1、2021 年湖北省武汉市武昌区中考数学质检试卷（年湖北省武汉市武昌区中考数学质检试卷（3 月份）月份） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1实数2 的相反数是（ ） A2 B2 C D 2若分式在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 3下列事件为必然事件的是（ ） A袋中有 4 个蓝球，2 个绿球，共 6 个球，随机摸出一个球是红球 B三角形的内角和为 180 C打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告 D抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上 4图中阴影部分是由 4
2、 个完全相同的的正方形拼接而成，若要在，四个区域中的某个区域 处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在 （ ） A区域处 B区域处 C区域处 D区域处 5下列各选项中的两个图形不是位似图形的是（ ） A B C D 6程大位直指算法统宗 ：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意 思是：有 100 个和尚分 100 个馒头，如果大和尚 1 人分 3 个，小和尚 3 人分 1 个，正好分完，试问大、 小和尚各多少人？设大和尚有 x 人，小和尚有 y 人，依题意列方程组正确的是（ ） A B C D 7一个不透明的口袋中有四
3、个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4若一次性摸出两个球，则 一次性取出的两个小球标号的和不小于 4 的概率是（ ） A B C D 8如图，某电信公司提供了 A，B 两种方案的移动通讯费用 y（元）与通话时间 x（元）之间的关系，则下 列结论中正确的有（ ） （1）若通话时间少于 120 分，则 A 方案比 B 方案便宜 20 元； （2）若通话时间超过 200 分，则 B 方案比 A 方案便宜 12 元； （3）若通讯费用为 60 元，则 B 方案比 A 方案的通话时间多； （4）若两种方案通讯费用相差 10 元，则通话时间是 145 分或 185 分 A1 个 B2 个 C3
4、 个 D4 个 9如图，在O 中 AB 为直径，C 为弧 AB 的中点，EFAB，连接 AC 交 EF 于点 D，若已知 DF2DE， 则 CD：AD 的值为（ ） A1：3 B1：2 C1：2 D1：4 10如图，ABC 中，P1、Q1分别是 A1B1、A1C1上点，P1Q1B1C1，且平分A1B1C1的面积；如图， P1Q1P2Q2B2C2，且将A2B2C2面积三等分；如图，P1Q1P2Q2P3Q3B3C3，且将A3B3C3面 积四等分，如此继续下去，在A9B9C9中，的值为（ ） A3+2 B32 C+3 D3 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，
5、共分，共 18 分）分） 11计算：的结果是 12某小组组长统计了该组 10 名同学每周在家帮助做家务的平均时间（单位：时） ，并制成了以下表格： 则这 10 名同学在家做家务的平均时间的中位数是 平均做家务时间（时） 0.5 1 1.5 2 2.5 人数 3 3 2 1 1 13计算+的结果为 14 如图， 将菱形 ABCD 折叠， 使点 B 落在 AD 边的点 F 处， 折痕为 CE 若D70， 则AEF 15二次函数 yax2+bx+c 的部分图象如图所示，对称轴为，与 x 轴负半轴交点在（4，0）与（ 3，0）之间，以下结论：3ab0；b24ac0；5a2b+c0；4b+3c0其中一定
6、正确的 （序号）是 16如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，M 为 AB 上一点，且 BM2，N 为边 BC 上一动点，连接 MN， 点 B 关于 MN 对称，对应点为 P，连接 PA，PC，则 PA+2PC 的最小值为 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 小题，满分小题，满分 72 分）分） 17 （8 分）计算： （2x2）3+4x2x4+5x9x3 18 （8 分）如图，ABCD，ADCABC求证：EF 19 （8 分）某区对即将参加中考的 5000 名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数 分布直方图的一部分，请根据图表信息回答下列问题： （1）本次调查
