1、2021 年广西贵港市桂平市中考数学第一次质检试卷年广西贵港市桂平市中考数学第一次质检试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分。每小题四个选项。其中只有一个是正确的）分。每小题四个选项。其中只有一个是正确的） 1的倒数是（ ） A2 B C D2 2将 210000 用科学记数法表示为（ ） A21104 B2.1105 C2.1106 D21 万 3下列运算正确的是（ ） A （a2）3a5 B （a+b）2a2+b2 C8x42x24x2 D （2a）38a3 4一组数据：3，4，5，x，8 的众数是 5，则这组数据的方差是
2、（ ） A2 B2.4 C2.8 D3 5在平面直角坐标系中，点 P（3，m2+1）关于原点的对称点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 6若 x1，x2是一元二次方程 x23x20 的两根，则 x1+x2+x1x2的值是（ ） A1 B1 C5 D5 7下列命题中，是假命题的是（ ） A两点之间，线段最短 B3a3b 的系数是 3 C位似图形必定相似 D若|a|b|，则 ab 8关于 x 的不等式组只有 3 个整数解，求 a 的取值范围（ ） A8a9 B8a9 C8a9 D8a9 9 如图， AB 为O 的直径， 点 C 在O 上， 且 COAB 于点 O， 弦 CD
3、与 AB 相交于点 E， 若BEC68， 则ABD 的度数为（ ） A20 B23 C25 D34 10将抛物线 y2x2+1 向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后所得到的抛物线为（ ） Ay2（x+1）22 By2（x+1）24 Cy2（x1）22 Dy2（x1）24 11如图，在ABC 中，点 E 是线段 AC 上一点，AE：CE1：2，过点 C 作 CDAB 交 BE 的延长线于点 D，若ABE 的面积等于 4，则BCD 的面积等于（ ） A8 B16 C24 D32 12如图，在平行四边形 ABCD 中，AB2AD，F 是 CD 的中点，作 BEAD 于点 E，连接 EF、B
4、F，则下 列结论错误的是（ ） ACBFABF BFEFB C2SEFBS四边形DEBC DBFE3DEF 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 13若分式的值为 0，则 x 的值为 14计算的结果是 15如图，1240，MN 平分EMB，则3 16如果在五张完全相同的卡片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆，打乱后随机抽 取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于 17如图，正方形 ABCD 中，AB2，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90得到线段 CE，线段 BD 绕点 B 顺 时针旋转
5、90得到线段 BF，连接 EF，则图中阴影部分的面积是 18二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴的两个交点 A、B 的横坐标分别为3、1，与 y 轴交于点 C，下面四个结论：16a+4b+c0；若 P（5，y1） ，Q（，y2）是函数图象上的两点，则 y1y2； c3a；若ABC 是等腰三角形，则 b或其中正确的有 （请将正确 结论的序号全部填在横线上） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，满分小题，满分 66 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （10 分） （1）计算：|1|+（2021
6、1）0（） 13tan30 （2）解方程：2（x3）（x+3） （x3）0 20 （5 分）如图，在ABC 中，请用尺规作图法，在 AB 边上找一点 D，使ACDABC （保留作图痕 迹，不写作法） 21 （6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，顶点 A，C 分别 在坐标轴上，顶点 B 的坐标为（4，2） ，反比例函数 y（x0）的图象与 AB，BC 交于点 M，N，直 线 MN 与坐标轴交于 D（0，3）和 E（6，0）两点 （1）求直线 MN 的函数表达式和 k 的值； （2）求BMN 的面积 22 （8 分）中央电视台的“朗读者”节目
