1、第 24 章 圆 解答题培优试题1已知 O 为 ABC 的外接圆，直线 l 与 O 相切于点 P，且 l BC（1）连接 PO，并延长交 O 于点 D，连接 AD证明： AD 平分 BAC；（2）在（1）的条件下， AD 交 BC 于点 E，连接 CD若 DE2， AE6试求 CD的长2如图，在 ABC 中， BC AC，以 BC 为直径的 O 与边 AB 相交于点D， DE AC，垂足为点 E，连接 OD（1）求证： OD 为 ABC 的中 位线；（2）若 AC6 cm，求点 O 到 DE 的距离3如图， AB 是 O 的直径， BAC90，四边形 EBOC 是平行四边形， EB 交 O 于
2、点 D，连接 CD 并延长交 AB 的延长线于点 F（1）求证： CF 是 O 的切线；（2）若 F30， EB8，求图中阴影部分的面积 （结果保留根号和 ）4如图， ABC 中， AB AC，以 AB 为直径的 O 与 BC 相交于点 D，与 CA 的延长线相交于点 E，过点 D 作 DF AC 于点 F（1）试说明 DF 是 O 的切线；（2）若 AC3 AE，求 tanC5在等腰三角形 ABC 中， A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，已知a3， b 和 c 是关于 x 的方程 的两个实数根（1）求 ABC 的周长（2）求 ABC 的三边均为整数时的外接圆半径6如图，已知在 O
3、 中， AB 是 O 的直径， AC8， BC6（1）求 O 的面积；（2）若 D 为 O 上一点，且 ABD 为等腰三角形，求 CD 的长7一个边长为 4 的等边三角形 ABC 的高与 O 的直径相等，如图放置， O 与BC 相切于点 C， O 与 AC 相交于点 E，（1）求等边三角形的高；（2）求 CE 的长度；（3）若将等边三角形 ABC 绕点 C 顺时针旋转，旋转角为 （0360） ，求 为多少时，等边三角形的边所在的直线与圆相切8如图， ABC 内接于 O，若 O 的半径为 6， B60，求 AC 的长9如图，已知锐角 ABC 内接于 O，连接 AO 并延长交 BC 于点 D（1）
4、求证： ACB+ BAD90；（2）过点 D 作 DE AB 于 E，若 ADC2 ACB求证： AC2 DE10如图，为一圆洞门工匠在建造过程中需要一根横梁 AB 和两根对称的立柱CE、 DF 来支撑，点 A、 B、 C、 D 在 O 上， CE AB 于 E， DF AB 于 F，且AB2 ， EF ， 120（1）求出圆洞门 O 的半径；（2）求立柱 CE 的长度11如图， AB 是 O 的直径， AC 平分 DAB 交 O 于点 C，过点 C 的直线垂直于AD 交 AB 的延长线于点 P，弦 CE 交 AB 于点 F，连接 BE（1）求证： PD 是 O 的切线；（2）若 PC PF，
5、试证明 CE 平分 ACB12如图，在等腰 ABC 中， AB AC，以 AB 为直径作 O 交边 BC 于点 D，过点D 作 DE AC 交 AC 于点 E，延长 ED 交 AB 的延长线于点 F（1）求证： DE 是 O 的切线；（2）若 AB8， AE6，求 BF 的长13如图， ABC 内接于 O， CD 是 O 的直径， AB 与 CD 交于点 E，点 P 是 CD延长线上的一点， AP AC，且 B2 P（1）求证： PA 是 O 的切线；（2）若 PD ，求 O 的直径；（3）在（2）的条件下，若点 B 等分半圆 CD，求 DE 的长14如图，在 Rt ABC 中， ACB90，
6、 AD 平分 BAC 交 BC 于点 D，点 O 是AB 边上一点，以 O 为圆心作 O 且经过 A， D 两点，交 AB 于点 E（1）求证： BC 是 O 的切线；（2） AC2， AB6，求 BE 的长15如图， AB 是 O 的直径， D 为 O 上一点，过弧 BD 上一点 T 作 O 的切线TC，且 TC AD 于点 C（1）若 DAB50，求 ATC 的度数；（）若 O 半径为 2， TC ，求 AD 的长16已知， AB 是 O 的直径，点 P 在弧 AB 上（不含点 A、 B） ，把 AOP 沿 OP 对折，点 A 的对应点 C 恰好落在 O 上（1）当 P、 C 都在 AB
