1、第第 27 章章 相似相似 专项训练专项训练 专训专训 1 证比例式或等积式的技巧证比例式或等积式的技巧 名师点金： 证比例式或等积式， 若所遇问题中无平行线或相似三角形， 则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似， 若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换 构造平行线法 1如图，在ABC 中，D 为 AB 的中点，DF 交 AC 于点 E，交 BC 的延长线于点 F， 求证：AE CFBF EC. (第 1 题) 2如图，已知ABC 的边 AB 上有一点
2、D，边 BC 的延长线上有一点 E，且 ADCE，DE 交 AC 于点 F， 试证明：AB DFBC EF. (第 2 题) 三点找三角形相似法 3如图，在ABCD 中，E 是 AB 延长线上的一点，DE 交 BC 于 F. 求证：DCAECFAD. (第 3 题) 4如图，在ABC 中，BAC90 ，M 为 BC 的中点，DMBC 交 CA 的延长线于 D，交 AB 于 E. 求证：AM2MD ME. (第 4 题) 构造相似三角形法 5 如图， 在等边三角形 ABC 中， 点 P 是 BC 边上任意一点， AP 的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 M，N. 求证：BP CPBM CN.
3、(第 5 题) 等比过渡法 6如图，在ABC 中，ABAC，DEBC，点 F 在边 AC 上，DF 与 BE 相交于点 G，且EDFABE. 求证：(1)DEFBDE； (2)DG DFDB EF. (第 6 题) 7 如图， CE 是 RtABC 斜边上的高， 在 EC 的延长线上任取一点 P， 连接 AP， 作 BGAP于点 G，交 CE 于点 D. 求证：CE2DE PE. (第 7 题) 两次相似法 8如图，在 RtABC 中，AD 是斜边 BC 上的高，ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E，交AD 于 F. 求证：BFBEABBC. (第 8 题) 9如图，在ABCD 中，AMB
4、C，ANCD，垂足分别为 M，N.求证： (1)AMBAND； (2)AMABMNAC. (第 9 题) 等积代换法 10如图，在ABC 中，ADBC 于 D，DEAB 于 E，DFAC 于 F. 求证：AEAFACAB. (第 10 题) 等线段代换法 11如图，等腰ABC 中，ABAC，ADBC 于点 D，点 P 是 AD 上一点，CFAB，延长 BP 交 AC 于点 E，交 CF 于点 F， 求证：BP2PE PF. (第 11 题) 12已知：如图，AD 平分BAC，AD 的垂直平分线 EP 交 BC 的延长线于点 P. 求证：PD2PB PC. (第 12 题) 专训专训 2 巧用巧
5、用“基本图形基本图形”探索相似条件探索相似条件 名师点金： 几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法相似三角形的四类结构图：2-1-c-n-j-y 1.平行线型 2相交线型 3子母型 4旋转型 平行线型 1如图，在ABC 中，BE 平分ABC 交 AC 于点 E，过点 E 作 EDBC 交 AB 于点 D. (1)求证：AE BCBD AC； (2)如果 SADE3，SBDE2，DE6，求 BC 的长 (第 1 题) 相交线型 2如图，点 D，E 分别为ABC 的边 AC，AB 上的点，BD，CE 交于点 O，
6、且EOBODOCO，试问ADE 与ABC 相似吗？请说明理由 (第 2 题) 子母型 3如图，在ABC 中，BAC90 ，ADBC 于点 D，E 为 AC 的中点，ED 的延长线交 AB 的延长线于点 F.求证：ABACDFAF. (第 3 题) 旋转型 4如图，已知DABEAC，ADEABC. 求证：(1)ADEABC； (2)ADAEBDCE. (第 4 题) 专训专训 3 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系 名师点金： 判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一 由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相
