1、 第第 27 章章 相似相似 专项训练专项训练 专训专训 1 巧用位似解三角形中的内接多边形问题巧用位似解三角形中的内接多边形问题 名师点金： 位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上 三角形的内接正三角形问题 1如图，用下面的方法可以画AOB 的内接等边三角形，阅读后证明相应问题 画法： 在AOB 内画等边三角形 CDE， 使点 C 在 OA 上， 点 D 在 OB 上；连接 OE 并延长，交 AB 于点 E，过点 E作 ECEC，交 OA 于点 C，作EDED，交 O
2、B 于点 D；连接 CD，则CDE是AOB 的内接等边三角形 求证：CDE是等边三角形 (第 1 题) 三角形的内接矩形问题 2如图，求作：内接于已知ABC 的矩形 DEFG，使它的边 EF 在 BC 上，顶点 D，G 分别在 AB，AC 上，并且有21 教育网 (第 2 题) 三角形的内接正方形问题(方程思想) 3 如图， ABC 是一块锐角三角形余料， 边 BC120 mm， 高 AD80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边 QM 在 BC 上，其余两个顶点 P，N分别在 AB，AC 上，则这个正方形零件的边长是多少？ (第 3 题) 4 (1)如图， 在ABC 中， 点 D，
3、E， Q 分别在 AB， AC， BC 上， 且 DEBC，AQ 交 DE 于点 P.求证：DPBQPEQC.【出处：21 教育名师】 (2)在ABC 中，BAC90 ，正方形 DEFG 的四个顶点在ABC 的边上，连接 AG，AF，分别交 DE 于 M，N 两点 如图，若 ABAC1，直接写出 MN 的长； 如图，求证：MN2DM EN. (第 4 题) 专训专训 2 图形的相似中五种热门考点图形的相似中五种热门考点 名师点金： 相似是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容之一，而针对成比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形等都是命题的热点 成比例线段及性质 1下列各组长度的线段，成比
4、例线段的是( ) A2 cm，4 cm，4 cm，8 cm B2 cm，4 cm，6 cm，8 cm C1 cm，2 cm，3 cm，4 cm D2.1 cm，3.1 cm，4.3 cm，5.2 cm 2若a2b3c4d70，则abcdc_. 3如图，乐器上的一根弦 AB80 cm，两个端点 A，B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，则支撑点 C 到端点 A 的距离约为_( 52.236，结果精确到 0.01)【版权所有：21 教育】 (第 3 题) 平行线分线段成比例 4如图，若 ABCDEF，则下列结论中，与ADAF相等的是( ) A.ABEF B.CDEF C.B
5、OOE D.BCBE (第 4 题) (第 5 题) 5如图，在 RtABC 中，ACB90 ，ABC60 ，以 AC 为边向三角形外作正方形 ACDE，连接 BE 交 AC 于 F，若 BF 3 cm，则 EF_. 6如图，在ABC 中，AMMD4，BDDC23，求AEEC的值 (第 6 题) 相似三角形的性质与判定 7如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，且，CE的延长线与 BA 的延长线交于点 F，则 SAEF四边形ABCE为( ) ABCD (第 7 题) (第 9 题) 8若两个相似多边形的面积之比为，周长之差为 6，则这两个相似多边形的周长分别是_www.21-c
6、n- 9将三角形纸片(ABC)按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B，折痕为 EF.已知 ABAC6，BC8，若以点 B，F，C 为顶点的三角形与ABC 相似，那么 BF 的长度是_ 10如图，ABC 是直角三角形，ACB90 ，CDAB 于 D，E 是 AC的中点，ED 的延长线与 CB 的延长线交于点 F. (1)求证：FD2FB FC； (2)若 FB5，BC4，求 FD 的长 (第 10 题) 11如图，四边形 ABCD 是正方形，BD 是对角线，BE 平分DBC 交 DC于点 E，点 F 是 BC 的延长线上一点，且 CECF，BE 的延长线交 DF 于点 M.
