1、2018-2019 学年湖北省武汉市硚口区九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1将一元二次方程 3x2+1=6x 化为一般形式后，常数项为 1，二次项系数和一次项系数分别为（ ）A3 ， 6 B3，6 C3，1 D3x 2，6x2若 x=2 是关于 x 的一元二次方程 x2mx+8=0 的一个解则 m 的值是（ ）A6 B5 C2 D63用配方法解方程 x2+10x+9=0，配方后可得（ ）A （x +5） 2=16 B （x +5） 2=1C （ x+10） 2=91 D （x +10） 2=1094抛物线 y=（x1） 22 的顶点
2、坐标是（ ）A （1 ，2 ） B （1， 2） C （1，2） D （1，2）5某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共 31若设主干长出 x 个支干，则可列方程是（ ）A （1 +x） 2=31 B1+x +x2=31 C （1+x ）x=31 D1+x +2x=316某校去年对实验器材的投资为 2 万元，预计今明两年的投资总额为 8 万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是 x，则可列方程为（ ）A2 （1 +x） 2=8 B2（1x） 2=8C 2+2（1+x）+2 （1+x ） 2=8 D2（1+x）+2（1+x） 2=87已知点
3、 A（3，y 1） ，B（ 1，y 2） ，C（2，y 3）在函数 y=x22x+b 的图象上，则y1、 y2、 y3 的大小关系为（ ）Ay 1y 3y 2 By 3y 1y 2 Cy 3y 2y 1 Dy 2y 1 y38如图，要设计一幅宽 20cm，长 30cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为 2：1如果要使彩条所占面积是图案面积的 ，则竖彩条宽度为（ ）A1 cm B1.5 cm C2 cm D2.5 cm9如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，若OBC=45，则下列各式成立的是（ ）Ab +c1=0 Bb+c+1=0
4、 Cb c+1=0 Db c1=010二次函数 y=（x1） 2+5，当 mx n 且 mn0 时，y 的最小值为 2m，最大值为2n，则 m+n 的值为（ ）A B2 C D二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）11一元二次方程 x29=0 的解是 12篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打 36 场比赛，设一共有 x 个球队参赛，根据题意，所列方程为 13抛物线 y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，则当 y0 时，x 的取值范围是 14若二次函数 y=（k2）x 2+2x+1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是 15抛物线
5、 y= x2+mx+m+ 经过定点的坐标是 16从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度 h（米）与小球运动时间 t（秒）之间关系是 h=30t5t2（0t6 ） ，则小球从抛出后运动 4 秒共运动的路径长是 米三、解答题（共 8 题，共 72 分）17解方程：（1）x 26x+5=0（2）x（x 4）+5（x4）=018已知抛物线 y=ax2 经过点 A（2，8） （1）求 a 的值；（2）若点 P（m，6）在此抛物线上，求点 P 的坐标19已知函数 y= （x+1） 22（1）指出函数图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标为 （2）当 x 时，y 随 x 的增大而增大（3）怎样移动抛物
6、线 y= x2 就可以得到抛物线 y= （x+1） 2220已知关于 x 的一元二次方程 x2+（4m+1）x +2m1=0；（1）求证：不论 m 任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根为 x1、x 2 且满足 ，求 m 的值21 （9 分） （1）抛物线 y=ax2+c 经过点 A （4，0） 、点 B （1，3） ，求该抛物线的解析式（2）如图 1，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1m 处达到最高，高度为 3m，水柱落地处离池中心 3m，水管应多长？（3）如图 2，点 P（0，m 2）
7、（m0） ，在 y 轴正半轴上，过点 P 作平行于 x 轴的直线，分别交抛物线 C1：y= x2 于点 A、B ，交抛物线 C2：y= x2 于点 C、D ，求 的值22 （9 分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12m 的住房墙，另外三边用 25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 80m2？23 （10 分）某商品的进价为每件 40 元，现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300件市场调查反映：如果调查价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价1 元，每星期可多卖出 20
8、件（1）直接写出每周售出商品的利润 y（单位：元）与每件降价 x（单位：元）之间的函数关系式，直接写出自变量 x 的取值范围；（2）涨价多少元时，每周售出商品的利润为 2250 元；（3）直接写出使每周售出商品利润最大的商品的售价24 （12 分）已知，点 A（ 3， ） ，点 B（4，3）和抛物线 y= x2，将抛物线 y= x2 沿着 y 轴方向平移经过点 A（3， ）画出平移后的抛物线如图所示（1）平移后的抛物线是否经过点 B（4，3）？说明你的理由（2）在平移后的抛物线上且位于直线 AB 下方的图象上是否存在点 P，使 SPAB =7？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由
