1、2021 年湖北省武汉市东湖高新区中考数学质检试卷（年湖北省武汉市东湖高新区中考数学质检试卷（5 月份）月份） 一选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 13 的倒数是（ ） A3 B3 C D 2掷一枚质地均匀的硬币 6 次，下列说法正确的是（ ） A必有 3 次正面朝上 B可能有 3 次正面朝上 C至少有 1 次正面朝上 D不可能有 6 次正面朝上 3现实世界中，对称现象无处不在，中国的汉字中有些也具有对称性，下列美术字中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 4下列计算正确的是（ ） A （a3）2a6 B（a3）2a6 C （a3）3a6 D（a3）2a6 5有 6
2、个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ） A B C D 6从 1，2，3 三个数中取出一个数作为点 P 的横坐标，从 4，5，6，7 四个数中取出一个数作为点 P 的纵坐标，则点 P 落在直线 yx+6 上的概率是（ ） A B C D 7若点 A（2020，y1） 、B（2021，y2）都在双曲线 y上，且 y1y2，则 a 的取值范围是（ ） Aa0 Ba0 Ca Da 8 “漏壶”是古代的一种计时器，如图，在它内部盛有一定量的水，不考虑水量对压力的影响，水从小孔均匀漏出，壶内壁有刻度人们根据壶中水面的位置计算时间，水面高度 y 与时间 x 成一次函数关系，如表记录了四
3、次观测的数据，其中只有一组数据记录错误，它是（ ） 组数 1 2 3 4 x 1 3 4 6 y 22 18 16 14 A第 1 组 B第 2 组 C第 3 组 D第 4 组 9如图，O 是等腰三角形ABC 底边上一点，半圆 O 交 AC 于点 D，与 BC 相切于点 B，CD2，则图中阴影部分的面积是（ ） A B+ C+2 D+ 10 在平面直角坐标系中， 点 P （a， b） 是函数 y与 yx1 的图象的一个交点， 则的值为 （ ） A4+ B2+ C2+ D4+ 二.选择题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11计算的结果是 12某班体育中考各年龄组的参考人数如表所示：
4、 年龄组 14 岁 15 岁 16 岁 17 岁 参赛人数 5 22 24 3 则该班参考选手年龄的众数是 ，中位数是 13方程的解 x 14黄鹤楼是武汉市的标志性建筑之一，有同学想测量其高度 AB，他开始站在广场 D 点位置，仰角 53是可以看到黄鹤楼的顶点 A，后来他退 12.5 米到 F 点，此时仰角 45可以看到黄鹤楼的顶点 A，该同学的眼睛距地面 1.4 米，B，D，F 在同一水平面的同一条直线上且与 AB 垂直，则黄鹤楼的高 AB 为 米 （tan53） 15抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数）过点（0，2） 、A（x1，0） 、B（x2，0） ，x10，2x23，则下
5、列结论： a0；2；若抛物线 yax2+bx+c 过点（1，2） ，则有a；抛物线 yax2+bx+c 上有两点（m，y1） （m+1，y2） ，若 m1 且为整数，ab，y1y20，则 m4 其中正确的结论是 （填写序号） 16点 E，F 分别是图 1 矩形 ABCD 的边 AB，CD 的中点，沿虚线剪为四块，拼成如图 2 无缝隙无重叠的平面图形，已知阴影部分的面积是空白部分的 8 倍，则AFD 的正切值是 三.解答题（共 8 小题，共 72 分） 17 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答 （）解不等式，得 ； （）解不等式，得 ； （）把不等式和的解集在数轴上表示出来； （）原不等
6、式组的解集为 18 已知：如图，1+2180，AD求证：ABCD （在每步证明过程后面注明理由） 19“1 分钟跳绳”是体育中考项目之一某中学为了解九年级学生“1 分钟跳绳”的情况，随机抽取部分九年级学生，测试其 1 分钟跳绳成绩，按标准依次分为 A，B，C，D 四个等级进行统计（男女生分别按相应标准） ，并绘制成如下两幅不完整的统计图请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中共抽取了 名学生，扇形统计图中，D 类所对应的扇形圆心角大小为 ； （2）所抽取学生“1 分钟跳绳”测试成绩的中位数会落在 等级； （3）A、B 等级为优秀，若该校九年级共有 900 名学生，请你估计该校还
