2018年秋人教版数学九年级上《第24章圆》解答题培优试题(含答案)

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资源描述

1、第 24 章 圆 解答题培优试题1已知 O 为 ABC 的外接圆,直线 l 与 O 相切于点 P,且 l BC(1)连接 PO,并延长交 O 于点 D,连接 AD证明: AD 平分 BAC;(2)在(1)的条件下, AD 交 BC 于点 E,连接 CD若 DE2, AE6试求 CD的长2如图,在 ABC 中, BC AC,以 BC 为直径的 O 与边 AB 相交于点D, DE AC,垂足为点 E,连接 OD(1)求证: OD 为 ABC 的中 位线;(2)若 AC6 cm,求点 O 到 DE 的距离3如图, AB 是 O 的直径, BAC90,四边形 EBOC 是平行四边形, EB 交 O 于

2、点 D,连接 CD 并延长交 AB 的延长线于点 F(1)求证: CF 是 O 的切线;(2)若 F30, EB8,求图中阴影部分的面积 (结果保留根号和 )4如图, ABC 中, AB AC,以 AB 为直径的 O 与 BC 相交于点 D,与 CA 的延长线相交于点 E,过点 D 作 DF AC 于点 F(1)试说明 DF 是 O 的切线;(2)若 AC3 AE,求 tanC5在等腰三角形 ABC 中, A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c,已知a3, b 和 c 是关于 x 的方程 的两个实数根(1)求 ABC 的周长(2)求 ABC 的三边均为整数时的外接圆半径6如图,已知在 O

3、 中, AB 是 O 的直径, AC8, BC6(1)求 O 的面积;(2)若 D 为 O 上一点,且 ABD 为等腰三角形,求 CD 的长7一个边长为 4 的等边三角形 ABC 的高与 O 的直径相等,如图放置, O 与BC 相切于点 C, O 与 AC 相交于点 E,(1)求等边三角形的高;(2)求 CE 的长度;(3)若将等边三角形 ABC 绕点 C 顺时针旋转,旋转角为 (0360) ,求 为多少时,等边三角形的边所在的直线与圆相切8如图, ABC 内接于 O,若 O 的半径为 6, B60,求 AC 的长9如图,已知锐角 ABC 内接于 O,连接 AO 并延长交 BC 于点 D(1)

4、求证: ACB+ BAD90;(2)过点 D 作 DE AB 于 E,若 ADC2 ACB求证: AC2 DE10如图,为一圆洞门工匠在建造过程中需要一根横梁 AB 和两根对称的立柱CE、 DF 来支撑,点 A、 B、 C、 D 在 O 上, CE AB 于 E, DF AB 于 F,且AB2 , EF , 120(1)求出圆洞门 O 的半径;(2)求立柱 CE 的长度11如图, AB 是 O 的直径, AC 平分 DAB 交 O 于点 C,过点 C 的直线垂直于AD 交 AB 的延长线于点 P,弦 CE 交 AB 于点 F,连接 BE(1)求证: PD 是 O 的切线;(2)若 PC PF,

5、试证明 CE 平分 ACB12如图,在等腰 ABC 中, AB AC,以 AB 为直径作 O 交边 BC 于点 D,过点D 作 DE AC 交 AC 于点 E,延长 ED 交 AB 的延长线于点 F(1)求证: DE 是 O 的切线;(2)若 AB8, AE6,求 BF 的长13如图, ABC 内接于 O, CD 是 O 的直径, AB 与 CD 交于点 E,点 P 是 CD延长线上的一点, AP AC,且 B2 P(1)求证: PA 是 O 的切线;(2)若 PD ,求 O 的直径;(3)在(2)的条件下,若点 B 等分半圆 CD,求 DE 的长14如图,在 Rt ABC 中, ACB90,

6、 AD 平分 BAC 交 BC 于点 D,点 O 是AB 边上一点,以 O 为圆心作 O 且经过 A, D 两点,交 AB 于点 E(1)求证: BC 是 O 的切线;(2) AC2, AB6,求 BE 的长15如图, AB 是 O 的直径, D 为 O 上一点,过弧 BD 上一点 T 作 O 的切线TC,且 TC AD 于点 C(1)若 DAB50,求 ATC 的度数;()若 O 半径为 2, TC ,求 AD 的长16已知, AB 是 O 的直径,点 P 在弧 AB 上(不含点 A、 B) ,把 AOP 沿 OP 对折,点 A 的对应点 C 恰好落在 O 上(1)当 P、 C 都在 AB