9、（3）在平移后的抛物线上有点 M，过点 M 作直线 y=2 的垂线，垂足为 N，连OM、ON当OMN=60时，求点 M 坐标2018-2019 学年湖北省武汉市硚口区九年级（上）月考数学试卷（10 月份）参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1将一元二次方程 3x2+1=6x 化为一般形式后，常数项为 1，二次项系数和一次项系数分别为（ ）A3 ， 6 B3，6 C3，1 D3x 2，6x【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a0） 在一般形式中 ax2 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项其中 a，b，c 分别
10、叫二次项系数，一次项系数，常数项【解答】解：一元二次方程 3x2+1=6x 化为一般形式是 3x26x+1=0，各项的系数分别是：3，6故选：A【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，解答本题要通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号的变化2若 x=2 是关于 x 的一元二次方程 x2mx+8=0 的一个解则 m 的值是（ ）A6 B5 C2 D6【分析】先把 x 的值代入方程即可得到一个关于 m 的方程，解一元一方程即可【解答】解：把 x=2 代入方程得：4 2m+8=0，解得 m=6故选：A【点评】本题考查了一元二次方程的解，此题比较简单，易于掌握3用配方法解方程 x2+10x+9=0，
11、配方后可得（ ）A （x +5） 2=16 B （x +5） 2=1C （ x+10） 2=91 D （x +10） 2=109【分析】方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可【解答】解：方程 x2+10x+9=0，整理得：x 2+10x=9，配方得：x 2+10x+25=16，即（x+5） 2=16，故选：A【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键4抛物线 y=（x1） 22 的顶点坐标是（ ）A （1 ，2 ） B （1， 2） C （1，2） D （1，2）【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可【解答】解：抛物线 y=（x1） 22 的顶点坐标是（1
12、，2） 故选：D【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键5某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共 31若设主干长出 x 个支干，则可列方程是（ ）A （1 +x） 2=31 B1+x +x2=31 C （1+x ）x=31 D1+x +2x=31【分析】由题意设主干长出 x 个支干，每个支干又长出 x 个小分支，则又长出 x2 个小分支，则共有 x2+x+1 个分支，即可列方程【解答】解：设主干长出 x 个支干，根据题意列方程得：x 2+x+1=31故选：B【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，
13、要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键6某校去年对实验器材的投资为 2 万元，预计今明两年的投资总额为 8 万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是 x，则可列方程为（ ）A2 （1 +x） 2=8 B2（1x） 2=8C 2+2（1+x）+2 （1+x ） 2=8 D2（1+x）+2（1+x） 2=8【分析】关键描述语是：“预计今明两年的投资总额为 8 万元”，等量关系为：今年的投资的总额+明年的投资总额=8，把相关数值代入即可【解答】解：设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率为 x，由题意得：2（1 +x）+2（1+x） 2
14、=8故选：D【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找到相关量的等量关系，注意预计明年的投资总额是在今年的投资总额的基础上增加的7已知点 A（3，y 1） ，B（ 1，y 2） ，C（2，y 3）在函数 y=x22x+b 的图象上，则y1、 y2、 y3 的大小关系为（ ）Ay 1y 3y 2 By 3y 1y 2 Cy 3y 2y 1 Dy 2y 1 y3【分析】根据二次函数图象具有对称性和二次函数图象上点的坐标特征，可以判断y1、 y2、 y3 的大小，从而可以解答本题【解答】解：y=x 22x+b，函数 y=x22x+b 的对称轴为直线 x=1，开口向下，当 x 1 时
15、，y 随 x 的增大而增大，当 x 1 时，y 随 x 的增大而减小，1 （ 3）=2，1（1）=0，2（ 1）=3 ，y 3y 1y 2，故选：B【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质，找出所求问题需要的条件8如图，要设计一幅宽 20cm，长 30cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为 2：1如果要使彩条所占面积是图案面积的 ，则竖彩条宽度为（ ）A1 cm B1.5 cm C2 cm D2.5 cm【分析】可设竖彩条的宽是 xcm，则横彩条的宽是 2xcm，根据彩条所占面积是图案面积的 ，可列方程求解【解答】解：设竖彩条的宽为 xcm，则