7、未获优秀的学生约在多少人？ 20 在如图的网格中建立平面直角坐标系，ABC 的顶点坐标分别为 A（1，7） ，B（5，9） ，C（6，6） ，格点 D（7，1） ，只用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图结果用实线表示，过程用虚线表示，并回答问题 （1）作ABC 的中线 AE； （2）在 AB 上找一点 P，使得 BP：AP2：3； （3）作点 B 关于 AC 的对称点 F； （4）线段 AC 和线段 CD 存在一种特殊关系，即其中一条线段沿某条直线对折可以得到另一条线段，直接写出这条直线的解析式 21 如图，在等腰 RtABC 中，ABC90，点 D 是以 AB 为直径的O 上一点，连 B
8、D 交 AC 于 P，CDBC （1）求证：CD 是O 的切线； （2）求的值 22 某商家计划共用 5000 元从厂家采购围巾和帽子两种产品各 100 件，每条围巾比帽子的单价多 10 元，围巾的销售数量 y1（条）与销售单价 x（元/条）满足 y12x+100；帽子的销售数量 y2（顶）与销售单价m（元/顶）满足 y2m+90，并且销售单价都高于进价 （1）求围巾和帽子的进价； （2）商场按围巾和帽子的销量相同来确定销售单价，当围巾的销售单价为多少元时，两种商品的总利润最高； （3）若两种商品的销售单价相同，当销售总利润最高时，请直接写出围巾的销售单价 23 如图 1，P 是菱形 ABCD
9、 边 BC 上一个动点，ABC60，线段 AE 与 AD 关于直线 AP 对称，连接 BE并延长交直线 AP 于点 F，连接 CF （1）若BAP50，直接写出AFE 的度数； （2）如图 2，若FCB90，求证：2； （3）如图 3，若 AB6，M 是线段 FB 上一点，BM：FM1：2，直接写出 DM 的最大值 24 已知抛物线 yx2+x+c 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A、B（A 在 B 的左边） ，且经过点（2，4） ，如图 1 （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）如图 2，直线 AC 绕平面内一点 P 逆时针旋转 90后，交抛物线于点 E、F（E 在 F 的左边）两
10、点，EF2AC，求 E 点坐标； （3）在（2）的条件下，若 P 点在抛物线的对称轴上，请直接写出 P 点坐标 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 13 的倒数是（ ） A3 B3 C D 【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可 【解答】解：（3）（）1， 3 的倒数是 故选：D 2掷一枚质地均匀的硬币 6 次，下列说法正确的是（ ） A必有 3 次正面朝上 B可能有 3 次正面朝上 C至少有 1 次正面朝上 D不可能有 6 次正面朝上 【分析】根据等可能事件发生的可能性，以及可能性的大小进行判断即可 【解答】解：掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向
11、上，也可能反面向上，可能性是均等的，不会受到前一次的影响， 掷一枚质地均匀的硬币 6 次，不一定 3 次正面朝上，因此 A 选项不符合题意， “可能有 3 次正面朝上”是正确的，因此 B 选项正确； 可能 6 次都是反面向上，因此 C 不符合题意，有可能 6 次正面向上，因此 D 选项不符合题意； 故选：B 3现实世界中，对称现象无处不在，中国的汉字中有些也具有对称性，下列美术字中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案 【解答】解：A、 “建”不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、 “党”不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、 “伟”不是轴对称图
