1、4.2.2 第1课时 等差数列前n项和公式的推导及简单应用 新课程标准解读 核心素养 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的前n项和公式和通项公式的关系. 数学抽象、数学运算 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 数学建模、数学运算 知识点 等差数列的前 n 项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 Sn_ Sn_ na1an2 na1nn12d 【新知初探】 名师点津 1等差数列an的前 n 项和公式的推导方法“倒序相加法”是解决数列求和问题的一种重要方法主要适用于具有 a1ana2an1a3an2特征的数列求和 2若已知等差数
2、列an的首项 a1、末项 an及项数 n，则用公式Snna1an2来求和这里a1an2是 a1与 an的等差中项，应用时要注意结合等差数列的性质 3公式 Snna1an2中涉及四个量：Sn，n，a1，an；公式 Snna1nn12d 中也涉及四个量：Sn，n，a1，d.结合等差数列an的通项公式 ana1(n1)d，对于等差数列中的五个量：Sn，n，a1，an，d，已知其中的三个量就可以求出另外的两个量 4等差数列an的求和公式 Snna1an2与梯形面积公式 S梯形上底下底高2类似，可对比记忆为上底是“a1”，下底是“an”，高是“n” 题型一 等差数列的前 n 项和的有关计算 例 1 已知
3、等差数列an (1)a156，a1532，Sn5，求 d 和 n； (2)a14，S8172，求 a8和 d. 【题型探究】 解 (1)a1556(151)d32，d16. 又 Snna1nn12d5， 解得 n15 或 n4(舍) (2)由已知，得 S88a1a8284a82172， 解得 a839，又a84(81)d39，d5. 规律方法 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前 n 项和公式中有五个量 a1，d，n，an和 Sn，这五个量可以“知三求二”一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组， 解出a1和d， 便可解决问题 解题时注意整体代换的思想 (2)结合
4、等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若 mnpq(m， n， p， qN*)， 则 amanapaq， 常与求和公式 Snna1an2结合使用 跟踪训练 设 Sn是等差数列an的前 n 项和，已知 a23，a811， 则 S9等于( ) A13 B35 C49 D63 答案：D 解析：an为等差数列，a1a9a2a8， S99a2a82914263. 题型二 等差数列前 n 项和公式的简单应用 例 2 设 Sn为数列an的前 n 项和，Sn2n230n. (1)求 a1及 an； (2)判断这个数列是否是等差数列 解 (1)因为 Sn2n230n， 所以当 n1 时，a1S12123012
5、8， 当 n2 时，anSnSn1 2n230n2(n1)230(n1)4n32. 验证当 n1 时上式成立，所以 an4n32. (2)由 an4n32，得 an14(n1)32(n2)， 所以 anan14n324(n1)324(常数)， 所以数列an是等差数列 母题探究 (变条件)将本例中“Sn2n230n”改为“Sn2n2n2”，如何求解下列问题？ (1)求an的通项公式； (2)判断an是否为等差数列？ 解：(1)Sn2n2n2，当 n2 时， Sn12(n1)2(n1)22n25n1， anSnSn1(2n2n2)(2n25n1)4n3. 又a1S11，不满足 an4n3， 数列a
6、n的通项公式是 an 1，n1，4n3，n2. (2)由(1)知，当 n2 时， an1an4(n1)3(4n3)4(常数)， 但 a2a15164， an不满足等差数列的定义，an不是等差数列 规律方法 已知数列an的前 n 项和 SnAn2BnC(A0)，当 C0 时，数列an为等差数列；当 C0 时，an为非等差数列 跟踪训练 设 Sn是正数数列bn的前 n 项和，且 Sn14(bn1)2，求bn的通项公式 解：当 n2 时，bnSnSn1， bn14(bn1)214(bn11)214(b2nb2n12bn2bn1) 整理得：b2nb2n12bn2bn10， (bnbn1)(bnbn12
7、)0， bnbn10，bnbn12(n2) bn为公差为 2 的等差数列 又b114(b11)2，b11，bn1(n1) 22n1. 题型三 等差数列前 n 项和公式的实际应用 例 3 某抗洪指挥部接到预报，24 小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线，经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用 20 台同型号翻斗车，平均每辆车工作 24 小时， 从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集 25 辆，那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线？ 解 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小
8、时) 依次设为 a1，a2，a25. 由题意可知，此数列为等差数列，且 a124，公差 d13. 25 辆翻斗车完成的工作量为： a1a2a252524251213500， 而需要完成的工作量为 2420480. 500480 ，在 24 小时内能构筑成第二道防线 规律方法 1本题属于与等差数列前 n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列 2遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型； (2)深入分析题意，确定是求通项公式 an，还是求前 n 项和 Sn或者求 n. 跟踪训练 植树节某
9、班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距 10 m，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为_m. 解析：假设 20 位同学是 1 号到 20 号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第 10或第 11 号树坑旁， 此时两侧的同学所走的路程分别组成以 20 为首项，20 为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为 S9209822010201092202 000(m) 答案：2 000 1记 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 3S3S2S4，a12，
10、 则 a5( ) A12 B10 C10 D12 【随堂检测】 答案：B 解析：设等差数列an的公差为 d，由 3S3S2S4，得 3(3a13d)2a1d4a16d，即 3a12d0.将 a12 代入上式，解得 d3，故 a5a1(51)d24(3)10. 2设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a1a3a53， 则 S5( ) A5 B7 C9 D11 答案：A 解析：由题 a1a3a53，3a33. a31，S55a1a5252a325. 3已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S816，a61， 则数列an的公差为 ( ) A.32 B32 C.23 D23 答案：D 解析：
11、设数列an的公差为 d， 等差数列an的前 n 项和为 Sn，S816，a61， S88a1872d16，a6a15d1，解得 a1133， d23，故数列an的公差为23. 4设an是公差大于零的等差数列，Sn为数列an的前 n 项和，则“a20”是“Sn1Sn”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案：C 解析： 由an是公差大于零的等差数列， 且 a20， 可得 an10，所以 an1Sn1Sn0，即 Sn1Sn；反之，若 Sn1Sn，则当 n1 时，S2S1，即 S2S1a20.所以“a20”是“Sn1Sn”的充要条件，故选 C. 5在一个等差数列中，已知 a1010，则 S19_. 解析：S1919a1a192192a102190. 答案：190