7、激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书” ，某 校对七年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有 5 本，最多的有 8 本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如下所示： 本数（本） 频数（人数） 频率 5 a 0.2 6 18 0.36 7 14 b 8 8 0.16 合计 c 1 （1）统计表中的 a ，b ，c ； （2）请将频数分布表直方图补充完整； （3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数； （4）若该校七年级共有 1200 名学生，请你分析该校七年级学生课外阅读 7 本及以上的人数 23 （8 分）城镇老旧小区改造是重大民生工程
8、和发展工程；安定区积极响应党的号召，全面推进城区老旧 小区改造工作现计划对城区某小区的居民自来水管道进行改造；该工程若由甲队单独施工恰好在规定 时间内完成； 若乙队单独施工， 则完成工程所需天数是规定天数的 1.5 倍 如果由甲、 乙队先合做 15 天， 那么余下的工程由甲队单独完成还需 5 天 （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为 3500 元，乙队每天的施工费用为 2500 元为了缩短工期以减少对居民 用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合做来完成则该工程施工费用是多少？ 24 （8 分）如图，点 P 为正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一点，
9、连接 BP 并延长交 CD 于点 E，交 AD 的延 长线于点 F，O 是DEF 的外接圆，连接 DP （1）求证：DP 是O 的切线； （2）若 tanPDC，AB4，求半径 OE 的长 25 （10 分）如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象交 x 轴于点 A（3，0） ，B（1，0） ，交 y 轴于点 C点 P （m，0）是 x 轴上的一动点，PMx 轴，交直线 AC 于点 M，交抛物线于点 N （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点 P 仅在线段 AO 上运动，如图，求线段 MN 长度的最大值 26 （11 分）已知ABC 是等边三角形，AB6，将一块含有 30角的直角三角板 D
10、EF 如图所示放置，让 等边ABC 向右平移 （BC 只能在 EF 上移动） 如图 1， 当点 E 与点 B 重合时， 点 A 恰好落在三角板 DEF 的斜边 DF 上 （1）若点 C 平移到与点 F 重合，求等边ABC 平移的距离； （2）在等边ABC 向右平移的过程中，AB，AC 与三角板斜边的交点分别为 G，H，连接 EH 交 AB 于 点 P，如图 2 求证：EBAH； 若HEF30，求 EH 的长； 判断 PG 的长度在等边ABC 平移的过程中是否会发生变化？如果不变， 请求出 PG 的长； 如果变化， 请说明理由 2021 年广西贵港市桂平市中考数学第一次质检试卷年广西贵港市桂平市
11、中考数学第一次质检试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分。每小题四个选项。其中只有一个是正确的）分。每小题四个选项。其中只有一个是正确的） 1的倒数是（ ） A2 B C D2 【分析】根据乘积为 1 的两个数是互为倒数，进行求解即可 【解答】解：21， 的倒数是 2， 故选：A 2将 210000 用科学记数法表示为（ ） A21104 B2.1105 C2.1106 D21 万 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数
12、变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是 正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：2100002.1105， 故选：B 3下列运算正确的是（ ） A （a2）3a5 B （a+b）2a2+b2 C8x42x24x2 D （2a）38a3 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题 【解答】解： （a2）3a6，故选项 A 错误； （a+b）2a2+2ab+b2，故选项 B 错误； 8x42x24x2，故选项 C 正确； （2a）38a3，故选项 D 错误； 故选：C 4一组数据：3，4，5，x，8 的众
13、数是 5，则这组数据的方差是（ ） A2 B2.4 C2.8 D3 【分析】根据数据的众数确定出 x 的值，进而求出方差即可 【解答】解：一组数据 3，4，5，x，8 的众数是 5， x5， 这组数据的平均数为（3+4+5+5+8）5， 则这组数据的方差为（35）2+（45）2+2（54）2+（85）22.8 故选：C 5在平面直角坐标系中，点 P（3，m2+1）关于原点的对称点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】依据 m2+10，即可得出点 P（3，m2+1）在第二象限，再根据两个点关于原点对称时，它们 的坐标符号相反，即可得出结论 【解答】解：m2+10， 点