12、形，故本选项不合题意； D、 “业”是轴对称图形，故本选项符合题意 故选：D 4下列计算正确的是（ ） A （a3）2a6 B（a3）2a6 C （a3）3a6 D（a3）2a6 【分析】根据幂的乘方与积的乘方求解判断即可 【解答】解：A， （a3）2a6，故此选项不符合题意； B，（a3）2a6，故此选项不符合题意； C， （a3）3a9，故此选项不符合题意； D，（a3）2a6，故此选项符合题意； 故选：D 5有 6 个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ） A B C D 【分析】俯视图有 3 列，从左到右正方形个数分别是 2，1，1 【解答】解：俯视图从左到右分别是
13、2，1，1 个正方形 故选：B 6从 1，2，3 三个数中取出一个数作为点 P 的横坐标，从 4，5，6，7 四个数中取出一个数作为点 P 的纵坐标，则点 P 落在直线 yx+6 上的概率是（ ） A B C D 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出点 P 落在直线 yx+6 上的情况数，然后根据概率公式即可得出答案 【解答】解：根据题意画图如下： 共有 12 种等可能的情况数，其中点 P 落在直线 yx+6 上的有 2 种， 则点 P 落在直线 yx+6 上的概率是 故选：D 7若点 A（2020，y1） 、B（2021，y2）都在双曲线 y上，且 y1y2，则 a 的取值
14、范围是（ ） Aa0 Ba0 Ca Da 【分析】根据已知得 3+2a0，从而得出 a 的取值范围 【解答】解：点 A（2020，y1） 、B（2021，y2）都在双曲线 y上，且 y1y2， 3+2a0， a， 故选：C 8 “漏壶”是古代的一种计时器，如图，在它内部盛有一定量的水，不考虑水量对压力的影响，水从小孔均匀漏出，壶内壁有刻度人们根据壶中水面的位置计算时间，水面高度 y 与时间 x 成一次函数关系，如表记录了四次观测的数据，其中只有一组数据记录错误，它是（ ） 组数 1 2 3 4 x 1 3 4 6 y 22 18 16 14 A第 1 组 B第 2 组 C第 3 组 D第 4
15、组 【分析】根据题意，可知 y 随 t 的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题 【解答】解：不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，t 表示漏水时间，y 表示壶底到水面的高度， y 随 t 的增大而减小，且第 1、2、3 组数据满足 y 与 x 之间的关系式 y2x+24，第 4 组数据不满足 y与 x 之间的关系式 y2x+24 故选：D 9如图，O 是等腰三角形ABC 底边上一点，半圆 O 交 AC 于点 D，与 BC 相切于点 B，CD2，则图中阴影部分的面积是（ ） A B+ C+2 D+ 【分析】连接 OB，根据等腰三角形的性质得到AC，由切线的性质得到OBC90
16、，根据直角三角形的性质得到 OBOC，过 O 作 OHAB 于 H，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论 【解答】解：连接 OB， OAOB， AC， BOC2A， BOC2C， BC 是O 的切线， OBC90， BOC+C90， C30，BOC60， OBOC， ODOB， ODCD2， 过 O 作 OHAB 于 H， OH1，AB2， 图中阴影部分的面积+ 故选：D 10 在平面直角坐标系中， 点 P （a， b） 是函数 y与 yx1 的图象的一个交点， 则的值为 （ ） A4+ B2+ C2+ D4+ 【分析】由题意得，函数 y与 yx1 的图象交于点 P（a，b） ，则 ab，b
17、a1，进而求解 【解答】解：点 P（a，b）是函数 y与 yx1 的图象的一个交点， ab，ba1， ab1， 2+ 故选：C 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11计算的结果是 2 【分析】直接根据二次根式的性质进行计算可得答案 【解答】解：原式|2|2 故答案为：2 12某班体育中考各年龄组的参考人数如表所示： 年龄组 14 岁 15 岁 16 岁 17 岁 参赛人数 5 22 24 3 则该班参考选手年龄的众数是 16 岁 ，中位数是 15.5 岁 【分析】 由表格中的数据可以直接看出众数，然后将这 54 个数据按照从小到大的顺序排列即可得到中位数，本题得以解决 【解答】解：由