7、上方时(如图 1) ,判断 PO 与 BC 的位置关系(只回答结果) ;(2)当 P 在 AB 上方而 C 在 AB 下方时(如图 2) , (1)中结论还成立吗?证明你的结论;(3)当 P、 C 都在 AB 上方时(如图 3) ,过 C 点作 CD直线 AP 于 D,且 CD 是 O 的切线,证明: AB 4PD参考答案1 (1)证明: l 与 O 相切于点 P, PD l, l BC, PD 垂直平分弦 BC, , BAD DAC,即 AD 平分 BAC;(2) BAD BCD,且 BAD DAC, DAC BCD,在 ADC 和 CDE 中 DAC BCD, ADC EDC, ADC C

8、DE, ,即 ,得 DC42解:(1)连接 CD, BC 是圆的直径, BDC90, CD AB,又 AC BC, AD BD,又 OC OB, OD 为 ABC 的中位线(2)连接 OD, AD BD, OB OC, DO 是 ABC 的中位线, DO AC, OD AC 63,又 DE AC, DE DO,点 O 到直线 DE 的距离为 33 (1)证明:连接 OD,如图,四边形 EBOC 是平行四边形, OC BE,13,24, OB OD,34,12,在 ODC 和 OAC 中, ODC OAC, ODC OAC90, OD CD, CF 是 O 的切线;(2)解: F30, FOD6

9、0,1260,四边形 EBOC 是平行四边形, OC BE8,在 Rt AOC 中, OA OC4, AC OA4图中阴影部分的面积 S 四边形 AODC S 扇形 AOD2 44 16 4解:(1)连接 OD, OB OD, B ODB, AB AC, B C, ODB C, OD AC, DF AC, OD DF,点 D 在 O 上, DF 是 O 的切线;(2)连接 BE, AB 是直径, AEB90, AB AC, AC3 AE, AB3 AE, CE4 AE, BE 2 AE,在 Rt BEC 中,tan C 5解:(1)若 b、 c 中有一边等于 3,则方程可化为 ,解得 ;原方程

10、可化为 ,解得 x13, x2 ,所以三角形的周长为 3+3+ ;若 b c,则 ,解得 m4 或 2,当 m4 时,方程为 x24 x+40,得 x1 x22,所以三角形的周长为 2+2+37;当 m2 时,方程为 x2+2x+10,得 x1 x21;(不合题意,舍去)综上可知 ABC 的周长为 7 或 7(2)作 ABC 的外接圆 O,连接 AO 并延长交 O 于点 D、交 BC 于 E,连接BO,则有 AE BC ABC 的三边均为整数, AB AC2, BC3,BE BC AE ,设 AO R,在 Rt BOE 中, R2( ) 2+( R) 2, R , ABC 的三边均为整数时的外

11、接圆半径为 6解:(1) AB 是 O 的直径, ACB90 AC8, BC6, AB10 O 的面积5 225;(2)作直径 DD AB, BH CD 于 H,如图,则 , AD BD, ACD BCD45, AB 是 O 的直径, ADB90, ADB 为等腰直角三角形, DB AB5 ,易得 BCH 为等腰直角三角形, CH BH BC3 ,在 Rt BDH 中, DH 4 , CD CH+DH3 +4 7 , DD是 O 的直径, DCD90, CD ,综上所述, CD 的长为 或 7 7解:(1)如图,作 AM MC 于 M ABC 是等边三角形, MAC MAB30, CM AC2

12、, AM 2 (2) CF 是 O 直径, CF CM2 ,连接 EF,则 CEF90, ECF90 ACB30, EF CF , CE 3(3)由图象可知,60或 120或 180或 300时,等边三角形的边所在的直线与圆相切8解:如图,作直径 AD,连接 CD ACD90 B60, D B60 O 的半径为 6, AD12在 Rt ACD 中, CAD30, CD6 AC6 9 (1)证明:延长 AD 交 O 于点 F,连接 BF AF 为 O 的直径, ABF90, AFB+ BAD90, AFB ACB, ACB+ BAD90(2)证明:如图 2 中,过点 O 作 OH AC 于 H,