7、的样本容量为 （2）在频数分布表中，a ，b ，并将频数分布直方图补充完整； （3）若视力在 4.6 以上（含 4.6）均属正常，根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多 少人？ 视力 频数（人） 频率 4.0 x4.3 20 0.1 4.3x4.6 40 0.2 4.6x4.9 70 0.35 4.9x5.2 a 0.3 5.2x5.5 10 b 20 （8 分）如图是由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点 A、B、C、D 都在格点上 （1）在图 1 中，PC：PB （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法 如图 2，在 AB 上找点 P，使得 AP：PB1：3；
8、 如图 3，在ABC 中内找一点 G，连接 GA、GB、GC，将ABC 分成面积相等的三部分； 如图 4，在ABC 中，AB 与网格线的交点为 D，画点 E，使 DEAC 21 （8 分）直线 l 与O 相离，OBl 于点 B，且 OB5，OB 与O 交于点 P，A 为圆上一点，AP 的延长 线交直线 l 于点 C，且 ABBC （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若O 的半径为 3，求线段 AP 的长 22 （10 分）三月是柑橘大量上市的季节，某果农在销售时发现：柑橘若售价为 5 元/千克，日销售量为 34 千克，若售价每提高 1 元/千克，日销售量就减少 2 千克，现设柑橘售价为 x
9、 元/千克（x5，且 x 为正整 数） （1）若某日销售量为 24 千克，则该日柑橘的单价为 元； （2）若政府将销售价格定为不超过 15 元/千克，设每日销售额为 W 元，求 W 关于 x 的函数表达式，并 求 W 的最大值和最小值； （3） 为更好地促进果农的种植积极性， 市政府加大对果农的补贴， 每日给果农补贴 a 元后 （a 为正整数） ， 果农发现最大日收入（日收入销售额+政府补贴）还是不超过 350 元，并且只有 5 种不同的单价使日收 入不少于 340 元，请直接写出所有符合题意的 a 的值： 23 （10 分） 【问题背景】如图 1，在ABC 中，点 D 在边 BC 上且满足B
10、ADACB，求证：BA2BD BC； 【尝试应用】如图 2，在ABC 中，点 D 在边 BC 上且满足BADACB，点 E 在边 AB 上，点 G 在 AB 的延长线上，延长 ED 交 CG 于点 F，若 3AD2AC，BEED，BG2，DF1，求 BE 的长度； 【拓展创新】如图 3，在ABC 中，点 D 在边 BC 上（ABAD）且满足ACB2BAD，DHAB 垂 足为 H，若，请直接写出的值 24 （12 分）如图 1，抛物线 yx2+（m2）x2m（m0）与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左边） ，与 y 轴交于点 C连接 AC、BC，D 为抛物线上一动点（D 在 B、C 两点
11、之间） ，OD 交 BC 于 E 点 （1）若ABC 的面积为 8，求 m 的值； （2）在（1）的条件下，求的最大值； （3）如图 2，直线 ykx+b 与抛物线交于 M、N 两点（M 不与 A 重合，M 在 N 左边） ，连 MA，作 NH x 轴于 H，过点 H 作 HPMA 交 y 轴于点 P，PH 交 MN 于点 Q，求点 Q 的横坐标 2021 年湖北省武汉市武昌区中考数学质检试卷（年湖北省武汉市武昌区中考数学质检试卷（3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1实
12、数2 的相反数是（ ） A2 B2 C D 【分析】由相反数的定义可知：2 的相反数是 2 【解答】解：实数2 的相反数是 2， 故选：A 2若分式在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 【分析】直接利用分式有意义的条件得出 x 的取值范围 【解答】解：若分式在实数范围内有意义，则 x+10， 解得：x1 故选：B 3下列事件为必然事件的是（ ） A袋中有 4 个蓝球，2 个绿球，共 6 个球，随机摸出一个球是红球 B三角形的内角和为 180 C打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告 D抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上 【分析】
13、一定会发生的事情称为必然事件依据定义即可解答 【解答】解：A袋中有 4 个蓝球，2 个绿球，共 6 个球，随机摸出一个球是红球是不可能事件； B三角形的内角和为 180是必然事件； C打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告是随机事件； D抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上是随机事件； 故选：B 4图中阴影部分是由 4 个完全相同的的正方形拼接而成，若要在，四个区域中的某个区域 处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在 （ ） A区域处 B区域处 C区域处 D区域处 【分析】根据中心对称图形的概念解答 【解答】解：在，四个区域中
