1、【期末专题】第 24 章 圆 解答题培优试题1如图， AB 是 O 的直径， PA 是 O 的切线， A 是切点， BP 与 O 交于点 C（1）若 AB4， ABP60，求 PB 的长；（2）若 CD 是 O 的切线求证： D 是 AP 的中点2如图，点 ABCD 在 O 上， ABC BDC60， BC3（1）求 ABC 的周长；（2）若 OE BD， OF CD，连接 EF，求 EF 的长3如图， PAB 内接于 O， ABCD 的边 AD 是 O 的直径，且 C APB，连接 BD（1）求证： BC 是 O 的切线（2）若 BC2， PBD60，求 与弦 AP 围成的阴影部分的面积4如
2、图，在 ABC 中， AC CB， O 是 AB 的中点， CA 与 O 相切于点 E， CO 交 O 于点 D（1）求证： CB 是 O 的切线；（2）若 A CB80，点 P 是 O 上一个动点（不与 D， E 两点重合） ，求 DPE的度数5如图，在钝角 ABC 中， C45， AE BC，垂足为 E 点，且 AB 与 AC 的长度为方程 x29 x+180 的两个根， O 是 ABC 的外接圆求：（1） O 的半径；（2） BE 的长6如图，在 ABC 中， BC AC6，以 BC 为直径的 O 与边 AB 相交于点D， DE AC，垂足为点 E（1）求证：点 D 是 AB 的中点；（
3、2）求点 O 到直线 DE 的距离7如图， OAB 中， OA OB10 cm， AOB80，以点 O 为圆心，半径为 6cm的优弧 分别交 OA， OB 于点 M， N（1）点 P 在右半弧上（ BOP 是锐角） ，将 OP 绕点 O 逆时针旋转 80得OP求证： AP BP；（2）点 T 在左半弧上，若 AT 与弧相切，求 AT 的长8如图， BAC 的平分线交 ABC 的外接圆于点 D， ABC 的平分线交 AD 于点E（1）求证： DE DB；（2）若 BAC90， BD5，求 ABC 外接圆的半径9如图，已知锐角 ABC 内接于 O，连接 AO 并延长交 BC 于点 D（1）求证：
4、ACB+ BAD90；（2）过点 D 作 DE AB 于 E，若 ADC2 ACB求证： AC2 DE10 九章算术是中国传 统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架 九章算术中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？” （如图）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图） ，其中 BO CD于点 A，求间径就是要求 O 的直径再次阅读后，发现 AB1 寸， CD10 寸（一尺等于十寸） ，通过运用有关知识即可解决这个问题请帮助小智求出 O 的直径11如图， O 的直径 AC 与弦 BD 相交于点 F，点 E 是 DB 延长线上一点， EA
5、B ADB（1）求证： EA 是 O 的切线；（2）已知点 B 是 EF 的中点， AF4， CF2，求 AE 的长12如图，在 ABC 中， AB AC， AD BC 于点 D， E 是 AB 上一点，以 CE 为直径的 O 交 BC 于点 F，连接 DO，且 DOC90（1）求证： AB 是 O 的切线；（2）若 DF2， DC6，求 BE 的长13如图， AB 是 O 的直径， AC 是弦， BAC 的平分线交 O 于点 D，过点 D作 DE AC 交 AC 的延长线于点 E（1） 求证： DE 是 O 的切线；（2）若 AB10， AC6，求 DE 的长14如图， P 是 O 外一点，
6、 PA 是 O 的切线， A 是切点， B 是 O 上一点，且PA PB，延长 BO 分别与 O、切线 PA 相交于 C、 Q 两点（1）求证： PB 是 O 的切线；（2） QD 为 PB 边上的中线，若 AQ 4， CQ2，求 QD 的值15如图， AB 是 O 的直径， ACB 的平分线交 AB 于点 D，交 O 于点 E，过点C 作 O 的切线 CP 交 BA 的延长线于点 P，连接 AE（1）求证： PC PD；（2）若 AC6 cm， BC8 cm，求线段 AE、 CE 的长16如图，在 Rt ABC 中， ACB90， A30，点 D 在 AB 上，以 BD 为直径的 O 切 A
7、C 于点 E，连接 DE 并延长，交 BC 的延长线于点 F（1）求证： BDF 是等边三角形；（2）连接 A F、 DC，若 BC3，写出求四边形 AFCD 面积的思路参考答案1 （1）解：如图 1 PA 是 O 的切线， AB 是直径， PA AB， BAP90， P+ ABP90， ABP60， P30，又 AB4， PB2 AB248（2）证明：连接 OC、 AC，如图 2， PA 是 O 的切线， CD 是 O 的切线，2+490，1+390， OA OC，34，12， CD AD AB 是 O 的直径， ACB90，1+590，2+ P90，1 2，5 P， CD DP， CD A
8、D DP， D 是 AP 的中点2解：（1） A D60， ABC60， A AB C ACB60， ABC 是等边三角形， AB BC AC3， ABC 的周长为 9（2） OE BD， OF CD， DE EB， DF FC， EF BC 3解：（1）连结 OB，四边形 ABCD 是平行四边形， C BAD， AD BC， APB ADB， C APB， BAD ADB， AB BD， OA OD， OB AD， AOB 90， AD BC， OBC AOB90， OB BC， OB 为半径， BC 是 O 的切线（2）连结 OP，作 OE AP 于 E， PAD PBD60， OA OP
9、， PA OA OP， AOP60，在 ABCD 中， AD BC2， AP OA1，在 Rt OAE 中， OE OAsin60 ，与弦 AP 围成的阴影部分的面积为： 1 4解：（1）如图 1 所示，连接 OE，过 O 作 OF BC 于 F， CA 与 O 相切于点 E， OE AC， ABC 中， AC CB， O 是 AB 的中点， OC 平分 ACB， OE OF，又 OE 是 O 的半径， CB 是 O 的切线；（2）如图 2， ACB80， OC 平分 ACB， ACO40，又 OE AC， DOE904050，当点 P 在优弧 上时， DPE DOE25；当点 P 在劣弧 上