7、等”是判断数量关系的常用方法www-2-1-cnjy-com 证明两线段的数量关系 类型1：证明两线段的相等关系 1 如图， 已知在ABC 中， DEBC， BE 与 CD 交于点 O， 直线 AO 与 BC 边交于点 M，与 DE 交于点 N. 求证：BMMC. (第 1 题) 2如图，一直线和ABC 的边 AB，AC 分别交于点 D，E，和 BC 的延长线交于点 F，且 求证：ADDB. (第 2 题) 类型2：证明两线段的倍分关系 3如图，在ABC 中，BDAC 于点 D，CEAB 于点 E，A60 ，求证：DE12BC. (第 3 题) 4如图，AM 为ABC 的角平分线，D 为 AB
8、 的中点，CEAB，CE 交 DM 的延长线于E. 求证：AC2CE. (第 4 题) 证明两线段的位置关系 类型1：证明两线段平行 5如图，已知点 D 为等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 上一点，连接 CD，DECD，DECD，连接 CE，AE.求证：AEBC. (第 5 题) 6在ABC 中，D，E，F 分别为 BC，AB，AC 上的点，EFBC，DFAB，连接 CE和 AD，分别交 DF，EF 于点 N，M. (1)如图，若 E 为 AB 的中点，图中与 MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论； (2)如图，若 E 不为 AB 的中点，写出与 MN 平行的直线，并证明 (第 6 题
9、) 类型2：证明两线垂直 7 如图， 在ABC 中， D 是 AB 上一点， 且 AC2AB AD， BC2BA BD， 求证： CDAB. (第 7 题) 8如图，已知矩形 ABCD，AD13AB，点 E，F 把 AB 三等分，DF 交 AC 于点 G，求证：EGDF. (第 8 题) 专训专训 4 相似三角形与函数的综合应用相似三角形与函数的综合应用 名师点金： 解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点命题形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答 相似三角形与一次函数 1如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx3 与 x 轴交于点 C，
10、与直线 AD 交于点 A43，53，点 D 的坐标为(0，1) (1)求直线 AD 的解析式； (2)直线 AD 与 x 轴交于点 B，若点 E 是直线 AD 上一动点(不与点 B 重合)，当BOD 与BCE 相似时，求点 E 的坐标 (第 1 题) 相似三角形与二次函数 2如图，直线 yx3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线 yax2bxc 经过 A，B，C(1，0)三点 (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)若点 D 的坐标为(1，0)，在直线 yx3 上有一点 P，使ABO 与ADP 相似，求出点 P 的坐标 (第 2 题) 3如图，直线 y2x2 与 x 轴交于点 A，
11、与 y 轴交于点 B，把AOB 沿 y 轴翻折，点 A落到点 C，过点 B 的抛物线 yx2bxc 与直线 BC 交于点 D(3，4) (1)求直线 BD 和抛物线对应的函数解析式； (2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点 M，作 MN 垂直于 x 轴，垂足为点 N，使得以 M，O，N 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 (第 3 题) 相似三角形与反比例函数 4如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 B 的坐标为(2，3)，双曲线ykx(x0)经过 BC 的中点 D，且与 AB 交于点 E，连接 DE. (1)求
