1、2020 年福建省泉州丰泽区二校联考中考数学质检试卷（三）年福建省泉州丰泽区二校联考中考数学质检试卷（三） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）如果 a（99）0，b（0.1） 1，c ，那么 a、b、c 的大小关系为 （ ） Aabc Bcab Cacb Dcba 2 （4 分）下列命题中是假命题的是（ ） A多边形的外角和等于 360 B直角三角形的外角中可以有锐角 C三角形两边之差小于第三边 D如果两个角大小相等，且它们的和等于平角，那么这两个角都是直角 3 （4 分）正方体的六个面分别标有 1，2，3
2、，4，5，6 六个数字，如图是其三种不同的放 置方式，与数字“2”相对的面上的数字是（ ） A1 B3 C4 D5 4（4分） 若二次函数yx2mx的对称轴是x3， 则关于x的方程x2+mx7的解是 （ ） Ax10，x26 Bx11，x27 Cx11，x27 Dx11，x27 5 （4 分）将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可 能是（ ） A360 B540 C720 D900 6 （4 分）一次智力测验，有 20 道选择题评分标准是：对 1 题给 5 分，错 1 题扣 2 分， 不答题不给分也不扣分，小明有两道题未答，至少答对几道题，总分才不会低于 60
3、分， 则小明至少答对的题数是（ ） A14 道 B13 道 C12 道 D11 道 7 （4 分）设一元二次方程（x2） （x3）p20 的两实根分别为 、（） ，则 、 满足（ ） A23 B2 且 3 C23 D2 且 3 8 （4 分）五张如图所示的长为 a，宽为 b（ab）的小长方形纸片，按如图的方式不重叠 地放在矩形 ABCD 中，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示设左上角与右下角的 阴影部分的面积的差为 S， 当 BC 的长度变化时， 按照同样的放置方式， S 始终保持不变， 则 a，b 满足的关系式为（ ） Aa2b Ba3b C3a2b D2a3b+1 9 （4 分）如图，抛
4、物线 y2x2+8x6 与 x 轴交于点 A、B，把抛物线在 x 轴及其上方的 部分记作 C1，将 C1向右平移得 C2，C2与 x 轴交于点 B，D若直线 yx+m 与 C1、C2 共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围是（ ） A2m B3m C3m2 D3m 10 （4 分）如图，AB 是O 的直径，M、N 是（异于 A、B）上两点，C 是上一动点， ACB 的角平分线交O 于点 D，BAC 的平分线交 CD 于点 E当点 C 从点 M 运动到 点 N 时，则 C、E 两点的运动路径长的比是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题
5、 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）分解因式：x3x 12 （4 分）小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区 50 户 家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这 50 户家庭各类生活垃圾的投放总量是 100 千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示） ，根据以上信息， 估计该小区 300 户居民这一天投放的可回收垃圾共约 千克 13 （4 分） 平面直角坐标系中， 已知ABCD 的三个顶点坐标分别是 A （m， n） ， B （2， 1） ， C（m，n） ，则点 D 的坐标是 14 （4 分）如图，在扇形 OEF 中，EOF90，半