7、上方时（如图 1） ，判断 PO 与 BC 的位置关系（只回答结果） ；（2）当 P 在 AB 上方而 C 在 AB 下方时（如图 2） ， （1）中结论还成立吗？证明你的结论；（3）当 P、 C 都在 AB 上方时（如图 3） ，过 C 点作 CD直线 AP 于 D，且 CD 是 O 的切线，证明： AB 4PD参考答案1 （1）证明： l 与 O 相切于点 P， PD l， l BC， PD 垂直平分弦 BC， ， BAD DAC，即 AD 平分 BAC；（2） BAD BCD，且 BAD DAC， DAC BCD，在 ADC 和 CDE 中 DAC BCD， ADC EDC， ADC C
8、DE， ，即 ，得 DC42解：（1）连接 CD， BC 是圆的直径， BDC90， CD AB，又 AC BC， AD BD，又 OC OB， OD 为 ABC 的中位线（2）连接 OD， AD BD， OB OC， DO 是 ABC 的中位线， DO AC， OD AC 63，又 DE AC， DE DO，点 O 到直线 DE 的距离为 33 （1）证明：连接 OD，如图，四边形 EBOC 是平行四边形， OC BE，13，24， OB OD，34，12，在 ODC 和 OAC 中， ODC OAC， ODC OAC90， OD CD， CF 是 O 的切线；（2）解： F30， FOD6
9、0，1260，四边形 EBOC 是平行四边形， OC BE8，在 Rt AOC 中， OA OC4， AC OA4图中阴影部分的面积 S 四边形 AODC S 扇形 AOD2 44 16 4解：（1）连接 OD， OB OD， B ODB， AB AC， B C， ODB C， OD AC， DF AC， OD DF，点 D 在 O 上， DF 是 O 的切线；（2）连接 BE， AB 是直径， AEB90， AB AC， AC3 AE， AB3 AE， CE4 AE， BE 2 AE，在 Rt BEC 中，tan C 5解：（1）若 b、 c 中有一边等于 3，则方程可化为 ，解得 ；原方程
10、可化为 ，解得 x13， x2 ，所以三角形的周长为 3+3+ ；若 b c，则 ，解得 m4 或 2，当 m4 时，方程为 x24 x+40，得 x1 x22，所以三角形的周长为 2+2+37；当 m2 时，方程为 x2+2x+10，得 x1 x21；（不合题意，舍去）综上可知 ABC 的周长为 7 或 7（2）作 ABC 的外接圆 O，连接 AO 并延长交 O 于点 D、交 BC 于 E，连接BO，则有 AE BC ABC 的三边均为整数， AB AC2， BC3，BE BC AE ，设 AO R，在 Rt BOE 中， R2（ ） 2+（ R） 2， R ， ABC 的三边均为整数时的外
11、接圆半径为 6解：（1） AB 是 O 的直径， ACB90 AC8， BC6， AB10 O 的面积5 225；（2）作直径 DD AB， BH CD 于 H，如图，则 ， AD BD， ACD BCD45， AB 是 O 的直径， ADB90， ADB 为等腰直角三角形， DB AB5 ，易得 BCH 为等腰直角三角形， CH BH BC3 ，在 Rt BDH 中， DH 4 ， CD CH+DH3 +4 7 ， DD是 O 的直径， DCD90， CD ，综上所述， CD 的长为 或 7 7解：（1）如图，作 AM MC 于 M ABC 是等边三角形， MAC MAB30， CM AC2
12、， AM 2 （2） CF 是 O 直径， CF CM2 ，连接 EF，则 CEF90， ECF90 ACB30， EF CF ， CE 3（3）由图象可知，60或 120或 180或 300时，等边三角形的边所在的直线与圆相切8解：如图，作直径 AD，连接 CD ACD90 B60， D B60 O 的半径为 6， AD12在 Rt ACD 中， CAD30， CD6 AC6 9 （1）证明：延长 AD 交 O 于点 F，连接 BF AF 为 O 的直径， ABF90， AFB+ BAD90， AFB ACB， ACB+ BAD90（2）证明：如图 2 中，过点 O 作 OH AC 于 H，