12、k 的值及点 E 的坐标； (2)若点 F 是 OC 边上一点，且FBCDEB，求直线 FB 对应的函数解析式 (第 4 题) 专训专训 5 全章热门考点整合应用全章热门考点整合应用 名师点金： 本章主要内容为： 平行线分线段成比例， 相似三角形的判定及性质， 位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点其主要考点可概括为：3 个概念、2 个性质、1 个判定、2 个应用、1 个作图、1 个技巧 3 个概念 概念1：成比例线段 1下列各组线段，是成比例线段的是( ) A3 cm，6 cm，7 cm，9 cm B2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cm C3 cm，9 cm，1.8
13、dm，6 cm D1 cm，2 cm，3 cm，4 cm 2有一块三角形的草地，它的一条边长为 25 m，在图纸上，这条边的长为 5 cm，其他两条边的长都为 4 cm，则其他两边的实际长度都是_m. 概念2：相似多边形 3如图，已知11，22，33，44，DD，试判断四边形ABCD与四边形 ABCD 是否相似，并说明理由 (第 3 题) 概念3：位似图形 4如图，在ABC 中，A，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是(1，0)以点 C为位似中心，在 x 轴的下方作ABC 的位似图形，并把ABC 的边放大到原来的 2 倍，记所得的像是ABC.设点 B 的对应点 B的坐标是(a，b)，
14、求点 B 的坐标 (第 4 题) 2 个性质 性质1：平行线分线段成比例的性质 5如图，在 RtABC 中，A90 ，AB8，AC6.若动点 D 从点 B 出发，沿线段 BA运动到点 A 为止，运动速度为每秒 2 个单位长度过点 D 作 DEBC 交 AC 于点 E，设动点D 运动的时间为 x 秒，AE 的长为 y. (1)求出 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)当 x 为何值时，BDE 的面积有最大值，最大值为多少？ (第 5 题) 性质2：相似三角形的性质 6如图，已知 D 是 BC 边上的中点，且 ADAC，DEBC，DE 与 BA 相交于点 E，EC与
15、AD 相交于点 F. (1)求证：ABCFCD； (2)若 SFCD5，BC10，求 DE 的长 (第 6 题) 1 个判定相似三角形的判定 7如图，ACB 为等腰直角三角形，点 D 为斜边 AB 上一点，连接 CD，DECD，DECD，连接 AE，过 C 作 COAB 于 O.求证：ACEOCD. (第 7 题) 8.如图，在O 的内接ABC 中，ACB90 ，AC2BC，过点 C 作 AB 的垂线 l 交O于另一点 D，垂足为点 E.设 P 是AC上异于点 A，C 的一个动点，射线 AP 交 l 于点 F，连接 PC与 PD，PD 交 AB 于点 G. (1)求证：PACPDF； (2)若
16、 AB5，APBP，求 PD 的长 (第 8 题) 2 个应用 应用1：测高的应用 9如图，在离某建筑物 CE 4 m 处有一棵树 AB，在某时刻，1.2 m 的竹竿 FG 垂直地面放置，影子 GH 长为 2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子 CD 高为 2 m，那么这棵树的高度是多少？ (第 9 题) 应用2：测宽的应用 10如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔 6 m 有一棵树，在河的对岸每隔 60 m 有一根电线杆， 在有树的一岸离岸边 30 m 处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河
17、的宽度 (第 10 题) 1 个作图作一个图形的位似图形 11 如图， 在方格纸中(每个小方格的边长都是 1 个单位长度)有一点 O 和ABC.请以点 O为位似中心，把ABC 缩小为原来的一半(不改变方向)，画出ABC 的位似图形 (第 11 题) 1 个技巧 证明四条线段成比例的技巧 12如图，已知ABC，BAC 的平分线与DAC 的平分线分别交 BC 及 BC 的延长线于点 P，Q. (1)求PAQ 的度数； (2)若点 M 为 PQ 的中点，求证：PM2CM BM. (第 12 题) 答案答案 专训1 (第 1 题) 1证明：如图，过点 C 作 CMAB 交 DF 于点 M. CMAB，