14、的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组 成的新图形是中心对称图形， 这个正方形应该添加区域处， 故选：B 5下列各选项中的两个图形不是位似图形的是（ ） A B C D 【分析】根据位似图形的概念判断即可 【解答】解：A、图中两个图形符合位似图形的定义，是位似图形，不符合题意； B、图中两个图形符合位似图形的定义，是位似图形，不符合题意； C、图中两个图形符合位似图形的定义，是位似图形，不符合题意； D、图中两个图形对应边不平行，不符合位似图形的定义，不是位似图形，符合题意； 故选：D 6程大位直指算法统宗 ：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意 思是
15、：有 100 个和尚分 100 个馒头，如果大和尚 1 人分 3 个，小和尚 3 人分 1 个，正好分完，试问大、 小和尚各多少人？设大和尚有 x 人，小和尚有 y 人，依题意列方程组正确的是（ ） A B C D 【分析】由大小和尚共 100 人，可得出方程 x+y100，由“大和尚 1 人分 3 个，小和尚 3 人分 1 个，且 正好分完 100 个馒头” ，可得出方程 3x+y100，联立两方程即可得出结论 【解答】解：依题意得： 故选：D 7一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4若一次性摸出两个球，则 一次性取出的两个小球标号的和不小于 4 的概率是（
16、 ） A B C D 【分析】画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，找出一次性取出的两个小球标号的和不小于 4 的结果 数，然后根据概率公式求解 【解答】解：画树状图为： 共有 6 种等可能的结果数，其中一次性取出的两个小球标号的和不小于 4 的结果数为 5， 所以一次性取出的两个小球标号的和不小于 4 的概率 故选：D 8如图，某电信公司提供了 A，B 两种方案的移动通讯费用 y（元）与通话时间 x（元）之间的关系，则下 列结论中正确的有（ ） （1）若通话时间少于 120 分，则 A 方案比 B 方案便宜 20 元； （2）若通话时间超过 200 分，则 B 方案比 A 方案便宜 12
17、元； （3）若通讯费用为 60 元，则 B 方案比 A 方案的通话时间多； （4）若两种方案通讯费用相差 10 元，则通话时间是 145 分或 185 分 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据图象知道：在通话 170 分钟收费一样，在通话 120 时 A 收费 30 元，B 收费 50 元，其中 A 超过 120 分钟后每分钟加收 0.4 元，B 超过 200 分钟加收每分钟 0.4 元，由此即可确定有几个正确 【解答】解：依题意得 A： （1）当 0 x120，yA30， （2）当 x120，yA30+（x120）（5030）（170120）0.4x18； B： （1）当 0
18、 x200，yB50， 当 x200，yB50+（7050）（250200）（x200）0.4x30， 所以当 x120 时，A 方案比 B 方案便宜 20 元，故（1）正确； 当 x200 时，B 方案比 A 方案便宜 12 元，故（2）正确； 当 y60 时，A：600.4x18，x195， B：600.4x30，x225，故（3）正确； 当 B 方案为 50 元，A 方案是 40 元或者 60 元时，两种方案通讯费用相差 10 元， 将 yA40 或 60 代入，得 x145 分或 195 分，故（4）错误； 故选：C 9如图，在O 中 AB 为直径，C 为弧 AB 的中点，EFAB，连
19、接 AC 交 EF 于点 D，若已知 DF2DE， 则 CD：AD 的值为（ ） A1：3 B1：2 C1：2 D1：4 【分析】连接 CO 交 EF 于 H，连接 AE，CF，设 DEx，DF2x，可得 EF3x，由等腰直角三角形的 性质可求 CD 的长，通过证明ADEFDC，可求 AD 的长，即可求解 【解答】解：如图，连接 CO 交 EF 于 H，连接 AE，CF， DF2DE， 设 DEx，DF2x， EF3x， C 为弧 AB 的中点， OCAB，CABCBA45， EFAB， OCEF，CDH45， EHHFx， DHxCH， CDx， EADCFD，ADECDF， ADEFDC，
20、 ， AD2x， CD：AD1：4， 故选：D 10如图，ABC 中，P1、Q1分别是 A1B1、A1C1上点，P1Q1B1C1，且平分A1B1C1的面积；如图， P1Q1P2Q2B2C2，且将A2B2C2面积三等分；如图，P1Q1P2Q2P3Q3B3C3，且将A3B3C3面 积四等分，如此继续下去，在A9B9C9中，的值为（ ） A3+2 B32 C+3 D3 【分析】由相似三角形的性质可求 A9P1A9B9，A9P9A9B9，即可求解 【解答】解：P1Q1P9Q9B9C9， A9P1Q1A9B9C9，A9P9Q9A9B9C9， （）2，（）2， A9P1A9B9，A9P9A9B9， B9P