6、径为 2，正方形 ABCD 的顶点 C 是 的中点，点 D 在 OF 上，点 A 在 OF 的延长线上，则图中阴影部分的面积为 15 （4 分）如图，过点 C（3，4）的直线 y2x+b 交 x 轴于点 A，ABC90，ABCB， 曲线 y（x0）过点 B，将点 A 沿 y 轴正方向平移 a 个单位长度恰好落在该曲线上， 则 a 的值为 16 （4 分）如图，菱形 ABCD 的顶点 B、C 在 x 轴上（B 在 C 的左侧） ，顶点 A、D 在 x 轴 上方，对角线 BD 的长是，点 E（2，0）为 BC 的中点，点 P 在菱形 ABCD 的边 上运动，当点 F（0，6）到 EP 所在直线的距
7、离取得最大值时，点 P 恰好落在 AB 的中点 处，则菱形 ABCD 的边长等于 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，小题，8+8+8+8+8+10+10+12+1486，共，共 86 分）分） 17 （8 分）解不等式组，并将解集表示在数轴上 18 （8 分）先化简，再求值，其中 x3 19 （8 分）已知：如图，E、F 是ABCD 的对角线 AC 上的两点，CEAF请你猜想：线 段 BE 与线段 DF 有怎样的关系？并对你的猜想加以证明 20 （8 分）已知边长为 a 的正方形 ABCD 和O45 （1）以O 为一个内角作菱形 OPMN，使 OPa； （要求：尺规作图，不写
8、作法，保留 作图痕迹） （2）设正方形 ABCD 的面积为 S1，菱形 OPMN 的面积为 S2，求的值 21（8 分） 如图， 已知ABC 中， ABAC， 把ABC 绕 A 点沿顺时针方向旋转得到ADE， 连接 BD，CE 交于点 F （1）求证：AECADB； （2）若 AB2，BAC45，当四边形 ADFC 是菱形时，求 BF 的长 22 （10 分）小军的爸爸和小慧的爸爸都是出租车司机，他们在每天的白天、夜间都要到同 一加油站各加一次油白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格 如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军的爸爸不论是白天还是夜间每次总是加 60L 油，小
9、慧的爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花 300 元钱加油假设某天白天油 的价格为每升 a 元，夜间油的价格为每升 b 元 问： （1）小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价各是多少？ （2）谁的加油方式更合算？请你通过数学运算，给以解释说明 23 （10 分）由于空气污染严重，某工厂生产了两种供人们外出时便于携带的呼吸装置，其 质量按测试指标划分：指标大于等于 88 为优质产品，现随机抽取这两种装置各 100 件进 行检测，检测结果統计如表： 测试指标分组 70，76） 76，82） 82，88） 88，94） 94，100 频数 装置甲 8 12 40 32 8 装置乙 7 18 40
10、29 6 （1）试分别估计装置甲、装置乙为优质品的概率； （2）设该厂生产一件产品的利润率 y 与其质量指标的关系式为，根 据以上统计数据，估计生产一件装置乙的利润率大于 0 的概率，若投资 100 万生产装置 乙，请估计该厂获得的平均利润； （3）若投资 100 万，生产装置甲或装置乙中的一种，请分析生产哪种装置获得的利润较 大？ 24 （12 分）如图，AD 是O 的切线，切点为 A，AB 是O 的弦，过点 B 作 BCAD，交 O 于点 C，连接 AC，过点 C 作 CDAB，交 AD 于点 D，连接 AO 并延长交 BC 于点 M，交过点 C 的直线于点 P，且BCPACD （1）求证
11、：BAPCAP； （2）判断直线 PC 与O 的位置关系，并说明理由； （3）若 AB5，BC10，求 PC 的长 25 （14 分）已知二次函数 yax2+bx+t1，t0 （1）当 t2 时， 若二次函数图象经过点（1，4） ， （1，0） ，求 a，b 的值； 若 2ab1，对于任意不为零的实数 a，是否存在一条直线 ykx+p（k0） ，始终与 二次函数图象交于不同的两点？若存在， 求出该直线的表达式； 若不存在， 请说明理由； （2）若点 A（1，t） ，B（m，tn） （m0，n0）是二次函数图象上的两点，且 S AOB n2t，当1xm 时，点 A 是该函数图象的最高点，求 a