18、CMFBDF. BFCFBDCM. 又CMAD，ADECME.AEECADCM.D 为 AB 的中点， BDCMADCM.BFCFAEEC，即 AE CFBF EC. 2证明：过点 D 作 DGBC，交 AC 于点 G， DGFECF，ADGABC. EFDFCEDG，ABBCADDG. ADCE，CEDGADDG.ABBCEFDF， 即 AB DFBC EF. 点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题 3证明：四边形 ABCD 是平行四边形 AEDC，AC.CDFE， DAEFCD，DCAECFAD. 4证明：DMBC，BAC90
19、， BBEM90 ，DDEA90 . BEMDEA，BD. 又M 为 BC 的中点，BAC90 ，BMAM. BBAM.BAMD. 又AMEDMA.AMEDMA. AMMDMEAM.AM2MD ME. (第 5 题) 5证明：如图，连接 PM，PN. MN 是 AP 的垂直平分线， MAMP，NANP. 12，34. 又ABC 是等边三角形， BC1360 . 2460 . 56120 . 又67180 C120 . 57.BPMCNP. BPCNBMCP，即 BP CPBM CN. 6 证明： (1)ABAC， ABCACB.DEBC， ABCBDE180 ， ACBCED180 ，CEDB
20、DE.又EDFABE，DEFBDE. (2)由DEFBDE 得DEBDEFDE，DE2DB EF.又由DEFBDE，得BEDDFE.GDEEDF， GDEEDF.DGDEDEDF， DE2DG DF， DG DFDB EF. 7证明：BGAP，PEAB， AEPBEDAGB90 . PPAB90 ，PABABG90 . PABG.AEPDEB. AEDEPEBE，即 AE BEPE DE. 又CEAB，CEABEC90 ，CABACE90 . 又ACB90 ，CABCBE90. ACECBE.AECCEB. AECECEBE，即 CE2AE BE.CE2DE PE. 8证明：易得BACBDF9
21、0 . BE 平分ABC，ABEDBF， BDFBAE，得BDABBFBE. BACBDA90 ，ABCDBA. ABCDBA，得ABBCBDAB，BFBEABBC. 9证明：(1)四边形 ABCD 为平行四边形BD. AMBC，ANCD，AMBAND90 ， AMBAND. (2)由AMBAND 得AMANABAD，BAMDAN. 又 ADBC，AMANABBC. AMBC，ADBC，AMBMAD90 . BBAMMANNAD90 ， BMAN. AMNBAC，AMABMNAC. 10证明：ADBC，DEAB，ADBAED90 . 又BADDAE，ADEABD，得 AD2AE AB，同理可得
22、 AD2AF AC，AE ABAF AC，AEAFACAB. 11 证明： 连接 PC， 如图 ABAC， ADBC， AD 垂直平分 BC， ABCACB，BPCP， 12， ABC1ACB2， 即34.CFAB， 3F，4F.又CPFCPE，CPFEPC，CPPEPFCP，即 CP2PF PE.BPCP，BP2PE PF. (第 11 题) (第 12 题) 12证明：如图，连接 PA，则 PAPD，PDAPAD. BBADDACCAP. 又AD 平分BAC，BADDAC.BCAP. 又APCBPA，PACPBA，PAPBPCPA， 即 PA2PB PC，PD2PB PC. 专训2 1(1
23、)证明：EDBC，ADEABC.AEACDEBC. BE 平分ABC，DBEEBC. EDBC，DEBEBC. DBEDEB.DEBD.AEACBDBC， 即 AE BCBD AC. (2)解：设 hADE表示ADE 中 DE 边上的高， hBDE表示BDE 中 DE 边上的高， hABC表示ABC 中 BC 边上的高 SADE3，SBDE2，SADESBDEhADEhBDE32. hADEhABC35. ADEABC，DEBChADEhABC35. DE6，BC10. 2解：相似理由如下：因为EOBODOCO，BOECOD，DOECOB，所以BOECOD，DOECOB.所以EBODCO，DE
24、OCBO.因为ADEDCODEO，ABCEBOCBO.所以ADEABC.又因为AA，所以ADEABC.21cnjy 3证明：BAC90 ，ADBC 于点 D， BACADB90 . 又CBAABD(公共角)， ABCDBA.ABACDBDA，BADC. ADBC 于点 D，E 为 AC 的中点，DEEC. BDFCDEC.BDFBAD. 又FF， DBFADF.DBADDFAF.ABACDFAF. (第 3 题) 点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在A