18、表格可知， 一共有 5+22+24+354 个数据，其中 16 岁出现的次数最多，故这组数据的众数是 16 岁， 按从小到大的数据排列第 27 个和第 28 个数据分别是 15 岁，16 岁，故中位数是（15+16）215.5 岁 故答案为：16 岁，15.5 岁 13方程的解 x 3 【分析】观察可得方程最简公分母为： （x+1） （x1） ，去分母，解整式方程并检验 【解答】解：方程两边同乘（x+1） （x1） ，得 x+1+2x（x1）2（x+1） （x1） ， 展开、整理得 x3 经检验 x3 是原方程的解 14黄鹤楼是武汉市的标志性建筑之一，有同学想测量其高度 AB，他开始站在广场
19、D 点位置，仰角 53是可以看到黄鹤楼的顶点 A，后来他退 12.5 米到 F 点，此时仰角 45可以看到黄鹤楼的顶点 A，该同学的眼睛距地面 1.4 米，B，D，F 在同一水平面的同一条直线上且与 AB 垂直，则黄鹤楼的高 AB 为 51.4 米 （tan53） 【分析】设 EC 的延长线交 AB 于点 G，根据题意可得 CDEF1.4 米，CEDF12.5 米，然后根据锐角三角函数即可求出 AG 的长，进而可得黄鹤楼的高 AB 【解答】解：设 EC 的延长线交 AB 于点 G， 根据题意可知：CDEF1.4 米，CEDF12.5 米， AEG45， AGEG， ACG53，CGEGCE（A
20、G12.5）米， AGtanACGCGtan53（AG12.5） ， 解得 AG50， ABAG+GBAG+CD50+1.451.4（米） ， 答：黄鹤楼的高 AB 为 51.4 米 故答案为：51.4 15抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数）过点（0，2） 、A（x1，0） 、B（x2，0） ，x10，2x23，则下列结论： a0；2；若抛物线 yax2+bx+c 过点（1，2） ，则有a；抛物线 yax2+bx+c 上有两点（m，y1） （m+1，y2） ，若 m1 且为整数，ab，y1y20，则 m4 其中正确的结论是 （填写序号） 【分析】根据图象上点的坐标特征即可判断；抛
21、物线 yax2+bx+c 过点（0，2） 、 （1，2） ，得出对称轴为直线 x，c2，得出 ab，从而得出抛物线 yax2+ax+2，由 2x23 即可求得 a 的取值，即可判断；根据抛物线的对称性求得4x13，根据题意 m+13，m4，求得 m4，即可判断 【解答】解：抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数）过点（0，2） 、A（x1，0） 、B（x2，0） ，x10，2x23， 抛物线开口向下， a0，故正确； 抛物线开口向下，与 y 轴交于点（0，2） ， 2，故错误； 抛物线 yax2+bx+c 过点（0，2） 、 （1，2） ， 对称轴为直线 x，c2， ， ba， 抛物线
22、 yax2+ax+2， 抛物线开口向下，2x23， 当 x2 时，y4a+2a+c0， 当 x3 时，y9a+3a+c0， a，故正确； ab， 对称轴为直线 x， x10，2x23， 4x13， 抛物线 yax2+bx+c 上有两点（m，y1） （m+1，y2） ，y1y20，m1 且为整数， y10，y20， m+13，m4， m4，故正确； 故答案为 16点 E，F 分别是图 1 矩形 ABCD 的边 AB，CD 的中点，沿虚线剪为四块，拼成如图 2 无缝隙无重叠的平面图形，已知阴影部分的面积是空白部分的 8 倍，则AFD 的正切值是 【分析】设 AEa，EFb利用面积关系构建 a，b
23、的关系式，可得结论 【解答】解：设 AEa，EFb 由题意：4ab8（ab）2， 4a29ab+4b20， 解得 ab 或 ab（舍弃） ， tanAFE 故答案为： 三解答题三解答题 17 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答 （）解不等式，得 ； （）解不等式，得 ； （）把不等式和的解集在数轴上表示出来； （）原不等式组的解集为 【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组 【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力 【答案】x2，x4，见解答，2x4 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 【解