13、连接 BO AOB2 ACB, ADC2 ACB, AOB ADC, BOD BDO, BD BO, BD OA, BED AHO, ABD AOH, BDE AOH, DE AH, OH AC, AH CH AC, AC2 DE10解:(1)作 OH AB 于 H,连接 OB、 OA 的度数为 120, AO BO, BOH 12060, AH BH ,在 Rt BOH 中,sin BOH , OB2,即圆洞门 O 的半径为 2;(2)作 OM EC 于 M,连接 OCRt BOH 中, OH1, EH ,易证四边形 OMEH 是矩形, OM EH , ME OH1,在 Rt OMC 中,

14、CM , CE ME+CM1+ ,立柱 CE 的长度为 11证明:(1)连接 OC,如图, AC 平分 DAB,12, OA OC,13,23, OC AD, AD CD, OC CD, PD 是 O 的切线;(2) OC PC, PCB+ BCO90, AB 为直径, ACB90,即3+ BCO90,3 PCB,而13,1 PCB, PC PF, PCF PFC,而 PCF PCB+ BCF, PFC1+ ACF, BCF ACF,即 CE 平分 ACB12 (1)证明:连接 OD, AB AC, ABC C, OB OD, ABC ODB, ODB C, OD AC,又 DE AC, OD

15、 DE, DE 是 O 的切线;(2)解: OD AC, FOD FAE, ,即 ,解得, BF413 (1)证明:连接 OA、 AD,如图, B2 P, B ADC, ADC2 P, AP AC, P ACP, ADC2 ACP, CD 为直径, DAC90, ADC60, C30, ADO 为等边三角形, AOP60,而 P ACP30, OAP90, OA PA, PA 是 O 的切线;(2)解:在 Rt OAP 中, P30, OP2 OA, PD OD , O 的直径为 2 ;(3)解:作 EH AD 于 H,如图,点 B 等分半圆 CD, BAC45, DAE45,设 DH x,在

16、 Rt DHE 中, DE2 x, HE x,在 Rt AHE 中, AH HE x, AD x+x( +1) x,即( +1) x ,解得 x , DE2 x3 14 (1)证明: OA OD, OAD ODA, AD 平分 BAC, CAD OAD, CA D ODA, OD AC, ACB ODB, ACB90, ODB90, OD 是半径, BC 是 O 的切线;(2)解: OD AC, BDO BCA, , AC2, AB6,设 OD r,则 BO6 r ,解得, r1.5, AE3, BE315解:()连接 OT,如图 1: TC AD, O 的切线 TC, ACT OTC90,

17、CAT+ CTA CTA+ ATO, CAT ATO, OA OT, OAT ATO, DAB2 CAT50, CAT25, ATC902565;()过 O 作 OE AC 于 E,连接 OT、 OD,如图 2: AC CT, CT 切 O 于 T, OEC ECT OTC90,四边形 OECT 是矩形, OT CE OD2, OE AC, OE 过圆心 O, AE DE AD, CT OE ,在 Rt OED 中,由勾股定理得: ED , AD216解:(1) PO 与 BC 的位置关系是 PO BC;(2) (1)中的结论 PO BC 成立,理由为:由折叠可知: APO CPO, APO

18、CPO,又 OA OP, A APO, A CPO,又 A 与 PCB 都为 所对的圆周角, A PCB, CPO PCB, PO BC;(3) CD 为圆 O 的切线, OC CD,又 AD CD, OC AD, APO COP,由折叠可得: AOP COP, APO AOP,又 OA OP, A APO, A APO AOP, APO 为等边三角形, AOP60,又 OP BC, OBC AOP60,又 OC OB, BCO 为等边三角形, COB60, POC180( AOP+ COB)60,又 OP OC, POC 也为等边三角形, PCO60, PC OP OC,又 OCD90, PCD30,在 Rt PCD 中, PD PC,又 PC OP AB, PD AB,即 AB4 PD

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