16、横彩条的宽为 2xcm，则（302x） （ 204x）=3020（1 ） ，整理得：x 220x+19=0，解得：x 1=1， x2=19（不合题意，舍去） 答：竖彩条的宽度为 1cm故选：A【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，设出横竖条的宽，以面积作为等量关系列方程求解9如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，若OBC=45，则下列各式成立的是（ ）Ab +c1=0 Bb+c+1=0 Cb c+1=0 Db c1=0【分析】根据OBC=45，有 OB=OC，可设点 C， B 的坐标为（0，c） ， （c，0） ，把点B（c， 0）代入二次函
17、数 y=x2+bx+c，得 c2+bc+c=0，从而求出关系式【解答】解：OBC=45，OB=OC，点 C，B 的坐标为（0，c ） ， （c，0） ；把点 B（c，0）代入二次函数 y=x2+bx+c，得 c2+bc+c=0，即 c（ c+b+1）=0，c0，b+c+ 1=0故选：B【点评】此题考查了抛物线与 x 轴的交点根据题意得到点 C、B 的坐标是解题的关键10二次函数 y=（x1） 2+5，当 mx n 且 mn0 时，y 的最小值为 2m，最大值为2n，则 m+n 的值为（ ）A B2 C D【分析】条件 mxn 和 mn0 可得 m0，n0所以 y 的最小值为 2m 为负数，最大
18、值为 2n 为正数最大值为 2n 分两种情况，（1）结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出 n=2.5，结合图象最小值只能由 x=m 时求出（2）结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由 x=n 求出，最小值只能由x=m 求出【解答】解：二次函数 y=（x1） 2+5 的大致图象如下：当 m0xn1 时，当 x=m 时 y 取最小值，即 2m=（m1） 2+5，解得：m=2当 x=n 时 y 取最大值，即 2n=（n 1） 2+5，解得：n=2 或 n=2（均不合题意，舍去） ；当 m0x1n 时，当 x=m 时 y 取最小值，即 2m=（m1） 2+5，解得：m=2当 x=1 时 y
19、取最大值，即 2n=（11） 2+5，解得：n= ，或 x=n 时 y 取最小值， x=1 时 y 取最大值，2m=（n1 ） 2+5，n= ，m= ，m0，此种情形不合题意，所以 m+n=2+ = 故选：D【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）11一元二次方程 x29=0 的解是 x 1=3，x 2=3 【分析】利用直接开平方法解方程得出即可【解答】解：x 29=0，x 2=9，解得：x 1=3， x2=3故答案为：x 1=3，x 2=3【点评】此题主要考查了直接开平方
20、法解方程，正确开平方是解题关键12篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打 36 场比赛，设一共有 x 个球队参赛，根据题意，所列方程为 x（x1）=36 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场） ，x 个球队比赛总场数为 ，即可列方程【解答】解：设一共有 x 个球队参赛，每个队都要赛（ x1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得： x（x1）=36，故答案为 x（x1）=36【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系13抛物线 y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，则当 y0 时，x 的取值范围是 1x3
21、【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（ 3，0） ，然后写出抛物线在 x 轴上方所对应的自变量的范围即可【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x=1，而抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（ 1，0） ，所以抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（ 3，0 ） ，所以当1x3 时，y0故答案为1x3【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴的交点坐标问题转化解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标也考查了二次函数的性质14若二次函数 y=（k2）x 2+2x+1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范
22、围是 k3 且k2 【分析】根据二次函数图象与 x 轴有交点可得出关于 x 的一元二次方程有解，根据根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于 k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论【解答】解：二次函数 y=（k2）x 2+2x+1 的图象与 x 轴有交点，一元二次方程（k2）x 2+2x+1=0 有解， ，解得：k3 且 k2故答案为：k3 且 k2【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式0 结合二次项系数非零找出关于 k 的一元一次不等式组是解题的关键15抛物线 y= x2+mx+m+ 经过定点的坐标是 （ 1，1） 【分析】由 y=