14、 P（3，m2+1）在第二象限， 点 P（3，m2+1）关于原点的对称点在第四象限， 故选：D 6若 x1，x2是一元二次方程 x23x20 的两根，则 x1+x2+x1x2的值是（ ） A1 B1 C5 D5 【分析】直接根据根与系数的关系得出 x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可 【解答】解：x1，x2是一元二次方程 x23x20 的两根， x1+x23； x1x22 则 x1+x2+x1x23+（2）1 故选：B 7下列命题中，是假命题的是（ ） A两点之间，线段最短 B3a3b 的系数是 3 C位似图形必定相似 D若|a|b|，则 ab 【分析】根据线段的性质、单项式、相似图形和绝
15、对值进行判断解答 【解答】解：A、两点之间，线段最短，是真命题； B、3a3b 的系数是 3，是真命题； C、位似图形必定相似，是真命题； D、若|a|b|，则 ab 或 ab，原命题是假命题； 故选：D 8关于 x 的不等式组只有 3 个整数解，求 a 的取值范围（ ） A8a9 B8a9 C8a9 D8a9 【分析】根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意列出关于 a 的不等式组，解不等式组得 到答案 【解答】解：， 解得，x13， 解得，x2+a， 不等式组的解集为：2+ax13， 不等式组只有 3 个整数解， 102+a11， 解得，8a9， 故选：A 9 如图， AB 为O
16、的直径， 点 C 在O 上， 且 COAB 于点 O， 弦 CD 与 AB 相交于点 E， 若BEC68， 则ABD 的度数为（ ） A20 B23 C25 D34 【分析】利用圆周角定理求出D，再利用三角形的外角的性质求出ABD 即可 【解答】解：OCAB， COB90， DCOB45， CEBD+ABD， ABD684523， 故选：B 10将抛物线 y2x2+1 向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后所得到的抛物线为（ ） Ay2（x+1）22 By2（x+1）24 Cy2（x1）22 Dy2（x1）24 【分析】先确定抛物线的顶点坐标为（0，1） ，根据点平移的规律，点（0，1
17、）向右平移 1 个单位，再向 下平移 3 个单位得到对应点的坐标为（1，2） ，然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式 【解答】解：抛物线 y2x2+1 的顶点坐标为（0，1） ，点（0，1）向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后所得对应点的坐标为（1，2） ，所以平移后的抛物线解析式为 y2（x1）22 故选：C 11如图，在ABC 中，点 E 是线段 AC 上一点，AE：CE1：2，过点 C 作 CDAB 交 BE 的延长线于点 D，若ABE 的面积等于 4，则BCD 的面积等于（ ） A8 B16 C24 D32 【分析】先由 CDAB，证得ABECDE，再根据已知条件及相似三角
18、形的性质得出 SCDE的值， 然后根据BCE 中 CE 边上的高和ABE 中 AE 边上的高相等及 CE2AE，得出 SBCE的值，最后利用 关系式 SBCDSCDE+SBCE，可得答案 【解答】解：CDAB ABECDE 又AE：CE1：2 SABE4 SCDE16 AE：CE1：2 CE2AE BCE 中 CE 边上的高和ABE 中 AE 边上的高相等 SBCE2SABE SABE4 SBCE248 SBCDSCDE+SBCE16+824 故选：C 12如图，在平行四边形 ABCD 中，AB2AD，F 是 CD 的中点，作 BEAD 于点 E，连接 EF、BF，则下 列结论错误的是（ ）
19、ACBFABF BFEFB C2SEFBS四边形DEBC DBFE3DEF 【分析】延长 EF 交 BC 的延长线于 G，取 AB 的中点 H 连接 FH想办法证明 EFFG，BEBG，四边 形 BCFH 是菱形即可解决问题 【解答】解：如图延长 EF 交 BC 的延长线于 G，取 AB 的中点 H 连接 FH AB2AD， CD2AD， F 是 CD 的中点， DFFC， CFCB， CFBCBF， CDAB， CFBABF， CBFABF，故 A 正确， DECG， DFCG， DFFC，DFECFG， DFEFCG（AAS） ， FEFG， BEAD， AEB90， ADBC， AEBE
20、BG90， BFEFFG，故 B 正确， SDFESCFG， S四边形DEBCSEBG2SBEF，故 C 正确， AHHB，DFCF，ABCD， CFBH， CFBH， 四边形 BCFH 是平行四边形， CFBC， 四边形 BCFH 是菱形， BFCBFH， FEFB，FHAD，BEAD， FHBE， BFHEFHDEF， EFC3DEF，故 D 错误， 故选：D 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 13若分式的值为 0，则 x 的值为 3 【分析】分式的值为零，分子等于零，且分母不等于零 【解答】解：由题意，知 x+30 且 x1