21、9A9B9， 3+2， 故选：A 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11计算：的结果是 2 【分析】直接利用立方根定义计算即可 【解答】解：的结果是2 故答案为：2 12某小组组长统计了该组 10 名同学每周在家帮助做家务的平均时间（单位：时） ，并制成了以下表格： 则这 10 名同学在家做家务的平均时间的中位数是 1 时 平均做家务时间（时） 0.5 1 1.5 2 2.5 人数 3 3 2 1 1 【分析】根据中位数的定义求解即可 【解答】解：这 10 名同学在家做家务的平均时间的中位数是1（时） ， 故答案为：1 时 1
22、3计算+的结果为 2 【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案 【解答】解：原式 2 故答案为：2 14 如图， 将菱形 ABCD 折叠， 使点 B 落在 AD 边的点 F 处， 折痕为 CE 若D70， 则AEF 30 【分析】由菱形的性质可得B70，A110，由折叠的性质可得BEFC70，CFCD， 由平角的性质和三角形内角和定理可求解 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，D70， B70，A110， 将菱形 ABCD 折叠，使点 B 落在 AD 边的点 F 处， BEFC70，CFCD， CFDD70， AFE180707040， AEF180AAFE30， 故答案为：30 15
23、二次函数 yax2+bx+c 的部分图象如图所示，对称轴为，与 x 轴负半轴交点在（4，0）与（ 3，0）之间，以下结论：3ab0；b24ac0；5a2b+c0；4b+3c0其中一定正确的 （序号）是 【分析】根据对称轴即可判断；根据抛物线与 x 轴的交点即可判断；根据 x3 和 x1 时的函 数值即可判断；由图象可知，x1 时 y0，且 b3a，即可得到 a+b+cb+b+cb+c0，即可判 断 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x， 3ab0，所以正确； 抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0，所以正确； 由图象可知，当 x3 时 y9a3b+c0，当 x1 时，yab+c0， 10a
24、4b+2c0， 5a2b+c0，所以正确； 由图象可知，x1 时 y0，且 b3a， 即 a+b+cb+b+cb+c0， 即 4b+3c0，故错误； 故答案为 16如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，M 为 AB 上一点，且 BM2，N 为边 BC 上一动点，连接 MN， 点 B 关于 MN 对称，对应点为 P，连接 PA，PC，则 PA+2PC 的最小值为 6 【分析】由折叠可知点 P 在以 M 为圆心，BM 为半径的圆上，以 B 点为原点，BA 所在直线为 y 轴，BC 所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 通过计算得出， 再根据PA+2PC2 （） 2 （PC+PE） 2CE 即可
25、得到答案 【解答】解：B、P 关于 MN 对称，BM2， PM2， 如图所示，则点 P 在以 M 为圆心，BM 为半径的圆上， 设M 与 AB 的另一个交点为 F，FM 的中点为 E， BE3， 以 B 点为原点，BA 所在直线为 y 轴，BC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系， 设 P（x，y） ， M（0，2） ， PM2x2+（y2）2， 又PM2， x2+（y2）222， 化简得：x2+y24y， 又E（0，3） ，A（0，6） ， ， 又x2+y24y， ， ， PA+2PC2（）2（PC+PE）2CE， 如图所示，当且仅当 P、C、E 三点共线时取得最小值 2CE， CE， P
26、A+2PC 的最小值为 6 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 小题，满分小题，满分 72 分）分） 17 （8 分）计算： （2x2）3+4x2x4+5x9x3 【分析】先计算单项式乘方、单项式乘单项式、单项式除以单项式，再合并同类项即可 【解答】解：原式8x6+4x6+5x6 x6 18 （8 分）如图，ABCD，ADCABC求证：EF 【分析】直接利用平行线的性质得出ABCDCF，再利用已知得出EF 【解答】证明：ABCD， ABCDCF 又ADCABC ADCDCF DEBF EF 19 （8 分）某区对即将参加中考的 5000 名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布