24、答】解： （）解不等式，得 x2； （）解不等式，得 x4； （）把不等式和的解集在数轴上表示出来； （）原不等式组的解集为 2x4 故答案为：x2，x4，2x4 18 已知：如图，1+2180，AD求证：ABCD （在每步证明过程后面注明理由） 【考点】平行线的判定 【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观 【答案】见试题解答内容 【分析】结合图形，利用平行线的性质及判定逐步分析解答 【解答】证明：1 与CGD 是对顶角， 1CGD（对顶角相等） ， 1+2180（已知） ， CGD+2180（等量代换） ， AEFD（同旁内角互补，两直线平行） ， ABFD（两直线平行，同位角相等） ，
25、 又AD（已知） ， BFDD（等量代换） ， ABCD（内错角相等，两直线平行） 19“1 分钟跳绳”是体育中考项目之一某中学为了解九年级学生“1 分钟跳绳”的情况，随机抽取部分九年级学生，测试其 1 分钟跳绳成绩，按标准依次分为 A，B，C，D 四个等级进行统计（男女生分别按相应标准） ，并绘制成如下两幅不完整的统计图请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中共抽取了 名学生，扇形统计图中，D 类所对应的扇形圆心角大小为 ； （2）所抽取学生“1 分钟跳绳”测试成绩的中位数会落在 等级； （3）A、B 等级为优秀，若该校九年级共有 900 名学生，请你估计该校还未获优秀的学生
26、约在多少人？ 【考点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；中位数 【专题】统计的应用；数据分析观念 【答案】 （1）45，104； （2）C； （3）660 【分析】 （1）求出“A”所占的百分比，根据频数、频率、总数之间的关系即可求出调查人数，进而求出“D”所占的百分比和相应的圆心角度数； （2）根据中位数的意义进行判断即可； （3）求出“C、D”所占整体的百分比即可求出相应的人数 【解答】解： （1）845（名） ，360104， 故答案为：45，104； （2）将 45 名学生跳绳测试成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都在 C 等级，因此中位数会落在C 等级， 故答案为：C； （
27、3）900660（名） ， 答：该校还未获优秀的学生约在 660 人 20 在如图的网格中建立平面直角坐标系，ABC 的顶点坐标分别为 A（1，7） ，B（5，9） ，C（6，6） ，格点 D（7，1） ，只用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图结果用实线表示，过程用虚线表示，并回答问题 （1）作ABC 的中线 AE； （2）在 AB 上找一点 P，使得 BP：AP2：3； （3）作点 B 关于 AC 的对称点 F； （4）线段 AC 和线段 CD 存在一种特殊关系，即其中一条线段沿某条直线对折可以得到另一条线段，直接写出这条直线的解析式 【考点】待定系数法求一次函数解析式；线段垂直平分线的
28、性质；作图轴对称变换；相似三角形的判定与性质 【专题】作图题；几何直观 【答案】 （1） （2） （3）作图见解析部分 （4）直线 yx 【分析】 （1）取格点 M，N，连接 MN 交 BC 于点 E，连接 AE，线段 AE 即为所求作 （2）取格点 T，Q，连接 TQ 交 AB 于点 P，点 P 即为所求作 （3）取格点 J，作直线 BJ，取格点 W，K，连接 AW，CK，WK，WK 交直线 BJ 于点 F，点 F 即为所求作 （4）关于直线 yx 对称 【解答】解： （1）如图，线段 AE 即为所求作 （2）如图，点 P 即为所求作 （3）如图，点 F 即为所求作 （4）观察图象可知，线段
29、 AC，CD 关于直线 yx 对称 21 如图，在等腰 RtABC 中，ABC90，点 D 是以 AB 为直径的O 上一点，连 BD 交 AC 于 P，CDBC （1）求证：CD 是O 的切线； （2）求的值 【考点】等腰直角三角形；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质 【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力 【答案】 （1）证明过程请看解答； （2） 【分析】 （1） 连接 OD， 易得OBDODB， CBDCDB， 再由ABC90， 得出CDO90，即可得出结论； （2）连接