25、BC 中，ADBC 于点 D，DEAB 于点 E，DFAC 于点 F，求证：AE ABAF AC.可由两组“射影图”得 AE ABAD2，AF ACAD2，AE ABAF AC. 4证明：(1)DABEAC，DAEBAC. 又ADEABC，ADEABC. (2)ADEABC，ADAEABAC. DABEAC，ADBAEC.ADAEBDCE. 专训3 1证明：DEBC.NEOMBO.NEMBONOM. 同理可得DNMCONOM.DNMCNEBM.DNNEMCBM. DEBC，ANEAMC.ANAMNEMC. 同理可得ANAMDNBM，DNBMNEMC.DNNEBMMC. MCBMBMMC.MC2
26、BM2.BMMC. (第 2 题) 2证明：如图， 过 C 作 CGAB 交 DF 于 G 点 CGAB，ADCGAECE，BDCGBFCF， AECEBFCF，ADCGBDCG， ADBD. 3证明：BDAC，CEAB，A60 ，ABDACE30 ，ADAB12，AEAC12，ADABAEAC.又AA，ADEABC，DEBCADAB12，DE12BC. 4 证明： 如图， 延长CE， 交AM的延长线于F.ABCF， BAMF， BDMCEM，BAMCFM，BDCEBMMC，BACFBMMC，BDCEBACF.又BA2BD，CF2CE.又 AM 平分BAC，BAMCAM，CAMF，ACCF，A
27、C2CE. (第 4 题) (第 5 题) 5证明：如图，过点 C 作 COAB 于点 O.DECD，DECD， ECDCED45 .ABC 是等腰直角三角形，CABB45 .CABCED.又AOCEDC90 ，ACOECD.ACCOECCD. 又ACEECOOCDECO45 ，ACEOCD.ACEOCD.CAECOD90 . 又ACB90 ，CAEACB180 .AEBC. 6解：(1)MNACED.证明如下：EFBC，AEMABD，AMFADC，EMBDAMADMFDC.E 为 AB 的中点，EFBC，F 为 AC 的中点又DFAB，D 为 BC的中点，EMMF.F 为 AC 的中点，FN
28、AE，N 为 EC 的中点，从而 MNAC.又D为 BC 的中点，E 为 AB 的中点，EDAC，MNACED. (2)MNAC.证明如下：EFBC，AEMABD，AMFADC，EMBDAMADMFDC， EMMFBDDC.又DFAB， BDDCENNC， EMMFENNC， EMEFENEC.又MENFEC，MENFEC.EMNEFC.MNAC. 7证明：AC2AB AD，ACADABAC.又AA， ACDABC.ADCACB. 又BC2BA BD，BCBDBABC.又BB， BCDBAC.BDCBCA. ADCBDC. BDCADC180 ，ADCBDC90 . CDAB. 8证明：AD1
29、3AB，点 E，F 把 AB 三等分， 设 AEEFFBADk，则 ABCD3k. CDAB，DCGFAG，CDGAFG. AFGCDG，FGDGAFCD23. 设 FG2m，则 DG3m，DFFGDG2m3m5m. 在 RtAFD 中，DF2AD2AF25k2，DF 5k. 5m 5k.m55k.FG255k. AFFG2k255k 5，DFEF5kk 5.AFFGDFEF. 又AFDGFE，AFDGFE. EGFDAF90 .EGDF. 专训4 1解：(1)设直线 AD 的解析式为 ykxb(k0) 将 D(0，1) A43，53代入解析式得： b15343kb 解得b1k12 直线 AD
30、 的解析式为 y12x1. (2)直线 AD 的解析式为 y12x1.令 y0，得 x2. 得 B(2，0)，即 OB2. 直线 AC 为 yx3. 令 y0，得x3. 得 C(3，0)，即 BC5 设 Ex，12x1 当 E1CBC 时，如图，BODBCE190 ，DBOE1BC.BODBCE1. 此时点 C 和点 E1的横坐标相同 将 x3 代入 y12x1，解得 y52. E13，52. 当 CE2AD 时，如图， BODBE2C90 ，DBOCBE2， BODBE2C. 过点 E2作 EFx 轴于点 F，则E2FCBFE290 . 又E2BFBE2F90 ， CE2FBE2F90 .