13、连接 BO AOB2 ACB， ADC2 ACB， AOB ADC， BOD BDO， BD BO， BD OA， BED AHO， ABD AOH， BDE AOH， DE AH， OH AC， AH CH AC， AC2 DE10解：（1）作 OH AB 于 H，连接 OB、 OA 的度数为 120， AO BO， BOH 12060， AH BH ，在 Rt BOH 中，sin BOH ， OB2，即圆洞门 O 的半径为 2；（2）作 OM EC 于 M，连接 OCRt BOH 中， OH1， EH ，易证四边形 OMEH 是矩形， OM EH ， ME OH1，在 Rt OMC 中，
14、CM ， CE ME+CM1+ ，立柱 CE 的长度为 11证明：（1）连接 OC，如图， AC 平分 DAB，12， OA OC，13，23， OC AD， AD CD， OC CD， PD 是 O 的切线；（2） OC PC， PCB+ BCO90， AB 为直径， ACB90，即3+ BCO90，3 PCB，而13，1 PCB， PC PF， PCF PFC，而 PCF PCB+ BCF， PFC1+ ACF， BCF ACF，即 CE 平分 ACB12 （1）证明：连接 OD， AB AC， ABC C， OB OD， ABC ODB， ODB C， OD AC，又 DE AC， OD
15、 DE， DE 是 O 的切线；（2）解： OD AC， FOD FAE， ，即 ，解得， BF413 （1）证明：连接 OA、 AD，如图， B2 P， B ADC， ADC2 P， AP AC， P ACP， ADC2 ACP， CD 为直径， DAC90， ADC60， C30， ADO 为等边三角形， AOP60，而 P ACP30， OAP90， OA PA， PA 是 O 的切线；（2）解：在 Rt OAP 中， P30， OP2 OA， PD OD ， O 的直径为 2 ；（3）解：作 EH AD 于 H，如图，点 B 等分半圆 CD， BAC45， DAE45，设 DH x，在
16、 Rt DHE 中， DE2 x， HE x，在 Rt AHE 中， AH HE x， AD x+x（ +1） x，即（ +1） x ，解得 x ， DE2 x3 14 （1）证明： OA OD， OAD ODA， AD 平分 BAC， CAD OAD， CA D ODA， OD AC， ACB ODB， ACB90， ODB90， OD 是半径， BC 是 O 的切线；（2）解： OD AC， BDO BCA， ， AC2， AB6，设 OD r，则 BO6 r ，解得， r1.5， AE3， BE315解：（）连接 OT，如图 1： TC AD， O 的切线 TC， ACT OTC90，
17、CAT+ CTA CTA+ ATO， CAT ATO， OA OT， OAT ATO， DAB2 CAT50， CAT25， ATC902565；（）过 O 作 OE AC 于 E，连接 OT、 OD，如图 2： AC CT， CT 切 O 于 T， OEC ECT OTC90，四边形 OECT 是矩形， OT CE OD2， OE AC， OE 过圆心 O， AE DE AD， CT OE ，在 Rt OED 中，由勾股定理得： ED ， AD216解：（1） PO 与 BC 的位置关系是 PO BC；（2） （1）中的结论 PO BC 成立，理由为：由折叠可知： APO CPO， APO
18、CPO，又 OA OP， A APO， A CPO，又 A 与 PCB 都为 所对的圆周角， A PCB， CPO PCB， PO BC；（3） CD 为圆 O 的切线， OC CD，又 AD CD， OC AD， APO COP，由折叠可得： AOP COP， APO AOP，又 OA OP， A APO， A APO AOP， APO 为等边三角形， AOP60，又 OP BC， OBC AOP60，又 OC OB， BCO 为等边三角形， COB60， POC180（ AOP+ COB）60，又 OP OC， POC 也为等边三角形， PCO60， PC OP OC，又 OCD90， PCD30，在 Rt PCD 中， PD PC，又 PC OP AB， PD AB，即 AB4 PD
