1、【期末专项复习】第 24 章： 圆 解答题综合培优训练1如图，已知ABC 内接于O，BC 为 O 直径，延长 AC 至 D，过 D 作O 切线，切点为 E，且 D90，连接 BEDE12，（1）若 CD4，求O 的半径；（2）若 AD+CD30，求 AC 的长2如图，AB 是 O 的直径，D 是弦 AC 的延长线上一点，且 CDAC，DB 的延长线交O 于点 E（1）求证：CDCE；（2）连结 AE，若D 25，求BAE 的度数3如图，AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于点 E，在上取点 G，连结CG，DG ，AC求证：DGC2BAC4如图，在ABC 中，ABAC，E 在 AC 上，经过 A
2、，B，E 三点的圆 O 交BC 于点 D，且 D 点是弧 BE 的中点，（1）求证 AB 是圆的直径；（2）若 AB8，C60，求阴影部分的面积；（3）当A 为锐角时，试说明A 与CBE 的关系5如图，ABC 中，O 经过 A、B 两点，且交 AC 于点 D，连接BD，DBCBAC（1）证明 BC 与O 相切；（2）若O 的半径为 6，BAC30，求图中阴影部分的面积6如图，矩形 ABCD 中 AB3，AD 4作 DEAC 于点 E，作 AFBD 于点F（1）求 AF、AE 的长；（2）若以点 A 为圆心作圆，B、C、D、E、F 五点中至少有 1 个点在圆内，且至少有 2 个点在圆外，求A 的
3、半径 r 的取值范围7已知 AB 是 O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，BAC40（1）如图 1，若 D 为弧 AB 的中点，求ABC 和ABD 的度数；（2）如图 2，过点 D 作O 的切线，与 AB 的延长线交于点 P，若 DPAC ，求OCD 的度数8如图，RtABC 中，C90，AC ，BC2AC，半径为 2 的 C，分别交 AC、BC 于点 D、 E，得到 （1）求证：AB 为 C 的切线；（2）求图中阴影部分的面积9如图，AM 为O 的切线，A 为切点，过O 上一点 B 作 BDAM 于点D，BD 交O 于 C，OC 平分AOB（1）求AOB 的度数；（2）若线段 CD 的长为
4、 2cm，求 的长度10如图，已知O 是ABC 的外接圆，AC 是直径， A30，BC 4，点D 是 AB 的中点，连接 DO 并延长交O 于点 P（1）求劣弧 PC 的长（结果保留 ） ；（2）过点 P 作 PFAC 于点 F，求阴影部分的面积（结果保留 ） 11如图，ABC 是O 的内接三角形，AB 是O 的直径，OFAB，交 AC于点 F，点 E 在 AB 的延长线上，射线 EM 经过点 C，且ACE+ AFO 180（1）求证：EM 是O 的切线；（2）若AE，BC ，求阴影部分的面积 （结果保留 和根号） 12如图，ABC 的三边分别切O 于 D，E，F（1）若A40，求DEF 的度
5、数；（2）ABAC13，BC10，求O 的半径13如图，AB 为 O 的直径，ABC 的边 AC，BC 分别与O 交于 D，E，若E 为 的中点（1）求证：DEEC；（2）若 DC2，BC6，求 O 的半径14如图所示，O 的直径 AB10cm，弦 AC6 cm，ACB 的平分线交O于点 D，（1）求证：ABD 是等腰三角形；（2）求 CD 的长15如图，在O 中，弦 AD，BC 相交于点 E，连接 OE，已知ADBC，AD CB （1）求证：ABCD；（2）如果O 的直径为 10，DE1，求 AE 的长16如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，BD 是ABC 的角平分线，过点 D 分别
6、作 DEAB，DFBC，垂足分别为 E、F （1）求证：AED CFD ；（2）若 AB10，BC8，ABC60，求 BD 的长度17如图，O 的直径 AB 的长为 2，点 C 在圆周上，CAB30点 D 是圆上一动点，DEAB 交 CA 的延长线于点 E，连接 CD，交 AB 于点 F（1）如图 1，当 DE 与O 相切时，求CFB 的度数；（2）如图 2，当点 F 是 C D 的中点时，求CDE 的面积参考答案1 （1）解：连接 OE，作 OHAD 于 H，DE 是 O 的切线，OE DE又D90，四边形 OHDE 是矩形，设O 的半径为 r，在 Rt OCH 中，OC2CH 2+OH2，
7、r 2（r 4） 2+144，半径 r20（2）解：OHAD，AH CH又AD +CD30，即：（ AH+HD）+（HDCH）302HD30，HD15，即 OEHDOC15，在 RtOCH 中，CH 9AC2CH 18【点评】考查了圆的切线的性质，矩形的判定和性质及垂径定理解答此类题目的关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求得相关线段的长度2 （1）证明：连接 BC，AB 是 O 的直径，ABC90，即 BCAD，CDAC ，ABBD，AD ，CEBA，CEBD，CECD （2）解：连接 AEA BE A+D50，AB 是 O 的直径，AEB 90 ，BAE 90 50 40【点评】
