1、10.1.310.1.3 古典概型古典概型 基础达标 一、选择题 1.下列是古典概型的是( ) A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B.求任意的一个正整数平方的个位数字是 1 的概率， 将取出的正整数作为样本点时 C.从甲地到乙地共 n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D.抛掷一枚质地不均匀硬币首次出现正面为止 解析 A 项中由于点数的和出现的可能性不相等，故 A 不是；B 项中的样本点是无限的，故 B 不是；C 项中满足古典概型的有限性和等可能性，故 C 是；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故 D 不是. 答案 C 2.甲、乙、丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的
2、概率为( ) A.13 B.23 C.12 D.56 解析 甲、乙、丙三名学生随机站成一排，共有 6 种结果：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，其中甲站在边上的结果有 4 个，故所求的概率为4623. 答案 B 3.在国庆阅兵中，某兵种 A，B，C 三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则 B 先于 A，C 通过的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23 解析 用(A，B，C)表示 A，B，C 通过主席台的次序，则所有可能的次序有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共 6 种，其中 B 先于
3、A，C 通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共 2 种，故所求概率为2613. 答案 B 4.从数字 1，2，3，4，5 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于 40 的概率是( ) A.15 B.25 C.35 D.45 解析 从数字 1，2，3，4，5 中任取两个不同的数字，一共能构成 20 个两位数：12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，21，31，41，51，32，42，52，43，53，54，其中大于 40 的有 8 个，故所求的概率为82025. 答案 B 5.先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1， 2， 3， 4，
4、5，6)，骰子朝上的面的点数分别为 x，y，则 log2xy1 的概率为( ) A.16 B.536 C.112 D.12 解析 所有样本点的个数为 6636.由 log2xy1 得 2xy，其中 x，y1，2，3，4，5，6，所以x1，y2或x2，y4或x3，y6.故事件“log2xy1”包含 3 个样本点，所以所求的概率为 p336112. 答案 C 二、填空题 6.将一枚质地均匀的一元硬币抛 3 次， 恰好出现一次正面朝上的概率是_. 解析 试验共有 8 个结果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)
5、，其中恰好出现一次正面朝上的结果有 3 个，故所求的概率是38. 答案 38 7.在 1，2，3，4 四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的 2倍的概率是_. 解析 用列举法知，可重复地选取两个数共有 16 种可能，其中一个数是另一个数的 2 倍的有 1，2；2，1；2，4；4，2 共 4 种，故所求的概率为41614. 答案 14 8.一次掷两枚质地均匀的正方体骰子，得到的点数为 m 和 n，则关于 x 的方程 x2(mn)x40 有实数根的概率是_. 解析 样本点共有36个.因为方程有实根， 所以(mn)2160.所以mn4，其对立事件是 mn4，其中有(1，1)，(1，2)
6、，(2，1)，共 3 个样本点. 所以所求概率为 13361112. 答案 1112 三、解答题 9.一只口袋内装有大小相同的 5 只球，其中 3 只白球，2 只黑球，从中一次摸出2 只球. (1)共有多少个样本点？ (2)摸出的 2 只球都是白球的概率是多少？ 解 (1)分别记白球为 1，2，3 号，黑球为 4，5 号，从中摸出 2 只球，有如下样本点(摸到 1，2 号球用(1，2)表示)： (1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5). 因此，共有 10 个样本点. (2)上述 10 个样本点发生的可能性相同， 且只
7、有 3 个样本点是摸到两只白球(记为事件 A)，即(1，2)，(1，3)，(2，3)，故 P(A)310. 故摸出 2 只球都是白球的概率为310. 10.做投掷 2 枚骰子的试验，用(x，y)表示试验结果，其中 x 表示第一枚骰子出现的点数，y 表示第 2 枚骰子出现的点数，写出： (1)试验的样本点； (2)事件“出现点数之和大于 8”； (3)事件“出现点数相等”； (4)事件“出现点数之和等于 7”. 解 (1)这个试验的样本点，列举如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3
8、，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共 36 个. (2)“出现点数之和大于 8”包含以下 10 个样本点：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6). (3)“出现点数相等”包含以下 6 个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6). (
9、4)“出现点数之和等于 7”包含以下 6 个样本点：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1). 能力提升 11.有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们 12 个月大的婴儿 3 块分别写有“20”，“12”和“伦敦”的字块， 如果婴儿能够排成“20 12 伦敦”或者“伦敦 20 12”，则他们就给婴儿奖励.假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.16 解析 3 块字块的排法为“20 12 伦敦”，“20 伦敦 12”，“12 20 伦敦”，“12 伦敦 20”，“伦敦 20 12”，“伦敦 12 20”，共 6 种，
10、婴儿能得到奖励的情况有 2 种，故所求概率 p2613. 答案 B 12.某小组共有 A，B，C，D，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示： A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)从该小组身高低于 1.80 米的同学中任选 2 人，求选到的 2 人身高都在 1.78 米以下的概率； (2)从该小组同学中任选 2 人，求选到的 2 人的身高都在 1.70 米以上且体重指标都在18.5，23.9)中的概率. 解 (1)由题意知，从该小组身高低于 1.80
11、米的同学中任选 2 人这一试验 E1的样本空间 1AB，AC，AD，BC，BD，CD，共 6 个样本点，且每个样本点出现的可能性相同， 故属于古典概型.设事件 M 表示“选到的 2 人身高都在 1.78 米以下”，则 MAB，AC，BC，共含有 3 个样本点，所以 P(M)3612. (2)从该小组同学中任选 2 人，这一试验 E2的样本空间 2AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共 10 个样本点，且每个样本点出现的可能性相等.设事件N表示“选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在18.5， 23.9)中”，则 NCD，CE，DE，共含有 3 个样本点，所以
12、P(N)310. 创新猜想 13.(多选题)投掷一枚质地均匀的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解，其中正确的有( ) A.出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率 B.只要连掷 6 次，一定会“出现 1 点” C.投掷前默念几次“出现 6 点”，投掷结果“出现 6 点”的可能性就会加大 D.连续投掷 3 次，出现的点数之和不可能等于 19 解析 掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是12，故 A 正确；“出现1 点”是随机事件，故 B 错误；概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故C 错误；连续掷 3 次，每次都出现最大点数 6，则三次之和为 18，故 D 正确. 答案
13、 AD 14.(多空题)从 1，2，3，4，5 这 5 个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是_.若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是_. 解析 从 5 个数字中不放回地任取两数，样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共 10 个.因为都为奇数的样本点有(1，3)，(1，5)，(3，5)，共 3 个，所以所求概率 p310.从 5 个数字中有放回地任取两数，样本点共有 25 个，都为偶数的样本点有(2，4)，(4，2)，(2，2)，(4，4)，共 4 个，故概率 p425. 答案 310 425