23、 x2+（x+1 ）m+ ，抛物线经过定点，可得 x+1=0，由此即可解决问题；【解答】解：y= x2+（x+1）m+ ，抛物线经过定点，x+1=0，x=1，y=1 ，定点坐标为（1，1） ，故答案为（1，1）【点评】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，定点问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型16从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度 h（米）与小球运动时间 t（秒）之间关系是 h=30t5t2（ 0t6 ） ，则小球从抛出后运动 4 秒共运动的路径长是 50 米【分析】根据题目中的函数解析式可以求得 h 的最大值，从而可以求得小球从抛出后运动 4 秒共运动
24、的路径长，本题得以解决【解答】解：h=30t5t 2=5（t3） 2+45（0t6） ，当 t=3 时，h 取得最大值，此时 h=45，小球从抛出后运动 4 秒共运动的路径长是：45+45（304 542）=50 （米） ，故答案为：50【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的总的路径的长三、解答题（共 8 题，共 72 分）17解方程：（1）x 26x+5=0（2）x（x 4）+5（x4）=0【分析】 （1）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：（1）x 26x+5=0，（x5）
25、 （x1）=0，x5=0， x1=0，x1=5，x 2=1；（2）x（x 4）+5（x4）=0，（x4） （x+5）=0，x4=0， x+5=0，x1=4，x 2=5【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等18已知抛物线 y=ax2 经过点 A（2，8） （1）求 a 的值；（2）若点 P（m，6）在此抛物线上，求点 P 的坐标【分析】 （1）把点 A（2，8）代入 y=ax2 求得 a 即可；（2）再把点 P（m，6）代入抛物线解析式中即可得出 m 的值，从而得出点 P 坐标【解答
26、】解：（1）把点 A（ 2，8）代入 y=ax2，得 4a=8，a=2；（2）把点 P（m，6）代入 y=2x2 中，得2m 2=6，m= ，P（ ，6） 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键19已知函数 y= （x+1） 22（1）指出函数图象的开口方向是 向下 ，对称轴是 直线 x=1 ，顶点坐标为 （1，2） （2）当 x 1 时，y 随 x 的增大而增大（3）怎样移动抛物线 y= x2 就可以得到抛物线 y= （x+1） 22【分析】 （1）根据题目中的函数解析式可以解答本题；（2）根据二次函数的性质可以解答本题；（3）根据平移的性质可
27、以解答本题【解答】解：（1）函数 y= （x+1） 22，该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线 x=1，顶点坐标是（1，2） ，故答案为：向下，直线 x=1， （1， 2） ；（2）函数 y= （x+1） 22，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，故答案为：x1；（3）将抛物线 y= x2 向左平移一个单位长度就可以得到抛物线 y= （x+1） 22【点评】本题考查二次函数的性质、图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答20已知关于 x 的一元二次方程 x2+（4m+1）x +2m1=0；（1）求证：不论 m 任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根为 x
28、1、x 2 且满足 ，求 m 的值【分析】 （1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明0 即可（2）因为 = = ，所以由根与系数的关系可得 = ，解方程可得 m的值【解答】解：（1）证明：=（4m+1） 24（2m1）=16m2+8m+18m+4=16m2+50，不论 m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根（2） ，即 = ，由根与系数的关系可得 = ，解得 m= ，经检验得出 m= 是原方程的根，即 m 的值为 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式的符号的关系，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题，体现了转化的数学思想21
29、 （9 分） （1）抛物线 y=ax2+c 经过点 A （4，0） 、点 B （1，3） ，求该抛物线的解析式（2）如图 1，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1m 处达到最高，高度为 3m，水柱落地处离池中心 3m，水管应多长？（3）如图 2，点 P（0，m 2） （m0） ，在 y 轴正半轴上，过点 P 作平行于 x 轴的直线，分别交抛物线 C1：y= x2 于点 A、B ，交抛物线 C2：y= x2 于点 C、D ，求 的值【分析】 （1）把点 A （4，0） 、点 B （1，3）代入 y=ax2+c，解
30、方程组即可得到结论；（2）设抛物线的解析式为 y=a（x 1） 2+3（0x 3） ，将（3，0）代入求得 a 值，则x=0 时得的 y 值即为水管的长；（3）把 P 点的纵坐标分别代入 C1、C 2 的解析式就可以 AB、CD 的值，就可以求出结论【解答】解：（1）把点 A （4，0） 、点 B （1，3）代入 y=ax2+c 得， ，解得： ，该抛物线的解析式为：y= x2 ；（2）由于在距池中心的水平距离为 1m 时达到最高，高度为 3m，则设抛物线的解析式为：y=a（x1） 2+3（0x3） ，代入（3，0）求得：a= 将 a 值代入得到抛物线的解析式为：y= （ x1） 2+3（0x