8、本题考查圆周角定理，等腰三角形的 判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型3证明：连结 AD，弦 CD直径 AB，2BAC2BAD DAC（垂径定理） ，又DGCDAC（圆周角定理） ，BACDGC，DGC2BAC【点评】此题考查了垂径定理、圆周角定理此题难度不大，注意掌握辅助线的作法与数形结合思想的应用4解：（1）连结 AD，D 是 中点，BAD CAD，又ABAC，AD BD，ADB90 ，AB 是 O 直径；（2）连结 OE，C 60，ABAB ， BAC60，AOE60 ，BOC120，OBE30 ，AB8，OB 4，S 阴影 S 扇形 AOE+SBOE
9、 + 24 +4 （3）由（1）知 AB 是O 的直径，BEA 90 ，EBC+ CCAD+C90，EBC CAD，CAB2EBC【点评】本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键5证明：（1）连接 BO 并延长交O 于点 E，连接 DEBE 是 O 的直径，BDE90 ，EBD+E90，DBCDAB ，DABE，EBD+DBC90，即 OB BC，又点 B 在O 上，BC 是O 的切线；（2）连接 OD，BOD 2A 60，OBOD，BOD 是边长为 6 的等边三角形，S BOD 629 ，S 扇形 DOB 6，S 阴影 S 扇形 DOBS BOD
10、6 9 【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出EBD+ DBC90和分别求出扇形 DOB 和三角形 DOB 的面积6解：（1）矩形 ABCD 中 AB3，AD 4，ACBD 5， AFBD ABAD，AF ，同理可得 DE ，在 Rt ADE 中，AE ；（2）AFAB AE ADAC，若以点 A 为圆心作圆，B、C、D、E、F 五点中至少有 1 个点在圆内，且至少有 2 个点在圆外，即点 F 在圆内，点 D、C 在圆外，A 的半径 r 的取值范围为 2.4r4【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，
11、反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系7解：（1）如图 1，连 接 OD，AB 是 O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，BAC40，ACB90ABCACBBAC904050D 为弧 AB 的中点， AOB180，AOD 90，ABD45 ；（2）如图 2，连接 OD，DP 切 O 于点 D，ODDP ，即ODP 90由 DP AC，又BAC40，PBAC40AOD 是ODP 的一个外角，AOD P +ODP 130ACD65OCOA，BAC40，OCABAC40OCDACDOCA654025【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需
12、要的条件，利用数形结合的思想解答8 （1）证明：过 C 作 CFAB 于 F，在 RtABC 中，C90，AC ，BC2AC，BC2 ，由勾股定理得：AB 5，ACB 的面积 S ABCF ACBC，CF 2，CF 为C 的半径，CFAB，AB 为 C 的切线；（2）解：图中阴影部分的面积S ACB S 扇形DCE 2 5 【点评】本题考查了勾股定理，扇形的面积，解直角三角形，切线的性质和判定等知识点，能求出 CF 的长是解此题的关键9解：（1）AM 为圆 O 的切线，OA AM，BD AM，OAD BDM 90 ，OA BD，AOCOCB，OB OC，OBCOCB，OC 平分AOB，AOCB
13、OC，BOCOCBOBC60，AOB120 ；（2）如图：过点 O 作 OEBD，垂足为 EBOCOCBOBC60，OB OCBCOE BD，BECE BC OAOE BD，且 OAAD， BDAD四边形 ADEO 是矩形OA DECD+CEOA2CE，且 CD2cmCE2cm OA4cm 的长度 【点评】本题考查了切线的性质，平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键10解：（1）连接 OB，OA OB，点 D 是 AB 的中点，PD AB，A30，POCAOD60，AC 是直径，ABC90，A30，AC2BC8，OC4劣弧 PC 的长 ；（2）PFAC，OPF
