2 3， DO+POPD， PD 的最大值为：DO+PO=2 3+2， AC=12PD=1+3， 故选 A 4D 解： ABM 为等腰三角形， 当 MAMB，则 M 为 AB 的垂直平分线与圆的两交点， 这时两个等腰三角
10、形的顶角分别为 50 ，130 ，如图； 当 AMAB，以 A 为圆心，AB 为半径交O 于 M， 此时等腰三角形只有一个，且底角为 50 ； 同理当 BMBA，满足条件的等腰三角形也只有一个，如图， 所以满足条件的等腰三角形有 4 个 故选：D 5C 解：如图中，取AB的中点O，连接OG，OC Q四边形ABCD是正方形， 90ABC， 2AB Q， 1OBOA， 2222125OCOBBC， AHBFQ， 90AGB， 点 G 在以 AB 为圆的14圆的AE上运动， AOOBQ， 112OGAB， CGOCOGQ， 当O，G，C共线时，CG的值最小，CG最小值51（如图 2 中） ， 1OB
11、OGQ， OBGOGB ， 四边形 ABCD 为正方形， /ABCD， OBGCFG ， OGBCGF Q， CGFCFG， 51CFCG， 90ABHBCFAGB Q， 90BAHABG ，90ABGCBF， BAHCBF ， ABBCQ， ()ABHBCF ASA ， 51BHCF， 2( 51)35CHBCBH， 故选择：C 6A 解：设 AB 的中点为 Q，连接 NQ，如图所示： N 为 BM 的中点，Q 为 AB 的中点， NQ 为 BAM 的中位线， AMBP， QNBN， QNB90 ， 点 N 的路径是以 QB 的中点 O 为圆心，14AB 长为半径的圆交 CB 于 D 的QD
12、， CACB4，ACB90 ， AB2CA42，QBD45 ， DOQ90 ， QD为O 的14周长， 线段 BM 的中点 N 运动的路径长为：1904 2241802， 故选：A 7B 解：如图，连接 BO、BC CEAD， AEC90 ， 在点 D 移动的过程中，点 E 在以 AC 为直径的圆上运动， AB 是直径， ACB90 ， 在 Rt ABC 中，AC4，AB5， 2222543BCABAC，OE2， 在 Rt BCO中，22222313BOBCCQ ， OE+BEOB， 当 O、E、B 共线时，BE 的值最小，最小值为 OBOE132， 故选：B 8C 【详解】 解：作点 A 关
13、于 MN 的对称点 A，连接 AB 交 MN 于点 P，则 PA+PB 最小， 连接 OA,AA. 点 A 与 A关于 MN 对称，点 A 是半圆上的一个三等分点， AON=AON=60 ，PA=PA， 点 B 是AN的中点， BON=30 ， AOB=AON+BON=60 +30 =90 ， 又OA=OA=1， 在 RtOAB中， AB2222=+1 +1OAOB=2， PA+PB=PA+PB=AB=2 故选：C 93 连接BD，交OC于点P，连接,OD AP AD， QOCAB，点P是半径OC上的一个动点， APPB DPAPDPPBDBQ APPD的最小值为DB的长， ACCB，90AO
14、C Q2ADCD 23ADAC 2603AODAOC ADADQ 30ABD 在Rt ADCV中 12,12ABADAB 3BD APPD的最小值为3 故答案为：3 102 32； 45 如图，连接 OA、OP、OB，取OB的中点M， Q30APB，ABAB 60AOB AOB V是等边三角形 32 32AMOB MQ是OB的中点，C是BP的中点 122MCOP QACAMMC 当,A M C三点共线时，AC取得最大值， 最大值为2 32AMMC 当,A M C三点共线时，如图， 取OP的中点Q，连接QC QC是PB的中点 QCBO AOBQ是等边三角形，M为OB的中点， ACOB QM为OB
15、的中点，C是PB的中点 MCPO OBPO 45BPO QMCPO 45ACB 故答案为：2 32；45 1128yxx 【分析】 首先延长CO交AB于G，根据垂径定理的知识，可得COAB，并可求得AG的值，由勾股定理可得222AEAGEG，222EFFGEG，即可求得22yAGFG，即可求得函数关系式 【详解】 解：如图示，延长CO交AB于G， Q点C是Oe优弧ACB上的中点， COAB，1184()22AGABcm ， 222AEAGEG，222EFFGEG， 当04x时，AFxcm，(4)FGx cm， 222222222216(4)8yAEEFAGEGFGEGAGFGxxx； 故答案是