27、表和频数 分布直方图的一部分，请根据图表信息回答下列问题： （1）本次调查的样本容量为 200 （2）在频数分布表中，a 60 ，b 0.05 ，并将频数分布直方图补充完整； （3）若视力在 4.6 以上（含 4.6）均属正常，根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多 少人？ 视力 频数（人） 频率 4.0 x4.3 20 0.1 4.3x4.6 40 0.2 4.6x4.9 70 0.35 4.9x5.2 a 0.3 5.2x5.5 10 b 【分析】 （1）用第 1 组的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量； （2）用样本容量乘以 0.3 得到 a 的值，用 10 除以 10
28、得到 b 的值； （3）用样本值后面三组的频率和乘以 5000 可估计全区初中毕业生中视力正常的学生数 【解答】解： （1）200.1200（人） ， 所以本次调查的样本为 200 名初中毕业生的视力情况，样本容量为 200； 故答案为：200 （2）a2000.360，b102000.05； 补全图形如下： 故答案为：60，0.05； （3）5000（0.35+0.3+0.05）3500（人） ， 答：估计全区初中毕业生中视力正常的学生有 3500 人 20 （8 分）如图是由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点 A、B、C、D 都在格点上 （1）在图 1 中，PC：PB 1：2 （2
29、）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法 如图 2，在 AB 上找点 P，使得 AP：PB1：3； 如图 3，在ABC 中内找一点 G，连接 GA、GB、GC，将ABC 分成面积相等的三部分； 如图 4，在ABC 中，AB 与网格线的交点为 D，画点 E，使 DEAC 【分析】 （1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可 （2）取格点 M，N，连接 MN 交 AB 于点 P，点 P 即为所求作 取格点 T，K，连接 TK 交网格线于点 G，连接 AG，BG，CG 即可 取格点 P，Q，连接 PQ 交网格线于 R，连接 DR 交 AC 于点 E，直线 DE 即为所求作 【解答】解： （
30、1）如图 1 中，ABCD， PC：PBCD：AB1：2， 故答案为：1：2 （2）如图，点 P 即为所求作 如图，点 G 即为所求作 如图，直线 DE 即为所求作 21 （8 分）直线 l 与O 相离，OBl 于点 B，且 OB5，OB 与O 交于点 P，A 为圆上一点，AP 的延长 线交直线 l 于点 C，且 ABBC （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若O 的半径为 3，求线段 AP 的长 【分析】 （1）连接 OA，如图，利用等腰三角形的性质和角的等量代换证明BAC+OAP90，即 OAB90，然后根据切线的判定方法得到 AB 与O 相切； （2）连接 AO 并延长交O 于 D，
31、连接 PD，根据勾股定理求出 BC，PC，证明DAPCPB，根据相 似三角形的性质列出比例式，计算即可得出答案 【解答】证明： （1）连接 OA， OAOP， OPAOAPBPC， ABBC， BACACB， OBl， ACB+BPC90， BAC+OAP90， 即 OAAB， AB 与O 相切； （2）解：如图，连接 AO 并延长交O 于 D，连接 PD， 则APD90， OB5，OP3， PB2， BCAB4， 在 RtPBC 中，PC2， DAPCPB，APDPBC90， DAPCPB， ，即， 解得，AP 22 （10 分）三月是柑橘大量上市的季节，某果农在销售时发现：柑橘若售价为 5
32、 元/千克，日销售量为 34 千克，若售价每提高 1 元/千克，日销售量就减少 2 千克，现设柑橘售价为 x 元/千克（x5，且 x 为正整 数） （1）若某日销售量为 24 千克，则该日柑橘的单价为 10 元； （2）若政府将销售价格定为不超过 15 元/千克，设每日销售额为 W 元，求 W 关于 x 的函数表达式，并 求 W 的最大值和最小值； （3） 为更好地促进果农的种植积极性， 市政府加大对果农的补贴， 每日给果农补贴 a 元后 （a 为正整数） ， 果农发现最大日收入（日收入销售额+政府补贴）还是不超过 350 元，并且只有 5 种不同的单价使日收 入不少于 340 元，请直接写出
33、所有符合题意的 a 的值： 106，107，108 【分析】 （1）根据售价每提高 1 元/千克，日销售量就减少 2 千克，且某日销售量为 24 千克，列方程可 解答； （2）根据题意，利用销售额等于销售量乘以销售单价，列出函数关系式，根据二次函数的性质及配方法 可求得答案； （3）由题意得：3402x2+44x+a350，由二次函数的对称性可知 x 的取值为 9，10，11，12，13，从 而计算可得 a 值 【解答】解： （1）根据题意得：342（x5）24， 解得：x10， 故答案为：10； （2）根据题意得： Wx342（x5） 2x2+44x 2（x222x+121121） 2（x1