7、 (1)求证：BMDF； (2)若正方形 ABCD 的边长为 2，求 ME MB. (第 11 题) 相似三角形的应用 12 一天晚上， 李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度 如图，当李明走到点 A 处时，张龙测得李明直立时身高 AM 与影子长 AE 正好相等；接着李明沿 AC 方向继续向前走， 走到点 B 处时， 李明直立(BN)时的影子恰好是线段 AB，并测得 AB1.25 m，已知李明直立时的身高为 1.75 m，求路灯的高度CD(结果精确到 0.1 m) 21cnjycom (第 12 题) 13某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中 BACD，BC20
8、cm，BC，EF 平行于地面 AD 且到地面 AD 的距离分别为 40 cm、8 cm.为使板凳两腿底端 A， D 之间的距离为 50 cm， 那么横梁 EF 的长应为多少？(材质及其厚度等忽略不计)21 教育名师原创作品 (第 13 题) 位似 (第 14 题) 14如图，已知正方形 ABCD，以点 A 为位似中心，把正方形 ABCD 的各边缩小为原来的一半，得正方形 ABCD，则点 C的坐标为_ 15 如图， 在 68 的网格图中， 每个小正方形的边长均为 1， 点 O 和ABC的顶点均是小正方形的顶点 (1)以 O 为位似中心，在网格图中作ABC和ABC 位似，且相似比为； (2)连接(
9、1)中的 AA，求四边形 AACC 的周长(结果保留根号) (第 15 题) 答案答案 专训1 1证明：ECEC，CEOCEO，CECEOEOE. 又EDED，DEODEO，DEDEOEOE. CEDCED，CECEDEDE. CEDCED. 又CDE 是等边三角形，CDE是等边三角形 (第 2 题) 2解：如图，在 AB 边上任取一点 D，过点 D作 DEBC 于点 E，在 BC上截取 EF，使 EF2DE，过点 F作 FGBC，过点 D作 DGBC 交 FG于点 G，作射线 BG交 AC 于点 G，过点 G 作 GFGF，DGDG，GF 交 BC于点 F，DG 交 AB 于点 D，过点 D
10、 作 DEDE交 BC 于点 E，则四边形 DEFG为ABC 的内接矩形，且21 世纪教育网版权所有 3解：设符合要求的正方形 PQMN 的边 PN 与ABC 的高 AD 相交于点E. 设正方形 PQMN 的边长为 x mm， PNBC，APNABC. APN 与ABC 的对应点都经过点 A， APN 与ABC 是以点 A 为位似中心的位似图形 AEADPNBC.80 x80 x120.解得 x48. 即这个正方形零件的边长是 48 mm. 点拨：利用位似图形的性质“位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比”，构造方程，利用方程思想解决问题【来源：21世纪教育网】 4(1)证明：
11、在ABQ 和ADP 中，DPBQ，ADPABQ，DPBQAPAQ. 同理ACQAEP，PEQCAPAQ.DPBQPEQC. (2)解：MN29. 证明：BC90 ，CEFC90 .BCEF.又BGDEFC90 ，BGDEFC.DGCFBGEF.21世纪*教育网 DG EFCF BG.又DGGFEF，GF2CF BG.由(1)得DMBGMNGFENCF.MNGF2 DMBG ENCF，即MN2FG2DM ENBG CF，MN2DM EN. 专训2 1A 2.4 3.49.44 cm 4.D 5.3 cm (第 6 题) 6解：过 D 点作 DNAC，交 BE 于 N，如图 易知DMNAME， B
12、DNBCE. BDDC23，BDBC25. DNCEBDBC25. AMMD4，AEDNAMMD4. AEECDNECAEDN25485. 7D 8.6，12 94 或247 点拨：ABC 沿 EF 折叠，B 和 B重合，BFBF.设 BFx， 则 CF8x， 当BFCABC 时，BFABCFBC.AB6， BC8， x68x8，解得：x247，即 BF247；当FBCABC 时，FBABFCAC，则x68x6，解得：x4.故 BF4 或247.21cnjy 10 (1)证明： E 是 RtACD 的斜边的中点， DEEA.A1.12， 2A.FDCCDB290 2， FBDACBA90 A，
13、FDCFBD.又F 是公共角，FBDFDC.FBFDFDFC.FD2FB FC.www-2-1-cnjy-com (2)解：FB5，BC4，FC9.FD2FB FC，FD245.FD3 5. 11 (1)证明： 四边形 ABCD 是正方形， BCDC， BCEDCF90 .又CECF，BCEDCF.21*cnjy*com CBECDF.CBEBECCDFDEM90 .BMDF. (2)解： 易知CBD45 .BE 平分DBC， DBMFBM22.5 .由(1)知BMDBMF90 ，BDMF67.5 .【来源：21cnj*y.co*m】 BDBF.DMFM12DF. 正方形 ABCD 的边长为
14、2，BDBF2 2，CF2 22. 在 RtDCF 中，DF2DC2CF24(2 22)2168 2. DM2DF2242 2. CDFDBM，DMEBMD，DMEBMD.DMMBMEDM，即 DM2ME MB.ME MB42 2.21*cnjy*com 12解：设 CDx mAMEC，BNEC，CDEC，MACDBN.又 MAEA，ECCDx m易知ABNACD，BNCDABAC，即1.75x1.25x1.75，解得 x6.1256.1，即路灯的高度 CD 约为 6.1 m. 13 解： 如图， 过点 C 作 CMAB， 分别交 EF， AD 于点 N， M， 作 CPAD，分别交 EF，AD 于点 Q，P.由题意得四边形 ABCM 是平行四边形，ENAMBC20 cm.MDADAM502030(cm)由题意知 CP40 cm，PQ8 cm.CQ32 cm.EFAD，CNFCMD.NFMDCQCP，即NF303240，解得 NF24 cm.EFENNF202444(cm)即横梁 EF 的长应为 44 cm. (第 13 题) (第 15 题) 14(2，1)或(0，1) 15解：(1)ABC如图所示 (2)如图， 四边形 AACC 的周长为 AAACCCAC22 224 246 2.2-1-c-n-j-y