31、3） ，令 x=0，则 y= =2.25故水管长为 2.25m；（3）将点 P 的纵坐标 y=m2（m0）代入 y= x2 得 x=2m，A（2m，m 2） ，B（2m，m 2） ，AB=4m将 y=m2（m 0）代入：y= x2 得 x=3m，C （3m，m 2） ，D （3m ，m 2） ，CD=6m = = 【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键22 （9 分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12m 的住房墙，另外三边用 25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1m宽的门，所围矩
32、形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 80m2？【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为 xm 可以得出平行于墙的一边的长为（252x+1）m根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为 xm 可以得出平行于墙的一边的长为（252x+1）m，由题意得x（252x+1）=80，化简，得 x213x+40=0，解得：x 1=5， x2=8，当 x=5 时，262x=1612（舍去） ，当 x=8 时，262x=1012，答：所围矩形猪舍的长为 10m、宽为 8m【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，
33、解答时寻找题目的等量关系是关键23 （10 分）某商品的进价为每件 40 元，现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300件市场调查反映：如果调查价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价1 元，每星期可多卖出 20 件（1）直接写出每周售出商品的利润 y（单位：元）与每件降价 x（单位：元）之间的函数关系式，直接写出自变量 x 的取值范围；（2）涨价多少元时，每周售出商品的利润为 2250 元；（3）直接写出使每周售出商品利润最大的商品的售价【分析】 （1）根据涨价时，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件，可列出销售量的代数式，根据总利润=单件利润 销售量列出函数表达式即
34、可；（2）根据总利润=单件利润 销售量列方程解答即可；（3）根据降价和涨价的函数表达式，利用二次函数的性质解答【解答】解：（1）每降价 1 元，每星期要多卖出 20 件，每星期实际可卖出（300+20x）件，y=（6040x） （300+20x）=20x2+100x+6000；（0 x20） ；（2）设涨价 m 元时，每周售出商品的利润为 2250 元，由题意得， （60+m40） （300 10m）=2250 ，解得：m=25 或 m=15（不合题意，舍去） ；答：涨价 25 元时，每周售出商品的利润为 2250 元；（3）y= 20x2+100x+6000=10（x ） 2+6125在降价
35、的情况下，售价为 57.5 元每星期售出商品的最大利润是 6125 元设涨价 m 元时，每周售出商品的利润为 W 元，W=（60+m40） （300 10m）=10m 2+100m+6000=10（m5） 2+6250，在涨价的情况下，售价为 65 元每星期售出商品的最大利润是 62505 元综上所述：每周售出商品利润最大的商品的售价是 65 元【点评】本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，再配成抛物线的顶点式 y=a（xh ） 2+k，然后利用当 a0，x=h 时，y 有最大值 k；当a0，x=h 时，y 有最小值 k 等性质解决实际问题24 （12 分）已知，点 A（
36、3， ） ，点 B（4，3）和抛物线 y= x2，将抛物线 y= x2 沿着 y 轴方向平移经过点 A（3， ）画出平移后的抛物线如图所示（1）平移后的抛物线是否经过点 B（4，3）？说明你的理由（2）在平移后的抛物线上且位于直线 AB 下方的图象上是否存在点 P，使 SPAB =7？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）在平移后的抛物线上有点 M，过点 M 作直线 y=2 的垂线，垂足为 N，连OM、ON当 OMN=60时，求点 M 坐标【分析】 （1）直接利用二次函数平移的性质假设出解析式，进而将 A 点代入求出 m 的值进而得出答案；（2）首先求出直线 AB 的解析式，
37、进而表示出 PAB 的面积，进而求出 t 的值，即可得出答案；（3）首先表示出 ON，NM 的长，进而得出OMN 为等边三角形，再利用 M 点坐标得出 t 的值，进而得出答案【解答】解：（1）设平移后的抛物线的解析式为 y= x2m，将 A（3 ， ）代入 y= x2m，得 m=1则 y= x21，当 x=4 时，y=3，故平移后的抛物线经过点（4，3） ；（2）设直线 AB 的解析式为： y=kx+b，把点 A（3 ， ） ，点 B（4，3）代入得：，解得： ，故直线 AB 的解析式为：y= x+2，设 P（ t， t21）如图 1，过点 P 作 PQy 轴交 AB 于 Q，Q （ t， t
38、+2）S PAB = t+2（ t21）（4+3）=7，解得：t= ，故 （ ） 21= ， （ ） 21= ，则 P（ ， ）或（ ， ） ；（3）如图 2，设 M（a ， a21）则 OM2=a2+（ a21） 2=（ a21） 2，MN 2=（ a21+2） 2=（ a2+1） 2OM=MNOMN=60OMN 为等边三角形，则MOF=30 ，当 OF=a，则 MF= a，可得 M（a， a） ，故 a= a21，解得：a 1=2 ，a 2= ，则 a=2 或M（ 2 ，2）或（ ， ） 【点评】此题主要考查了二次函数综合以及等边三角形的判定以及待定系数法解析式等知识，正确表示出 M 点坐标是解题关键