12、的取值范围 2020 年福建省泉州丰泽区二校联考中考数学质检试卷（三）年福建省泉州丰泽区二校联考中考数学质检试卷（三） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）如果 a（99）0，b（0.1） 1，c ，那么 a、b、c 的大小关系为 （ ） Aabc Bcab Cacb Dcba 【分析】根据零次幂、负整数指数幂的计算方法进行计算后，再比较大小即可 【解答】解：a（99）01， b（0.1） 110， c9， 所以 cab， 故选：B 2 （4 分）下列命题中是假命题的是（
13、 ） A多边形的外角和等于 360 B直角三角形的外角中可以有锐角 C三角形两边之差小于第三边 D如果两个角大小相等，且它们的和等于平角，那么这两个角都是直角 【分析】根据多边形的外角和定理对 A 进行判断；根据三角形的外角和与之相邻的内角 互为邻补角可对 B 进行判断；根据三角形三边的关系对 C 进行判断；根据平角和直角的 定义对 D 进行判断 【解答】解：A、多边形的外角和等于 360，所以 A 选项为真命题； B、直角三角形的外角中没有锐角，一个直角两个钝角，所以 B 选项为假命题； C、三角形两边之差小于第三边，所以 C 选项为真命题； D、如果两个角大小相等，且它们的和等于平角，那么
14、这两个角都是直角，所以 D 选项 为真命题 故选：B 3 （4 分）正方体的六个面分别标有 1，2，3，4，5，6 六个数字，如图是其三种不同的放 置方式，与数字“2”相对的面上的数字是（ ） A1 B3 C4 D5 【分析】正方体的六个面分别标有 1，2，3，4，5，6 六个数字，这六个数字一一对应， 通过三个图形可看出与 3 相邻的数字有 2，4，5，6，所以与 3 相对的数是 1，然后由第 一个图和第二个图可看出与 4 相邻的数有 1，3，5，6，所以与 4 相对的数是 2 【解答】解：由三个图形可看出与 3 相邻的数字有 2，4，5，6， 所以与 3 相对的数是 1， 由第一个图和第二
15、个图可看出与 4 相邻的数有 1，3，5，6， 所以与 4 相对的数是 2 故选：C 4（4分） 若二次函数yx2mx的对称轴是x3， 则关于x的方程x2+mx7的解是 （ ） Ax10，x26 Bx11，x27 Cx11，x27 Dx11，x27 【分析】先根据二次函数 yx2mx 的对称轴是 x3 求出 m 的值，再把 m 的值代入 方程 x2+mx7，求出 x 的值即可 【解答】解：二次函数 yx2mx 的对称轴是 x3， 3，解得 m6， 关于 x 的方程 x2+mx7 可化为 x26x70，即（x+1） （x7）0， 解得 x11，x27 故选：D 5 （4 分）将一矩形纸片沿一条直
16、线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可 能是（ ） A360 B540 C720 D900 【分析】根据题意列出可能情况，再分别根据多边形的内角和定理进行解答即可 【解答】解：将矩形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和为：180 +180360； 将矩形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为： 180+360540； 将矩形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：360+360 720， 将矩形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，其内角和为：180+540 720； 故选：D 6 （4 分）一次智力测验，有 20 道选择
17、题评分标准是：对 1 题给 5 分，错 1 题扣 2 分， 不答题不给分也不扣分，小明有两道题未答，至少答对几道题，总分才不会低于 60 分， 则小明至少答对的题数是（ ） A14 道 B13 道 C12 道 D11 道 【分析】设小明至少答对的题数是 x 道，答错的为（202x）道，根据总分才不会低 于 60 分，这个不等量关系可列出不等式求解 【解答】解：设小明至少答对的题数是 x 道， 5x2（202x）60， x13， x 为整数， x14， 故选：A 7 （4 分）设一元二次方程（x2） （x3）p20 的两实根分别为 、（） ，则 、 满足（ ） A23 B2 且 3 C23 D2