21、0 解得 x3 故答案是：3 14计算的结果是 4 【分析】根据算术平方根的定义解答即可 【解答】解：4 故答案为：4 15如图，1240，MN 平分EMB，则3 110 【分析】根据对顶角相等得出2MEN，利用同位角相等，两直线平行得出 ABCD，再利用平行线 的性质解答即可 【解答】解：2MEN，1240， 1MEN， ABCD， 3+BMN180， MN 平分EMB， BMN， 318070110 故答案为：110 16如果在五张完全相同的卡片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆，打乱后随机抽 取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于 【分析】判断
22、平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆中既是轴对称图形又是中心对称图形，再根据 概率的意义求解即可 【解答】解：在平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆这 5 个图形中，既是轴对称图形又是中心对 称图形的有矩形、菱形、圆共 3 个， 因此从平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆中任意抽取一个，既是轴对称图形又是中心对称图形 的概率为， 故答案为： 17如图，正方形 ABCD 中，AB2，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90得到线段 CE，线段 BD 绕点 B 顺 时针旋转 90得到线段 BF，连接 EF，则图中阴影部分的面积是 6 【分析】分别求出 DCBCCE2，BDBF2，求出DCE9
23、0，分别求出BCD、BEF、 扇形 DBF、扇形 DCE的面积，即可得出答案 【解答】解： 过 F 作 FMBE 于 M，则FMEFMB90， 四边形 ABCD 是正方形，AB2， DCB90，DCBCAB2，DBC45， 由勾股定理得：BD2， 将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90得到线段 CE，线段 BD 绕点 B 顺时针旋转 90得到线段 BF， DCE90，BFBD2，FBE904545， BMFM2，ME2， 阴影部分的面积 SSBCD+SBFE+S扇形DCES扇形DBF + 6， 故答案为：6 18二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴的两个交点 A、B 的横坐标
24、分别为3、1，与 y 轴交于点 C，下面四个结论：16a+4b+c0；若 P（5，y1） ，Q（，y2）是函数图象上的两点，则 y1y2； c3a；若ABC 是等腰三角形，则 b或其中正确的有 （请将 正确结论的序号全部填在横线上） 【分析】根据抛物线开口方向和与 x 轴的两交点可知：当 x4 时，y0，即 16a4b+c0； 根据图象与 x 轴的交点 A、B 的横坐标分别为3，1 确定对称轴是：x1，可得： （4.5，y3）与 Q （，y2）是对称点，所以 y1y2； 根据对称轴和 x1 时，y0 可得结论； 要使ACB 为等腰三角形，则必须保证 ABBC4 或 ABAC4 或 ACBC，先
25、计算 c 的值，再联 立方程组可得结论 【解答】解：a0， 抛物线开口向下， 图象与 x 轴的交点 A、B 的横坐标分别为3，1， 当 x4 时，y0， 即 16a4b+c0； 故正确； 图象与 x 轴的交点 A、B 的横坐标分别为3，1， 抛物线的对称轴是：x1， P（5，y1） ，Q（，y2） ， 1（5）4，（1）3.5， 由对称性得： （4.5，y3）与 Q（，y2）是对称点， 则 y1y2； 故不正确； 1， b2a， 当 x1 时，y0，即 a+b+c0， 3a+c0， c3a，故正确； 要使ACB 为等腰三角形，则必须保证 ABBC4 或 ABAC4 或 ACBC， 当 ABBC
26、4 时， BO1，BOC 为直角三角形， 又OC 的长即为|c|， c216115， 由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上， c， 与 b2a、a+b+c0 联立组成解方程组，解得 b； 同理当 ABAC4 时， AO3，AOC 为直角三角形， 又OC 的长即为|c|， c21697， 由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上， c， 与 b2a、a+b+c0 联立组成解方程组，解得 b； 同理当 ACBC 时， 在AOC 中，AC29+c2， 在BOC 中 BC2c2+1， ACBC， 1+c2c2+9，此方程无实数解 经解方程组可知有两个 b 值满足条件 故正确 综上所述，正确