16、：28yxx 123 112 解：如图，延长 CE 交O 于 H，连接 DH ABCH， ECEH， CFFD， EF12DH， 当 DH 在直径时，EF 的值最大，此时DCH90 ， 11322EFDHAB, CH22226511DHCD， CE112， EF 最大时，EC 的长为112， 故答案为：3；112 134 39 解：ABC 是等边三角形， ABCBAC60 ，ACAB2， PABACP， PAC+ACP60 ， APC120 ， 点 P 的运动轨迹是AC，如图所示： 连接 OA、OC，作 ODAC 于 D， 则 ADCD12AC1， AEC所对的圆心角2APC240 ， 劣弧
17、AC 所对的圆心角AOC360 240 120 ， OAOC， OAD30 ， ODAC， OD33AD32，OA2OD2 33， AC的长为2 31204 331809； 故答案为：4 39 143 解：作点 B 关于 MN 的对称点 C，连接 AC 交 MN 于点 P，则 P 点就是所求作的点 此时 PA+PB 最小，且等于 AC 的长 连接 OA，OC，OB，作 ODAC 于 D， AMN40 ， AON80 ， B 为弧 AN 的中点， AOBNOB40 ， 由对称可知，CONNOB40 ， AOC120 ， MN2 OAOC1， OACOCA30 ， OD12， 2232CDOCOD
18、， AC2CD3 故答案为3 1571 如图，将 ABD 绕点 A 顺时针旋转 120 ，则 D 与 C 重合，B是定点，BD 的最大值即 BC 的最大值，即 B、O、C 三点共线时，BD 最大，过 B作 BEAB 于点 E， 由题意得：ABAB2，BAB120 ， EAB60 ， Rt AEB中，ABE30 ， AE12AB1，EB222 -13， 由勾股定理得：OB22+OEBE222 +37， BCOBOC71 故填：71 163-1 解：如图，连接 OA，取 AC 的中点 H，连接 OH，OF，HF， OA=OC，AH=HC， OHAC， AHO=90 ， COH=60 ， HCO=3
19、0 ， OH=12OC=1，HC=3，AC=23， CFAP， AFC=90 ， HF=12AC=3， OFFH-OH，即 OF3-1， OF 的最小值为3-1 故答案为：3-1 17 （1）证明：直线l为Oe的切线， 90FAD， CDl， 90FADD， OACD， AED=EAF， BC为Oe的直径， 90BECAFE， D=AFE=90 ， AE=AE， ADEEFA AASVV； （1）四边形OCEA为菱形，4BC ， 122OACEBC，OACD， 由（1）可得90BEC， 30EBC， 60AOBBCE， OA=OB， AOB 是等边三角形， AB=2， 故答案为 2； 四边形A
20、FED为正方形， AFFE， AFBFEF， 设AFBFEFx，则有：2OFx， OA=OB=2， 在 Rt OFB 中，222OFBFOB，即22222xx， 解得：122,0 xx（不符合题意，舍去） ， 2AFBFEF， 2 2AB ； 故答案为2 2 18 （1）AC4； （2）OC3； （3）35OP. 解： （1）AB 是O的弦，OCAB，垂径定理得：AC12AB4； （2）在Rt AOC中，AO5，AC4，由勾股定理得：OC22543； （3）当点 P 与点 C 重合时，OP 最短等于 3；当点 P 与点 A 或点 B 重合时，OP 最长等于 5， 线段 OP 的长的取值范围是：
21、35OP； 19 解： （1）直线 BD 与圆 C 相切理由如下： BC=3AC=6， 2 3AC 又 CD=AC， 2 3CD BC2-CD2=36-12=24， BD=26， BD2=24， BC2-CD2=BD2， BDC=90 ， 线 BD 与圆 C 相切； （2）ACB90 ，BCD50 ， 905040ACDACBBCD， 又2 3CD ， AD的长=402 34 3=1809 20 解：如解图，连接OD、BP， ADPD，AOBO， /OD BP， AB是Oe的直径， 90APB， 90ADO， 取AO的中点为E，以E为圆心，AE长为半径作圆，则点D在圆上 连接AC，作CHAB于点H，连接EC交Ee于点F，则FC为所求的最小值， 4AB ，60ABC，90ACB， 2BC ，3CH ，1BH ， 112AEOEAO，2EH ， 由勾股定理得227ECCHEH， 71CF ，即CD的最小值为71