18、 且 3 【分析】当 p0，易得 2，3，当 p0，对于（x2） （x3）p20 有两不等 根，看作二次函数 y（x2） （x3）与直线 yp20 有两个公共点，利用 y（x2） （x3）与 x 轴的交点坐标为（2，0） ， （3，0）得到 p2，3 【解答】解：当 p0， （x2） （x3）0，解得 2，3， 当 p0， （x2） （x3）p20，看作二次函数 y（x2） （x3）与直线 yp20 有两个公共点，而 y（x2） （x3）与 x 轴的交点坐标为（2，0） ， （3，0） ，直线 y p2在 x 轴上方，所以 p2，3， 综上所述，2 且 3 故选：B 8 （4 分）五张如图所示
19、的长为 a，宽为 b（ab）的小长方形纸片，按如图的方式不重叠 地放在矩形 ABCD 中，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示设左上角与右下角的 阴影部分的面积的差为 S， 当 BC 的长度变化时， 按照同样的放置方式， S 始终保持不变， 则 a，b 满足的关系式为（ ） Aa2b Ba3b C3a2b D2a3b+1 【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与 BC 无关即可求出 a 与 b 的关系式 【解答】解：左上角阴影部分的长为 AE，宽为 AF2b，右下角阴影部分的长为 PC，宽 为 a， ADBC，即 AE+EDAE+a，BCBP+PC3b+PC， AE+a3b+
20、PC，即 AEPC3ba， 阴影部分面积之差 SAEAFPCCG2bAEaPC2b（PC+3ba）aPC （2ba）PC+6b22ab， 则 2ba0，即 a2b， 故选：A 9 （4 分）如图，抛物线 y2x2+8x6 与 x 轴交于点 A、B，把抛物线在 x 轴及其上方的 部分记作 C1，将 C1向右平移得 C2，C2与 x 轴交于点 B，D若直线 yx+m 与 C1、C2 共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围是（ ） A2m B3m C3m2 D3m 【分析】首先求出点 A 和点 B 的坐标，然后求出 C2解析式，分别求出直线 yx+m 与抛 物线 C2相切时 m 的值以及直线 y
21、x+m 过点 B 时 m 的值，结合图形即可得到答案 【解答】解：令 y2x2+8x60， 即 x24x+30， 解得 x1 或 3， 则点 A（1，0） ，B（3，0） ， 由于将 C1向右平移 2 个长度单位得 C2， 则 C2解析式为 y2（x4）2+2（3x5） ， 当 yx+m1与 C2相切时， 令 yx+m1y2（x4）2+2， 即 2x215x+30+m10， 8m1150， 解得 m1， 当 yx+m2过点 B 时， 即 03+m2， m23， 当3m时直线 yx+m 与 C1、C2共有 3 个不同的交点， 故选：D 10 （4 分）如图，AB 是O 的直径，M、N 是（异于
22、A、B）上两点，C 是上一动点， ACB 的角平分线交O 于点 D，BAC 的平分线交 CD 于点 E当点 C 从点 M 运动到 点 N 时，则 C、E 两点的运动路径长的比是（ ） A B C D 【分析】如图，连接 EB设 OAr作等腰 RtADB，ADDB，ADB90，则点 E 在以 D 为圆心 DA 为半径的弧上运动，运动轨迹是，点 C 的运动轨迹是，由题意 MON2GDF，设GDF，则MON2，利用弧长公式计算即可解决问题 【解答】解：如图，连接 EB设 OAr AB 是直径， ACB90， E 是ACB 的内心， AEB135， 作等腰 RtADB，ADDB，ADB90，则点 E