27、的结论是 故答案是： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，满分小题，满分 66 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （10 分） （1）计算：|1|+（20211）0（） 13tan30 （2）解方程：2（x3）（x+3） （x3）0 【分析】 （1）先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减 即可； （2）利用因式分解法求解即可 【解答】解： （1）原式1+1+33 1+1+3 3； （2）2（x3）（x+3） （x3）0， （x3） （x1）0， 则 x30 或x10
28、， 解得 x13，x21 20 （5 分）如图，在ABC 中，请用尺规作图法，在 AB 边上找一点 D，使ACDABC （保留作图痕 迹，不写作法） 【分析】 以 CA 为角的一边， 在三角形的内部作ACDB， 射线 CD 交 AB 于点 D， ACD 即为所求 【解答】解：如图，ACD 即为所求 21 （6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，顶点 A，C 分别 在坐标轴上，顶点 B 的坐标为（4，2） ，反比例函数 y（x0）的图象与 AB，BC 交于点 M，N，直 线 MN 与坐标轴交于 D（0，3）和 E（6，0）两点 （1）求直线
29、MN 的函数表达式和 k 的值； （2）求BMN 的面积 【分析】 （1）设直线 MN 的解析式是 ykx+b，把 D、E 的坐标代入即可求出直线的解析式，把 y2 代 入即可求出 M 的坐标，进而根据待定系数法求得反比例函数的解析式； （2）把 x4 代入直线的解析式即可求出 N 的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得 【解答】解： （1）设直线 MN 的解析式是 ykx+b， 把 D、E 的坐标代入得：， 解得：， 直线 MN 的解析式是：yx+3， 矩形 AOCB，B（4，2） ， 把 y2 代入 yx+3 得：x2， M 的坐标是（2，2） 反比例函数 y（x0）经过点 M， k224
30、， 即反比例函数的解析式是 y； （2）B（4，2） ， 把 x4 代入 yx+3 得：y1， N 的坐标是（4，1） ， BN211， M（2，2） ， BM422， SBMN1 22 （8 分）中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书” ，某 校对七年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有 5 本，最多的有 8 本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如下所示： 本数（本） 频数（人数） 频率 5 a 0.2 6 18 0.36 7 14 b 8 8 0.16 合计 c 1 （1）统计表中的 a 10 ，b 0
31、.28 ，c 50 ； （2）请将频数分布表直方图补充完整； （3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数； （4）若该校七年级共有 1200 名学生，请你分析该校七年级学生课外阅读 7 本及以上的人数 【分析】 （1）首先求出总人数，再根据频率，总数，频数的关系即可解决问题； （2）根据 a 的值画出条形图即可； （3）根据平均数的定义计算即可； （4）用样本估计总体的思想解决问题即可； 【解答】解： （1）由题意 c50， a500.210，b0.28，c50； 故答案为 10，0.28，50； （2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示： （3）所有被调查学生课外阅读的平均本数为： （510
32、+618+714+88）50320506.4（本） （4）该校七年级学生课外阅读 7 本及以上的人数为： （0.28+0.16）1200528（人） 23 （8 分）城镇老旧小区改造是重大民生工程和发展工程；安定区积极响应党的号召，全面推进城区老旧 小区改造工作现计划对城区某小区的居民自来水管道进行改造；该工程若由甲队单独施工恰好在规定 时间内完成； 若乙队单独施工， 则完成工程所需天数是规定天数的 1.5 倍 如果由甲、 乙队先合做 15 天， 那么余下的工程由甲队单独完成还需 5 天 （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为 3500 元，乙队每天的施工费用为 2
33、500 元为了缩短工期以减少对居民 用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合做来完成则该工程施工费用是多少？ 【分析】 （1）设该项工程的规定时间是 x 天，根据“甲的工作量+乙的工作量1”列出方程并解答； （2）根据工作时间和施工费用施工时间每天施工的费用解答 【解答】解： （1）设该项工程的规定时间是 x 天， 由题意得：， 解得：x30 经检验 x30 是原分式方程的解 答：该项工程的规定时间是 30 天 （2）甲、乙队合做完成所需的天数为： 则该工程施工费用是：18（3500+2500）108000（元） 答：该工程施工费用为 108000 元 24 （8 分）如图，点 P