34、1）2+242， 由题意得：5x15，且 x 为正整数， 20， x11 时，W 有最大值是 242 元， x5 时，W 有最小值是2（511）2+242170 元； 则 W 关于 x 的函数表达式为：w2x2+44x（5x15，且 x 为正整数） ； （3）由题意得：3402x2+44x+a350， 只有 5 种不同的单价使日收入不少于 340 元，5 为奇数， 由二次函数的对称性可知，x 的取值为 9，10，11，12，13； 当 x9 或 13 时，2x2+44x234， 当 x10 或 12 时，2x2+44x240， 当 x11 时，2x2+44x242， 补贴后不超过 350 元，
35、234+106340，242+108350， 当 a106 或 107 或 108 时符合题意 故答案为：106，107，108 23 （10 分） 【问题背景】如图 1，在ABC 中，点 D 在边 BC 上且满足BADACB，求证：BA2BD BC； 【尝试应用】如图 2，在ABC 中，点 D 在边 BC 上且满足BADACB，点 E 在边 AB 上，点 G 在 AB 的延长线上，延长 ED 交 CG 于点 F，若 3AD2AC，BEED，BG2，DF1，求 BE 的长度； 【拓展创新】如图 3，在ABC 中，点 D 在边 BC 上（ABAD）且满足ACB2BAD，DHAB 垂 足为 H，若
36、，请直接写出的值 【分析】 【问题背景】根据题意得出ABCDBA，然后根据相似三角形对应边成比例的性质即可得出 结论； 【尝试应用】根据相似三角形的性质解答即可； 【拓展创新】根据相似三角形的性质和三角函数解答即可 【解答】解： 【问题背景】在ABC 与DBA 中， BB，BADC， ABCDBA， ， AB2BDBC； 【尝试应用】由问题背景得，ABCDBA，BEED，3AD2AC，BG2，DF1， ， BEED； 【拓展创新】ACB2BAD， sinACBsin2BAD， sinACB2sin1BADcosBAD， ， AB2AH， ， ， 故答案为： 24 （12 分）如图 1，抛物线
37、yx2+（m2）x2m（m0）与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左边） ，与 y 轴交于点 C连接 AC、BC，D 为抛物线上一动点（D 在 B、C 两点之间） ，OD 交 BC 于 E 点 （1）若ABC 的面积为 8，求 m 的值； （2）在（1）的条件下，求的最大值； （3）如图 2，直线 ykx+b 与抛物线交于 M、N 两点（M 不与 A 重合，M 在 N 左边） ，连 MA，作 NH x 轴于 H，过点 H 作 HPMA 交 y 轴于点 P，PH 交 MN 于点 Q，求点 Q 的横坐标 【分析】 （1）将 A、B、C 三点坐标表示为线段长，OAm，OB2，OC2m，然后根据
38、面积公式建立 关于 m 的方程，解方程即可； （2）过点 D 作 DFOC，可以通过平行构造八字型的相似关系，将 DE 与 OE 的比转换为 DF 与 OC 的 比，OC 为定值，所以设点 D 坐标，表示 DF 线段长度，从而得到表示线段长度之比的二次函数关系式， 转换成顶点式，则的最大值可求； （3）分析条件 AMPH 可知应有等角，所以从 M、Q 向 x 轴作垂直，构造相似，利用直线解析式设 M、 N、Q 三点坐标，将直线与抛物线解析式联立，用韦达定理表示 x1+x2，x1x2，根据相似关系建立参数方 程，因式分解讨论取值 【解答】解： （1）yx2+（m2）x2m（x+m） （x2） 令
39、 y0，则（x+m） （x2）0，解得 x1m，x22 A（m，0） 、B（2，0） 令 x0，则 y2m C（0，2m） AB2+m，OC2m SABC（2+m）2m8，解得 m12，m24 m0 m2 （2）如图 1，过点 D 作 DFy 轴交 BC 于 F 由（1）可知：m2 抛物线的解析式为 yx24 B（2，0） 、C（0，4） 直线 BC 的解析式为 y2x4 设 D（t，t24） ，则 F（t，2t4） DF2t4（t24）t2+2t，OC4 DFy 轴 当 t1 时， ，此时 D（1，3） （3）设 M（x1，kx1+b） 、N（x2，kx2+b） 联立，整理得 x2+（m2k）x2mb0 x1+x22+km，x1x22mb 设点 Q 的横坐标为 n，则 Q（n，kn+b） MAPH 如图 2，过点 M 作 MKx 轴于 K，过点 Q 作 QLx 轴于 L MKAQLH 即，整理得 kx1x2+b（x1+x2）+kmn+bmbn0 k（2mb）+b（2+km）+kmn+bmbn0 （kmb） （n2）0 当 kmb0，此时直线为 yk（x+m） ，过点 A（m，0） ，不符合题意 当 n20，此时 n2，Q 点的横坐标为 2