23、在以 D 为圆心 DA 为半径的弧上运 动，运动轨迹是，点 C 的运动轨迹是， MON2GDF，设GDF，则MON2 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）分解因式：x3x x（x+1） （x1） 【分析】本题可先提公因式 x，分解成 x（x21） ，而 x21 可利用平方差公式分解 【解答】解：x3x， x（x21） ， x（x+1） （x1） 故答案为：x（x+1） （x1） 12 （4 分）小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区 50 户 家庭某一天各类生活垃圾的投放量
24、，统计得出这 50 户家庭各类生活垃圾的投放总量是 100 千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示） ，根据以上信息， 估计该小区 300 户居民这一天投放的可回收垃圾共约 90 千克 【分析】求出样本中 100 千克垃圾中可回收垃圾的质量，再乘以可得答案 【解答】解：估计该小区 300 户居民这一天投放的可回收垃圾共约10015%90 （千克） ， 故答案为：90 13 （4 分） 平面直角坐标系中， 已知ABCD 的三个顶点坐标分别是 A （m， n） ， B （2， 1） ， C（m，n） ，则点 D 的坐标是 （2，1） 【分析】设 D（x，y） ，由四边形 ABCD
25、 是平行四边形，可得 AC 与 BD 互相平分，由中 点坐标公式可得，解方程组即可解决问题 【解答】解：设 D（x，y） ， 四边形 ABCD 是平行四边形， AC 与 BD 互相平分， 由中点坐标公式可得，解得， 点 D 的坐标为（2，1） ， 故答案为（2，1） 14 （4 分）如图，在扇形 OEF 中，EOF90，半径为 2，正方形 ABCD 的顶点 C 是 的中点， 点 D 在 OF 上， 点 A 在 OF 的延长线上， 则图中阴影部分的面积为 1 【分析】连结 OC，根据勾股定理可求 OC 的长，根据题意可得出阴影部分的面积扇形 FOC 的面积三角形 ODC 的面积，依此列式计算即可
26、求解 【解答】解：如图，连接 OC 在扇形 AOB 中EOF90，正方形 ABCD 的顶点 C 是的中点， COF45， OCCD2， ODCD， 阴影部分的面积扇形 FOC 的面积三角形 ODC 的面积 22（）2 1 故答案为：1 15 （4 分）如图，过点 C（3，4）的直线 y2x+b 交 x 轴于点 A，ABC90，ABCB， 曲线 y（x0）过点 B，将点 A 沿 y 轴正方向平移 a 个单位长度恰好落在该曲线上， 则 a 的值为 4 【分析】作 CDx 轴于 D，BFx 轴于 F，过 B 作 BECD 于 E，根据待定系数法求得 直线解析式，进而求得 A 的坐标，通过证得EBCF
27、BA，得出 CEAF，BEBF， 设 B （m， ） ， 则 4m1， m3， 求得 k4， 得到反比例函数的解析式 y， 把 x1 代入求得函数值 4，则 a404 【解答】解：作 CDx 轴于 D，BFx 轴于 F，过 B 作 BECD 于 E， 过点 C（3，4）的直线 y2x+b 交 x 轴于点 A， 423+b，解得 b2， 直线为 y2x2， 令 y0，则求得 x1， A（1，0） ， BFx 轴于 F，过 B 作 BECD 于 E， BEx 轴， ABEBAF， ABC90， ABE+EBC90， BAF+ABF90， EBCABF， 在EBC 和FBA 中 EBCFBA（AAS
28、） ， CEAF，BEBF， 设 B（m，） ， 4m1，m3， 4（m3）m1， 解得 m4，k4， 反比例函数的解析式为 y， 把 x1 代入得 y4， a404， a 的值为 4 故答案为 4 16 （4 分）如图，菱形 ABCD 的顶点 B、C 在 x 轴上（B 在 C 的左侧） ，顶点 A、D 在 x 轴 上方，对角线 BD 的长是，点 E（2，0）为 BC 的中点，点 P 在菱形 ABCD 的边 上运动，当点 F（0，6）到 EP 所在直线的距离取得最大值时，点 P 恰好落在 AB 的中点 处，则菱形 ABCD 的边长等于 【分析】如图 1 中，当点 P 是 AB 的中点时，作 F