34、为正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一点，连接 BP 并延长交 CD 于点 E，交 AD 的延 长线于点 F，O 是DEF 的外接圆，连接 DP （1）求证：DP 是O 的切线； （2）若 tanPDC，AB4，求半径 OE 的长 【分析】 （1）证明：连接 OD，根据正方形的性质证明CDPCBP 可得CDPCBP，再根据等 腰三角形的性质可以证明结论； （2）由CDPCBE，可得 tanCBEtanCDP，再根据锐角三角函数和勾股定理即可得 结果 【解答】解： （1）证明：如图，连接 OD， 正方形 ABCD 中，CDBC，CPCP，DCPBCP45， CDPCBP（SAS） ， CDP
35、CBP， BCD90， CBP+BEC90， ODOE， ODEOED， OEDBEC， BECOEDODE， CDP+ODE90， ODP90， DP 是O 的切线； （2）CDPCBE， tanCBEtanCDP， CE42， DE2， EDF90， EF 是O 的直径， F+DEF90， FCDP， 在 RtDEF 中， DF4， EF2， OE， 25 （10 分）如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象交 x 轴于点 A（3，0） ，B（1，0） ，交 y 轴于点 C点 P （m，0）是 x 轴上的一动点，PMx 轴，交直线 AC 于点 M，交抛物线于点 N （1）求这个二次函数的表
36、达式； （2）若点 P 仅在线段 AO 上运动，如图，求线段 MN 长度的最大值 【分析】 （1）根据二次函数 yx2+bx+c 的图象交 x 轴于点 A（3，0） ，B（1，0） ，可以求得该函数的 函数解析式； （2）根据（1）中的函数解析式可以求得点 C 的坐标，从而可以求得直线 AC 的解析式，再根据点 P 的 坐标，即可写出点 M 和点 N 的坐标，然后即可表示出线段 MN，再根据二次函数的性质，即可得到段 MN 长度的最大值 【解答】解： （1）二次函数 yx2+bx+c 的图象交 x 轴于点 A（3，0） ，B（1，0） ， ， 解得， 即这个二次函数的表达式是 yx2+2x3；
37、 （2）yx2+2x3， 当 x0 时，y3， 即点 C 的坐标为（0，3） ， 设直线 AC 的函数表达式为 ykx+a， ， 解得， 即直线 AC 的函数表达式为 yx3， 点 P 的坐标为（m，0） ， 点 M 的坐标为（m，m3） ，点 N 的坐标为（m，m2+2m3） ， MN（m3）（m2+2m3）（m+）2+， 当 m时，MN 取得最大值，此时 MN， 即线段 MN 长度的最大值是 26 （11 分）已知ABC 是等边三角形，AB6，将一块含有 30角的直角三角板 DEF 如图所示放置，让 等边ABC 向右平移 （BC 只能在 EF 上移动） 如图 1， 当点 E 与点 B 重合
38、时， 点 A 恰好落在三角板 DEF 的斜边 DF 上 （1）若点 C 平移到与点 F 重合，求等边ABC 平移的距离； （2）在等边ABC 向右平移的过程中，AB，AC 与三角板斜边的交点分别为 G，H，连接 EH 交 AB 于 点 P，如图 2 求证：EBAH； 若HEF30，求 EH 的长； 判断 PG 的长度在等边ABC 平移的过程中是否会发生变化？如果不变， 请求出 PG 的长； 如果变化， 请说明理由 【分析】 （1）就是刚开始时 C 点与 F 的距离； （2）作 EMDF 于点 M，ENAB 于点 N，证明EBNHAG 即可； 此时 HEF 是等腰三角形，作 HIEF 于点 I，
39、由（1）知，EF2AB，从而 IEAB6，EH 自然求出； 由于前面已经证明了EBNHAG，从而有 GHEN，则ENPHGP，PGNPAB 【解答】解： （1）等边ABC 未平移时，如图 1， ABC60，BDBF， DBA30， BDF60， BADF， 2ABBFBC+CF， ABBC， CFAB6， 即：点 C 平移到与点 F 重合时，等边ABC 平移的距离为 6； （2）作 EMDF 于点 M，ENAB 于点 N，如图 2， 由（1）知 ABDF， MENG 是矩形， GNEMAB， ACB60，DFE30， CHF30， AHG30， ENDF， BEN30AHG， AG+GBAB， BN+GBNGAB， BNAG， 在EBN 和HAG 中， ， EBNHAG（AAS） ， EBAH； 如图 3，作 HIEF 于点 I， HEF30HFE， IEIF， 由（1）知 EF2AB12， IE6， IH， EH4； 不变如图 2， EBNHAG， GHNE， 在ENP 和HGP 中， ， ENPHGP（AAS） ， GPNPNG3