30、OC 交 BD 于点 H，连接 AD、OD，易证 OC 垂直平分 BD，ABDBCO，由锐角三角函数定义得 tanABDtanBOC，设 OHa，则 DHBH2a，CH4a，AD2a，易证 ADCH，得出ADPCHP，则，求出 DP，PH，由勾股定理可得 PC、AP 的值，即可得出结果 【解答】 （1）证明：连接 OD，如图 1 所示： ODOB， OBDODB， CDCB， CBDCDB， OBD+CBDOBC90， ODB+CDB90， CDO90， ODCD， 又OD 是O 的半径， CD 与O 相切； （2）解：连接 OC 交 BD 于点 H，连接 AD、OD，如图 2 所示： BCC
31、D，OBOD， OC 垂直平分 BD， OHB90，ABD+BOHBCO+BOH90， ABDBCO， ABC 是等腰直角三角形， ABBC， AB 是O 的直径， ADB90，OBABBC， tanABDtanBCO， 设 OHa，则 DHBH2a， BD4a，CH2BH4a，ADBD2a， ADBOHB90， ADCH， ADPCHP， ， DH2a， DP，PH， 在 RtPHC 中，由勾股定理得：PCa， 在 RtADP 中，由勾股定理得：APa， 22 某商家计划共用 5000 元从厂家采购围巾和帽子两种产品各 100 件，每条围巾比帽子的单价多 10 元，围巾的销售数量 y1（条）
32、与销售单价 x（元/条）满足 y12x+100；帽子的销售数量 y2（顶）与销售单价m（元/顶）满足 y2m+90，并且销售单价都高于进价 （1）求围巾和帽子的进价； （2）商场按围巾和帽子的销量相同来确定销售单价，当围巾的销售单价为多少元时，两种商品的总利润最高； （3）若两种商品的销售单价相同，当销售总利润最高时，请直接写出围巾的销售单价 【考点】分式方程的应用；二次函数的应用 【专题】二次函数的应用；应用意识 【答案】 （1）围巾的进价为 30 元，帽子的进价为 20 元； （2）35 元； （3）45 元 【分析】 （1）根据“共用 5000 元从厂家采购围巾和帽子两种产品各 100
33、件，每条围巾比帽子的单价多10 元”列方程解答即可； （2）根据总利润 w围巾和帽子的利润和，列出函数表达式，根据二次函数的性质解答即可； （3）若两种商品的销售单价相同，则 mx，总利润 w围巾和帽子的利润和，列出函数表达式，根据二次函数的性质解答即可 【解答】解： （1）设帽子的进价为 a 元，根据题意得： 100a+100（a+10）5000, 解得：a20， 20+1030(元） ， 答：围巾的进价为 30 元，帽子的进价为 20 元； （2）设两种商品的总利润为 w 元 根据题意得：y1y2， 2x+100m+90，解得：m2x10， ， 30 x50， w（x30） （2x+100
34、）+（2x1020） （2x+100） 6x2+420 x6000 6（x35）2+1350， 60， x35 时，w 有最大值， 答：当围巾的销售单价为 35 元时，两种商品的总利润最高； （3）设两种商品的总利润为 w 元 根据题意得：y12x+100，y2x+90， ， 30 x50， w（x30） （2x+100）+（x20） （x+90） 3x2+270 x4800 3（x45）2+1275， 30， x45 时，w 有最大值， 答：当销售总利润最高时，围巾的销售单价为 45 元 23 如图 1，P 是菱形 ABCD 边 BC 上一个动点，ABC60，线段 AE 与 AD 关于直线
35、AP 对称，连接 BE并延长交直线 AP 于点 F，连接 CF （1）若BAP50，直接写出AFE 的度数； （2）如图 2，若FCB90，求证：2； （3）如图 3，若 AB6，M 是线段 FB 上一点，BM：FM1：2，直接写出 DM 的最大值 【考点】四边形综合题 【专题】几何综合题；推理能力 【答案】 （1）60； （2）证明过程见解答； （3）2+2 【分析】 （1）连结 AC，设 AF 交 DE 于点 G，由轴对称和菱形的性质得EGF90，FED60，从而求得AFE 的度数； （2）连结 DF，由轴对称的性质得 DFEF，则DEF 是等边三角形，可推出当FCB90时，则AEBABE