10、时， DPE18025155 DPE 的度数为 25或 1555解：（1）连接 OB，解方程 x29 x+180，得， x13， x26，由图形可知， AC3， AB6，由圆周角定理得， AOB2 C90， AOB 为等腰直角三角形， OB AB3 ；（2） C45， AE BC， AEC 为等腰直角三角形， AE AC ， BE 6 （1）证明：连接 CD， BC 是圆的直径， BDC90， CD AB，又 AC BC， AD BD，即点 D 是 AB 的中点；（2）证明：连接 OD， AD BD， OB OC， DO 是 ABC 的中位线， DO AC， OD AC 63，又 DE AC，
11、 DE DO，点 O 到直线 DE 的距离为 37 （1）证明： AOB POP80， AOB+ BOP POP+ BOP，即 AOP BOP（2 分）在 AOP 与 BOP中， AOP BOP， AP BP（2） AT 与弧相切，连结 OT OT AT，在 Rt AOT 中，根据勾股定理得， AT ， OA10， OT6 AT88 （1）证明： AD 平分 BAC， BE 平分 ABC， ABE CBE， BAE CAD， （1 分） ， DBC CAD， DBC BAE，（2 分） DBE CBE+ DBC， DEB ABE+ BAE，（3 分） DBE DEB， DE DB；（4 分）（
12、2）解：连接 CD，如图所示：（5 分）由（1）得： ， CD BD5，（6 分） BAC90， BC 是直径， BDC90， BC 5 ，（7 分） ABC 外接圆的半径： r （8 分）9 （1）证明：延长 AD 交 O 于点 F，连接 BF AF 为 O 的直径， ABF90， AFB+ BAD90， AFB ACB， ACB+ BAD90（2）证明：如图 2 中，过点 O 作 OH AC 于 H，连接 BO AOB2 ACB， ADC2 ACB， AOB ADC， BOD BDO， BD BO， BD OA， BED AHO， ABD AOH， BDE AOH， DE AH， OH A
13、C， AH CH AC， AC2 DE10解：连接 OC， OB CD 垂足为 A， CA CD5，设 CO x，则 AO x1，在 Rt AOC 中， CAO90， OA2+CA2 OC2，（ x1） 2+52 x2，解得 x13， O 的直径为 26 寸11 （1）证明：如图，连接 CD， AC 是 O 的直径， ADC90， ADB+ EDC90， BAC EDC， EAB ADB， EAC EAB+ BAC90， EA 是 O 的切线 （2）解：如图，连接 BC AC 是 O 的直径， ABC90 CBA ABC90 B 是 EF 的中点，在 Rt EAF 中， AB BF BAC A
14、FE EAF CBA， ， AF4， CF2， AC6， EF2 AB ，解得 AB2 ， EF4 ， AE 4 12 （1）证明： AB AC， AD BC， CD DB，又 CO OE， OD BE， CEB DOC90， CE AB， AB 是 O 的切线；（2）解：连接 EF、 ED， BD CD6， BF BD DF4， CO OE， DOC90， DE DC6， CE 为 O 的直径， EFC90， EF 4 ， BE 4 13 （1）证明：连接 OD，如图， BAC 的平分线交 O 于点 D， BAD EAD， OA OD， OAD ODA， EAD ODA， OD AE， DE
15、 AE， OD DE， DE 是 O 的切线；（2）解：作 OF AC 于 F，如图，则 AF CF AC3，在 Rt OAF 中， OF 4， OFE FED EDO90，四边形 OFED 为矩形， DE OF414 （1）证明：连接 OA，在 OBP 和 OAP 中， OBP OAP（ SSS） ， OBP OAP， PA 是 O 的切线， A 是切点， OAP90， OBP90， OB 是半径， PB 是 O 的切线；（2）连接 OC AQ4， CQ2， OAQ90，设 OA r，则 r2+42（ r+2） 2，解得， r3，则 OA3， BC6，设 BP x，则 AP x， PB 是圆
16、 O 的切线， PBQ90， x2+（6+2） 2（ x+4） 2，解得， x6， BP6， BD3， QD ，即 QD 的值是 15 （1）证 明：如图 1 中，连接 OC、 OE AB 直径， ACB90， CE 平分 ACB， ECA ECB45， ， OE AB， DOE90， PC 是切线， OC PC， PCO90， OC OE， OCE OEC， PCD+ OCE90， ODE+ OEC90， PDC ODE， PCD PDC， PC PD（2）如图 2 中作 E H BC 于 H， EF CA 于 F CE 平分 ACB， EH BC 于 H， EF CA 于 F， EH EF
17、， EFA EHB90， ， AE BE，Rt AEFRt BEH， AF BH，设 AF BH x， F FCH CHE90，四边形 CFEH 是矩形， EH EF，四边形 CFEH 是正方形， CF CH，6+ x8 x， x1， CF FE7， E C CF7 ，AE 16 （1）证明：连接 OE，如图， AC 切 O 于点 E， OE AC ， OEA90， A30， AOE60， B60， OD OE， ODE 为等边三角形， ODE60， BDF 是等边三角形；（2）如图，作 DH AC 于点 H，如图，由 ACB90， BAC30， BC3，可求 AB， AC 的长；由 AEO90， OAE30，可知 AO2 OE，可求 AD， DB， DH 的长；由（1）可知 BF BD，可求 CF 的长；由 AC， DH， CF 的长可求四边形 AFCD 的面积