29、GPE 于 G，连接 EF首先说明点 G 与点 E 重合时，FG 的值最大，如图 2 中，当点 G 与点 E 重合时，连接 AC 交 BD 于 H， PE 交 BD 于 J设 BC2a利用相似三角形的性质构建方程求解即可 【解答】解：如图 1 中，当点 P 是 AB 的中点时，作 FGPE 于 G，连接 EF E（2，0） ，F（0，6） ， OE2，OF6， EF2， FGE90， FGEF， 当点 G 与 E 重合时，FG 的值最大 如图 2 中，当点 G 与点 E 重合时，连接 AC 交 BD 于 H，PE 交 BD 于 J设 BC2a PAPB，BEECa， PEAC，BJJH， 四边
30、形 ABCD 是菱形， ACBD，BHDH，BJ， PEBD， BJEEOFPEF90， EBJFEO， BJEEOF， ， ， a， BC2a， 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，小题，8+8+8+8+8+10+10+12+1486，共，共 86 分）分） 17 （8 分）解不等式组，并将解集表示在数轴上 【分析】先把原不等式组化简，再分别求解，最后求不等式组的解集并在数轴上表示出 来 【解答】解：原不等式组可变形为：， 解得，故不等式组的解为：0.5x3，此解集在数轴上表示为： 18 （8 分）先化简，再求值，其中 x3 【分析】原式利用除法法则变形，约分得到
31、最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式 ， 当 x3 时，原式1 19 （8 分）已知：如图，E、F 是ABCD 的对角线 AC 上的两点，CEAF请你猜想：线 段 BE 与线段 DF 有怎样的关系？并对你的猜想加以证明 【分析】首先连接 BD 交 AC 于点 O，由ABCD 的对角线 AC 上的两点，CEAF，易得 OEOF，OBOD，继而可得四边形 BEDF 是平行四边形，即可证得结论 【解答】解：BEDF，BEDF 证明：连接 BD 交 AC 于点 O， 四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，OBOD， CEAF， CEOCAFOA， 即 OEOF， 四边形 B
32、EDF 是平行四边形， BEDF，BEDF 20 （8 分）已知边长为 a 的正方形 ABCD 和O45 （1）以O 为一个内角作菱形 OPMN，使 OPa； （要求：尺规作图，不写作法，保留 作图痕迹） （2）设正方形 ABCD 的面积为 S1，菱形 OPMN 的面积为 S2，求的值 【分析】 （1）根据四边相等的四边形时是菱形画出图形即可 （2）分别求出正方形，菱形的面积即可解决问题 【解答】解： （1）如图，菱形 ONMP 即为所求 （2）如图，过点 N 作 NHOP 于 H ABONOPa， 正方形 ABCD 的面积 S1a2， 在 RtONH 中，NOH45，ONa， NHa， 菱形
33、 ONMP 的面积 S2a2， 21（8 分） 如图， 已知ABC 中， ABAC， 把ABC 绕 A 点沿顺时针方向旋转得到ADE， 连接 BD，CE 交于点 F （1）求证：AECADB； （2）若 AB2，BAC45，当四边形 ADFC 是菱形时，求 BF 的长 【分析】 （1）由旋转的性质得到三角形 ABC 与三角形 ADE 全等，以及 ABAC，利用全 等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用 SAS 得到三角形 AEC 与三角形 ADB 全等即可； （2）根据BAC45，四边形 ADFC 是菱形，得到DBABAC45，再由 AB AD，得到三角形 ABD 为等
34、腰直角三角形，求出 BD 的长，由 BDDF 求出 BF 的长即 可 【解答】解： （1）由旋转的性质得：ABCADE，且 ABAC， AEAD，ACAB，BACDAE， BAC+BAEDAE+BAE，即CAEDAB， 在AEC 和ADB 中， ， AECADB（SAS） ； （2）四边形 ADFC 是菱形，且BAC45， DBABAC45， 由（1）得：ABAD， DBABDA45， ABD 为直角边为 2 的等腰直角三角形， BD22AB2，即 BD2， ADDFFCACAB2， BFBDDF22 22 （10 分）小军的爸爸和小慧的爸爸都是出租车司机，他们在每天的白天、夜间都要到同 一加