31、E2BFCE2F. E2BFCE2F，则E2FBFCFE2F. 即 E2F2CF BF.12x12(3x)(x2) 解得：x12，x22(舍去) E2(2，2) 当EBC90 时，此情况不存在 综上所述：E13，52或 E2(2，2) (第 1 题) (第 2 题) 2解：(1)由题意得 A(3，0)，B(0，3)，抛物线经过 A，B，C 三点，把 A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)三点的坐标分别代入 yax2bxc，得方程组9a3bc0，c3，abc0，解得a1，b4，c3，抛物线对应的函数解析式为 yx24x3. (2)如图， 由题意可得ABO 为等腰直角三角形 若ABOAP1D，
32、则AOADOBDP1， DP1AD4，P1(1，4)；若ABOADP2，过点 P2作 P2Mx 轴于 M，ABO 为等腰直角三角形，ADP2是等腰直角三角形，由三线合一可得 DMAM2P2M，即点 M 与点 C 重合，P2(1，2)，点 P 的坐标为(1，4)或(1，2) 3解：(1)易得 A(1，0)，B(0，2)，C(1，0) 设直线 BD 对应的函数解析式为 ykxm. 把 B(0，2)，C(1，0)的坐标分别代入 ykxm， 得m2，km0，解得k2，m2. 直线 BD 对应的函数解析式为 y2x2. 抛物线对应的函数解析式为 yx2bxc. 把 B(0，2)，D(3，4)的坐标分别代
33、入 yx2bxc， 得c2，93bc4，解得b1，c2. 抛物线对应的函数解析式为 yx2x2. (2)存在，如图，当MONBCO 时，ONCOMNBO，即ON1MN2，MN2ON.设ONa，则 M(a，2a)，a2a22a，解得 a12(不合题意，舍去)，a21，M(1，2)；如图， 当MONCBO 时，ONBOMNCO， 即ON2MN1， MN12ON.设 ONn， 则 Mn，12n ，n2n2n2， 解得 n11 334(不合题意， 舍去)， n21 334， M(1 334，1 338) 存在这样的点 M(1，2)或1 334，1 338. (第 3 题) 4 解： (1)在矩形 OA
34、BC 中， 点 B 的坐标为(2， 3)， BC 边的中点 D 的坐标为(1， 3) 双曲线 ykx经过点 D(1，3)，3k1，k3，y3x.点 E 在 AB 上，点 E 的横坐标为2.又双曲线 y3x经过点 E，点 E 的纵坐标为 y32，点 E 的坐标为2，32. (2)易得 BD1，BE32，CB2.FBCDEB，BDCFBECB，即1CF322，CF43，OF53，即点 F 的坐标为0，53.设直线 FB 对应的函数解析式为 yk1xb，而直线 FB 经过B(2，3)，F0，53，k123，b53，直线 FB 对应的函数解析式为 y23x53. 专训5 1C 220 3解：四边形 A
35、BCD 与四边形 ABCD相似由已知条件知，DABDAB，BB，BCDBCD，DD，且ABABBCBCCDCDDADA56，所以四边形 ABCD与四边形 ABCD相似 4 解： 如图， 过点 B 作 BMx 轴于点 M， 过点 B作 BNx 轴于点 N， 则CBMCBN.所以又由已知条件知 NCa1， BNb，所以1)b)所以 MC12(a1)，BMb2.所以 MO12(a1)1a32.所以点 B 的坐标为a32，b2. (第 4 题) 5解：(1)DEBC，ADABAEAC，82x8y6，y32x6(0 x4) (2)SBDE12 2x y12 2x632x 32(x2)26，当 x2 时，