36、75，在这样的等腰三角形中，通过作辅助线可以证得：2，所以2； （3）在 BC 上取一点 N，使 BN：CN1：2，连结 MN、DN，由 DMMN+DN 求得 DM 的最大值 【解答】解： （1）如图 1，连结 AC，设 AF 交 DE 于点 G. 四边形 ABCD 是菱形，且ABC60， ABBCADCD，ADCABC60， ABC 和ADC 都是等边三角形， DACBAC60； AE 与 AD 关于直线 AP 对称， AEADAB，EGF90； AEBABE（180BAE） ， AEDADE（180DAE）（180120BAE） ， FEDAEBAED（180BAE）（180120BAE）
37、60， AFE90FED906030 （2）如图 2，连结 DF，作 EQAB 于点 Q，在 EQ 上取一点 R，连结 BR，使 BRER 点 D、E 关于直线 AP 对称， AP 垂直平分 DE， 点 F 在直线 AP 上， DFEF； 由（1）得FED60， DEF 是等边三角形， DFDE，FDEADC60， CDFADE， CDFADE（SAS） ， CFAEABBC， FCB90， CBFCFB45， AEBABE180604575， BAE18027530； EQAEQB90， RBEREB907515， RBQ751560，BRQ906030 设 BQa，则 ERBR2a，QRB
38、Qtan60a， BE2a2+（2a+a）2（8+4）a2，CF2AE2（2EQ）24（2a+a）2（28+16）a2， 2 （3）如图 3，在 BC 上取一点 N，使，连结 MN、DN，作 NKCD 交 DC 的延长线于点 K ， ， ， MBNFBC（公共角） ， BMNBFC， ， CFABCDBC6， MNCF2， CNBC64，KCNADC60，K90， CND30， CKCN2，KNCKtan602， DKCD+CK6+28， DN2， DMMN+DN， 当 DM 经过点 N 时，DM 的值最大，此时 DMMN+DN2+2 故答案为：2+2 24 已知抛物线 yx2+x+c 与 y
39、 轴交于点 C，与 x 轴交于 A、B（A 在 B 的左边） ，且经过点（2，4） ，如图 1 （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）如图 2，直线 AC 绕平面内一点 P 逆时针旋转 90后，交抛物线于点 E、F（E 在 F 的左边）两点，EF2AC，求 E 点坐标； （3）在（2）的条件下，若 P 点在抛物线的对称轴上，请直接写出 P 点坐标 【考点】二次函数综合题 【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；推理能力 【答案】 （1）yx2+x+4，顶点坐标为（1，） ； （2）E（，） ； （3）P 的坐标为（1，） 【分析】 （1）利用待定系数法，把点（2，4）的坐标代入即可； （
40、2）点 E 在抛物线上，设 E（m，m2+m+4） ，通过构造相似三角形，利用 EF2AC，求得 HF8，EH4，利用点 F 纵坐标相等，求出 m 的值，即可得到点 E 的坐标； （3）用待定系数法求出 EF 的解析式，设点 P（1，n） ，由旋转，得到点 C 的对应点 C的坐标（n3，n1） ，代入直线 EF，求出 n 的值，即可得到点 P 的坐标 【解答】解： （1）由题意得：44+2+c， 解得：c4， 抛物线的解析式为 yx2+x+4，顶点坐标为（1，） ； （2）令 yx2+x+40， 解得：x4 或 x2， A（2，0） ，B（4，0） ，C（0，4） ， AO2，CO4， 如图
41、2，过点 E 作 y 轴的平行线 EK，过点 F 作 x 轴的平行线 FH，交于 EK 点 H， 由旋转可得，EFAC， 又y 轴x 轴， KECACO，COAEHFCEF90， KEC+FEH90，FEH+EFH90， KECEFHACO， EFHACO， ， EF2AC， 2， ， HF2CO8，EH2AO4， 设 E（m，m2+m+4） ，则 F（m+8，m2+m） ， m2+m（m+8）2+m+8+4， 解得：m， E（，） ； （3）由（2） ，得 E（，） ，F（，） ， 设直线 EF 的解析式为 ykx+b，代入点 E、F 的坐标， 得：， 解得：， 直线 EF 的解析式为 y， 如图 2，将点 C 绕对称轴直线 x1 上的点 P 逆时针旋转 90，得到点 C， 可知点 C在直线 EF 上，设点 P（1，n） ， C（0，4） ， 由旋转，得点 C 的对应点 C的坐标为（n3，n1） ，代入直线 EF， 得：， 解得：n， 点 P 的坐标为（1，）