35、油站各加一次油白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格 如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军的爸爸不论是白天还是夜间每次总是加 60L 油，小慧的爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花 300 元钱加油假设某天白天油 的价格为每升 a 元，夜间油的价格为每升 b 元 问： （1）小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价各是多少？ （2）谁的加油方式更合算？请你通过数学运算，给以解释说明 【分析】 （1）根据题意列出算式，再求出即可； （2）两算式相减，根据求出的结果比较即可 【解答】解： （1）小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/L） 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：
36、（元/L） ； （2）， 而 ab，a0，b0， 所以 从而，即 因此，小慧的爸爸的加油方式比较合算 23 （10 分）由于空气污染严重，某工厂生产了两种供人们外出时便于携带的呼吸装置，其 质量按测试指标划分：指标大于等于 88 为优质产品，现随机抽取这两种装置各 100 件进 行检测，检测结果統计如表： 测试指标分组 70，76） 76，82） 82，88） 88，94） 94，100 频数 装置甲 8 12 40 32 8 装置乙 7 18 40 29 6 （1）试分别估计装置甲、装置乙为优质品的概率； （2）设该厂生产一件产品的利润率 y 与其质量指标的关系式为，根 据以上统计数据，估计
37、生产一件装置乙的利润率大于 0 的概率，若投资 100 万生产装置 乙，请估计该厂获得的平均利润； （3）若投资 100 万，生产装置甲或装置乙中的一种，请分析生产哪种装置获得的利润较 大？ 【分析】 （1）根据频数求比值，得到估计装置甲、装置乙为优质品的概率； （2）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，进而可 估计该厂获得的平均利润； （3）比较生产装置甲或装置乙获得的利润，即可得出结论 【解答】解： （1）装置甲为优质品的概率：0.4； 装置乙为优质品的概率：0.35； （2）设装置乙的利润率为 w，则 w 的可能取值为2，2，4， 当 t76 时，即 w2
38、时，P0.07， 当 76t88 时，即 w2 时，P0.58， 当 t88 时，即 w4 时，P0.35， 估计生产一件装置乙的利润率大于 0 的概率为 P0.58+0.350.93； w20.07+20.58+40.352.42， 投资 100 万生产装置乙，估计该厂获得的平均利润为 242 万； （3）设装置甲的利润率为 m，则 m 的可能取值为2，2，4， 当 t76 时，即 w2 时，P0.08， 当 76t88 时，即 w2 时，P0.52， 当 t88 时，即 w4 时，P0.4， w20.08+20.52+40.42.48， wm， 生产甲装置获得的利润较大 24 （12 分）
39、如图，AD 是O 的切线，切点为 A，AB 是O 的弦，过点 B 作 BCAD，交 O 于点 C，连接 AC，过点 C 作 CDAB，交 AD 于点 D，连接 AO 并延长交 BC 于点 M，交过点 C 的直线于点 P，且BCPACD （1）求证：BAPCAP； （2）判断直线 PC 与O 的位置关系，并说明理由； （3）若 AB5，BC10，求 PC 的长 【分析】 （1）根据切线的性质得到 OAAD，根据垂径定理、圆周角定理证明结论； （2）过 C 点作直径 CE，连接 EB，根据圆周角定理得到EBC90、BACE， 得到PCE90，根据切线的判定定理证明； （3）根据勾股定理求出O 的半