36、SBDE有最大值，最大值为 6. 6(1)证明：如图，D 是 BC 边上的中点，DEBC， EBEC，B1. 又ADAC，ACD2，ABCFCD. (2)解：如图，过点 A 作 AMCB 于点 M. D 是 BC 边上的中点，BC2CD. 由(1)知ABCFCD，SABCSFCDBCCD241. 又SFCD5，SABC20. SABC12BC AM，AM2SABCBC220104. DEBC，AMBC，DEAM， BDEBMA.DEAMBDBM. 由 ADAC，AMBC，知 DM12CD14BC52. DE45552，DE83. 点拨：从复杂的图形中分析线段的特点和联系，找到切入点是解较复杂问
37、题的关键 (第 6 题) 7证明：ACB 为等腰直角三角形，AB 为斜边， CAB45 . COAB.AOC90 . 又DECD，DECD，CED45 ，CDE90 . CAOCED，AOCEDC. ACOECD.ACOECD，ACCOCECD. ACEOCD.ACEOCD. 8(1)证明：由四边形 APCB 内接于圆 O，得FPCB. 又BACE90 BCE，ACEAPD， 所以APDFPC，所以APDDPCFPCDPC， 即APCFPD. 又PACPDC， 所以PACPDF. (2)解：由(1)知PACPDF，所以PCAPFD. 又PACCAF， 所以PACCAF，所以CAFPDF， 所以
38、PDACDFAF，则 PD AFAC DF. 由 AB5，AC2BC，ACB90 ，知 BC 5，AC2 5. 由 OECD，ACB90 知 CB2BE AB，CEDE. 所以 BECB2AB551. 所以 AE4，CE CB2BE2 512， 所以 DE2. 又APBP，AFDPCA，所以AFDPCA45 . 所以 FEAE4，AF4 2， 所以 PDACDFAF2 5（42）4 23 102. 9解：(方法一：作延长线)延长 AD，与地面交于点 M，如图. (第 9 题) 由 AMFH 知AMBFHG. 又因为 ABBG，FGBG，DCBG， 所以ABMDCMFGH，所以ABBMCDCMF
39、GGH. 因为 CD2 m，FG1.2 m，GH2 m， 所以2CM1.22，解得 CM103 m. 因为 BC4 m，所以 BMBCCM4103223(m) 所以AB2231.22，解得 AB4.4 m. 故这棵树的高度是 4.4 m. (方法二：作垂线)过点 D 作 DMAB 于点 M，如图. 所以AMDMFGGH. 而 DMBC4 m，AMABCDAB2(m)，FG1.2 m，GH2 m， 所以AB241.22，解得 AB4.4 m. 故这棵树的高度是 4.4 m. 10解：如图，过点 A 作 AFDE，垂足为 F，并延长交 BC 于点 G. DEBC，ADEABC. AFDE，DEBC
40、，AGBC，AFAGDEBC，30AG2460. 解得 AG75，FGAGAF753045， 即河的宽度为 45 m. (第 10 题) (第 11 题) 11思路导引：本题位似中心为 O，先连接 CO，因为要把原三角形缩小为原来的一半，可确定 CO12CO，由其确定出 C的位置，再根据同样的方法确定出另外两个点 解：画出图形，如图中的ABC即为所求作的图形 点拨：抓住位似图形的性质，根据位似中心与三角形对应点的关系及位似比的大小确定所画位似图形的对应点，再画出图形 12思路导引：(1)由角平分线的定义及BAD 为平角直接可得(2)由于线段 PM，CM，BM 在同一条直线上，所以必须把某条线段
41、转化为另一相等的线段，构造相似三角形，因此可证 PMAM，从而证明ACM 与ABM 相似即可 (1)解：AP 平分BAC，PAC12BAC. 又AQ 平分CAD，CAQ12CAD. PACCAQ12BAC12CAD12(BACCAD) 又BACCAD180 ， PACCAQ90 ，即PAQ90 . (2)证明：由(1)知PAQ90 ， 又M 是线段 PQ 的中点， PMAM，APMPAM. APMBBAP，PAMCAMPAC， BAPPAC， BCAM. 又AMCBMA，ACMBAM. CMAMAMBM，AM2CM BM，即 PM2CM BM. 点拨：本题运用了转化思想，在证明等积式时，常把它转化成比例式，寻找相似三角形进行求解