14、30，OF OP2，PF 2 ，S 阴影 2 2 2 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，扇形面积计算，弧长的计算，掌握扇形面积公式和弧长公式是解题的关键11解：（1）连接 OC，OF AB，AOF90 ，A+AFO +90180，ACE+ AFO 180，ACE90+A，OA OC，AACO，ACE90+ACOACO+ OCE，OCE90，OCCE ，EM 是O 的切线；（2）AB 是 O 的直径，ACB90，ACO+ BCOBCE +BCO90，ACOBCE，AE ，AACOBCEE，ABCBCO+E2A，A30，BOC60，BOC 是等边三角形，OB BC ，阴影部 分的面积 【点
15、评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积计算，连接 OC 是解题的关键12 （1）连 OD，OF，如图，则 ODAB， OFAC，DOF 180A 18040140，又DEF DOF 14070；（ 2）过 A 作 AMBC 于 M，ABAC，BM BC 105，则 AM 12，则 SABC 60，设圆 O 的半径的半径是 r，则（13+13+10）r60，解得：r 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点也考查了切线长定理1
16、3解：（1）连结 AE，BD，E 为 的中点， ，CAEBAE，AEB 是直径所对的圆周角，AEB 90 ，即 AEBC，AEB AEC90 ，在AEC 和AEB 中 ，AECAEB（ASA ） ，CEBE，DE CEBE BC；（2）在 RtCBD 中，BD 2BC 2CD 232，设半径为 r，则 AB2r，由（1）得 ACAB2r，ADACCD2r2，在 Rt ABD 中 AD2+BD2 AB2，（2r2） 2+32（2r） 2，解得：r4.5，O 的半径为 4.5【点评】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键14 （1
17、）证明：连接 OD，AB 为 O 的直径，ACB90，CD 是ACB 的平分线，ACDBCD45，由圆周角定理得，AOD2ACD，BOD2BCD，AOD BOD ，DA DB，即 ABD 是等腰三角形；（2）解：作 AECD 于 E，AB 为 O 的直径， ADB90 ，AD AB5 ，AECD，ACE45 ，AECE AC3 ，在 Rt AED 中，DE 4 ，CDCE +DE3 +4 7 【点评】本题考查的是圆周角定理，勾股定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键15 （1）证明：如图，ADBC， ， ，即 ，ABCD；（2）如图，过
18、 O 作 OFAD 于点 F，作 OGBC 于点 G，连接 OA、OC 则 AFFD，BGCGAD BC，AFCG在 Rt AOF 与 RtCOG 中， ，Rt AOFRtCOG（HL） ，OF OG，四边形 OFEG 是正方形，OF EF设 OF EFx ，则 AFFDx+1 ，在直角OAF 中由勾股定理得到： x2+（x+1） 25 2，解 得 x5则 AF3+14，即 AEAF+37【点评】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系注意（2）中辅助线的作法16证明：（1）四边形 ABCD 是O 的内接四边形，A+BCD180，又DCF+BCD180，ADC
19、F，BD 是 ABC 的角平分线，又DE AB，DFBC，DE DF，DEAF90，在AED 与 CFD 中，AED CFD（AAS ）（2）AED CFD，AECF，BE BF ，设 AECFx ，则 BE10 x，BF8+ x，即 10x8+x，解得 x1，在 Rt BFD，DBC30，设 DFy ，则 BD2y ，BF 2+DF2 BD2，y 2+92（2y） 2，y3 ，BD6 【点评】考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质解答此题的关键是证明AED CFD17解：（1）如图：连接 ODDE 与 O 相切ODE 90ABDEAOD +ODE180AOD 90AOD 2CC 45CFBCAB+CCFB75（2）如图：连接 OCAB 是直径，点 F 是 CD 的中点ABCD，CFDF，COF2CAB60，OF OC ，CF OF ，CD2CF ，AFOA+OF ，AFAD，F 点为 CD 的中点，DE CD，AF 为CDE 的中位线，DE 2AF3，S CED 3 【点评】本题考查切线的性质和判定、圆的有关知识、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，属于基 础题，中考常考题型