40、径，证明 RtPCMRtCEB，根据相似三角形的性质 列出比例式，代入计算得到答案 【解答】 （1）证明：AD 是O 的切线， OAAD， BCAD， OABC， ， BAPCAP； （2）解：PC 与圆 O 相切， 理由如下：过 C 点作直径 CE，连接 EB， CE 为直径， EBC90，即E+BCE90， ABDC， ACDBAC， BACE，BCPACD EBCP， BCP+BCE90，即PCE90， CEPC， PC 与圆 O 相切； （3）解：AD 是O 的切线， OAAD， BCAD， AMBC， BMCMBC5，ACAB5， 在 RtAMC 中，AM5， 设O 的半径为 r，则
41、 OCr，OMAMr5r， 在 RtOCM 中，OM2+CM2OC2，即（5r）2+52r2， 解得：r3， CE2r6，OM5r2， BE2OM4， EMCP， RtPCMRtCEB， ，即， PC 25 （14 分）已知二次函数 yax2+bx+t1，t0 （1）当 t2 时， 若二次函数图象经过点（1，4） ， （1，0） ，求 a，b 的值； 若 2ab1，对于任意不为零的实数 a，是否存在一条直线 ykx+p（k0） ，始终与 二次函数图象交于不同的两点？若存在， 求出该直线的表达式； 若不存在， 请说明理由； （2）若点 A（1，t） ，B（m，tn） （m0，n0）是二次函数图象
42、上的两点，且 S AOB n2t，当1xm 时，点 A 是该函数图象的最高点，求 a 的取值范围 【分析】 （1）当 t2 时，二次函数为 yax2+bx3把（1，4） ， （1，0）分别 代入 yax2+bx3，得出关于 a、b 的二元一次方程组，解方程组即可； 由 2ab1 得出 b2a1将 ykx+p 代入 yax2+bx3，整理得出 ax2+（2ak 1）x3p0，根据直线与二次函数图象交于不同的两点，得到（2ak1）2+4a （3+p）4a24a（kp2）+（1+k）20，由非负数的性质得出当 kp20 时， 总有0，取 p1，k3，即可得出结论； （2）把 A（1，t）代入 yax
43、2+bx+t1，得出 ba1根据 SAOBn2t，利用 割补法求出 m3，则 A（1，t） ，B（3，tn） 由 n0，得出 ttn再分两种情况 进行讨论：当 a0 时，由 ttn，求出 a，则 0a；当 a0 时，由 tt n，可知 A、B 在对称轴的右侧，1，即1，求出 a1，则1 a0 【解答】解： （1）当 t2 时，二次函数为 yax2+bx3 把（1，4） ， （1，0）分别代入 yax2+bx3， 得，解得， 所以 a1，b2； 2ab1， b2a1， 当直线 ykx+p 与二次函数 yax2+bx3 图象相交时，kx+pax2+（2a1）x3， 整理，得 ax2+（2ak1）x
44、3p0， （2ak1）2+4a（3+p） ， 若直线与二次函数图象交于不同的两点，则0， （2ak1）2+4a（3+p）0， 整理，得 4a24a（kp2）+（1+k）20， 无论 a 取任意不为零的实数，总有 4a20， （1+k）20， 当 kp20 时，总有0， 可取 p1，k3， 对于任意不为零的实数 a，存在直线 y3x+1，始终与二次函数图象交于不同的两点； （2）把 A（1，t）代入 yax2+bx+t1，可得 ba1 A（1，t） ，B（m，tn） （m0，n0） ，且 SAOBn2t，t0， t+（nt）（m+1）1（t）（nt）mn2t，解得 m3， A（1，t） ，B（3
45、，tn） n0， ttn 分两种情况： 当 a0 时，二次函数图象的顶点为最低点， 当1x3 时，点 A 是该函数图象的最高点，则 yAyB， 分别把 A（1，t） ，B（3，tn）代入 yax2+bx+t1， 得 tab+t1，tn9a+3b+t1， ttn， ab+t19a+3b+t1， 2a+b0， 即 2a+（a1）0， 解得 a， 0a； 当 a0 时， 由 ttn，可知： 若 A、B 在对称轴的异侧，当1x3 时，图象的最高点是抛物线的顶点而不是 A 点； 若 A、B 在对称轴的左侧，因为当 x时，y 随 x 的增大而增大，所以当1x3 时，点 A 为该函数图象的最低点； 若 A、B 在对称轴的右侧，因为当 x时，y 随 x 的增大而减小，所以当1x3 时，点 A 为该函数图象的最高点，则1，即1， 解得 a1， 所以1a0 综上，a 的取值范围是 0a或1a0
