1、拓展提升课四拓展提升课四 简谐运动的回复力和能量简谐运动的回复力和能量 【学习目标要求】 1.会从力的角度分析简谐运动过程中物体的受力特点及加速 度特点。 2.会从能量转化与守恒角度分析能量的转化。 拓展点拓展点 1 简谐运动的回复力及动力学分析简谐运动的回复力及动力学分析 1.回复力的性质 回复力是根据力的效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可 以由某个力的分力提供。如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力； 如图乙所示， 竖直方向的弹簧振子， 弹力和重力的合力充当回复力； 如图丙所示， m 随 M 一起振动，m 的回复力是静摩擦力。 2.简谐运动的回复力的特点 (1)
2、由 Fkx 知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方 向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。 (2)公式 Fkx 中的 k 指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度 系数，系数 k 由振动系统自身决定。 (3)根据牛顿第二定律得 aF m k mx，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度 大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。 3.理解回复力的两点注意 (1)分析物体做简谐运动的回复力，首先要明确回复力是效果力，是由物体受到的 力来充当的，不要认为回复力是物体受到的一种新力。 (2)对于相关联的多个物体，整体法和隔离法在分析简谐运动时，仍然适
3、用。 【例 1】 (2021 四川省武胜烈面中学期中)如图甲所示，一弹簧振子在 AB 间做简 谐运动，O 为平衡位置。乙是振子做简谐运动时的位移时间图像。则关于振子 的加速度随时间变化的规律，下列四个图像中正确的是( ) 答案 D 解析 根据简谐运动振子的加速度与位移的关系：akx m可知 t0 时刻振子的 加速度 a0， 而且在前半个周期内加速度为负值。 简谐运动的 xt 图像是正弦曲 线，则 at 图像与 xt 图像上下对调，D 正确，A、B、C 错误。 【针对训练 1】 (2021 辽宁沈阳铁路实验中学月考)如图所示，一端固定于天花 板上的一轻弹簧，下端悬挂了质量均为 m 的 A、B 两
4、物体，平衡后剪断 A、B 间 细线，此后 A 将做简谐运动。已知弹簧的劲度系数为 k，则下列说法中正确的是 ( ) A.细线剪断瞬间 A 的加速度为 0 B.A 运动到最高点时弹簧弹力为 mg C.A 运动到最高点时，A 的加速度为 g D.A 振动的振幅为2mg k 答案 C 解析 轻弹簧悬挂质量均为 m 的 A、B 两物体，平衡后弹簧处于拉长状态，弹簧 的拉力等于两个物体的重力的和，即 F2mg，则弹簧的伸长量为 x12mg k ，剪 断 A、B 间的连线，A 将做简谐运动。若只悬挂物体 A，则平衡时弹簧的伸长量为 x2mg k 1 2x1，所以剪断 A、B 间的连线，A 将在弹簧形变量
5、2mg k 到 0 之间做振 幅为mg k 的简谐运动。细线剪断瞬间 A 受到重力和弹簧的弹力，由牛顿第二定律可 知加速度为 aFmg m 2mgmg m g，方向向上。由简谐运动的对称性可知，在 A 运动的最高点，加速度大小也为 g，方向竖直向下，A 错误，C 正确；由开始的 分析可知，物体 A 在弹簧形变量2mg k 到 0 之间做振幅为mg k 的简谐运动，在最高点 时 A 的重力提供加速度，弹簧的弹力为 0，B、D 错误。 拓展点拓展点 2 简谐运动的能量分析简谐运动的能量分析 1.简谐运动的能量 做简谐运动的物体在振动中经过某一位置时所具有的势能和动能之和，称为简谐 运动的机械能。
6、2.对简谐运动的能量的理解 (1)弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都相等，即振动过程中系统 机械能守恒。 (2)水平方向的振子在平衡位置的机械能以动能的形式出现，势能为零；在位移最 大处势能最大，动能为零。 (3)简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动物体的机械能越大。 (4)在振动的一个周期内，动能和势能间完成两次周期性变化，经过平衡位置时动 能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能为零。 【例 2】 如图所示，劲度系数为 k 的竖直轻弹簧下面挂一个质量为 m 的物体，物 体在竖直方向做简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长。则物体在 振动过程中( ) A.
7、物体在最低点时受的弹力大小为 mg B.弹簧的最大弹性势能等于2m 2g2 k C.弹簧的弹性势能和物体的动能总和不变 D.物体的最大动能应等于2m 2g2 k 答案 B 解析 物体从最高点先向下加速，到达平衡位置时速度达到最大，此后继续向下 做减速运动，平衡位置有 mgkx，故最低点物体受到的弹力 Fk(2x)2mg，A 错误；小球到最低点时，动能减为零，由系统机械能守恒得到，弹性势能最大， 重力势能减小量等于弹性势能的增加量，即最大弹性势能为 mg(2x)mg 2mg k 2m2g2 k ，B 正确；物体 的动能、重力势能和弹簧的弹性势能总量守恒，C 错误；当物体运动到平衡位置 时，动能最
8、大，根据系统机械能守恒，有 mgxEp弹Ekm，又 mgkx，故 Ekm m2g2 k ，D 错误。 【针对训练 2】 (2021 湖北黄石二中月考)如图所示，把能在绝缘光滑水平面上 做简谐运动的弹簧振子放在水平向右的匀强电场中，小球在 O 点时，弹簧处于原 长，A、B 为关于 O 对称的两个位置，现在使小球带上负电，并让小球从 B 点静 止释放，那么下列说法正确的是( ) A.小球仍然能在 A、B 间做简谐运动，O 点是其平衡位置 B.小球从 B 运动到 A 的过程中，动能一定先增大后减小 C.小球不可能再做简谐运动 D.小球从 B 点运动到 A 点，其动能的增加量一定等于电势能的减少 答案
9、 D 解析 当弹簧弹力等于电场力时为平衡位置，此时弹簧被压缩，平衡位置不再是 O 点；由于电场力是恒力，不随弹簧的长度发生变化，而弹簧的弹力随弹簧的形 变量发生变化，由受力特点可知，小球在电场力和弹力作用下依然做简谐运动， A、 C 错误；由于 B 点的弹簧弹力大小与电场力大小关系未知，所以也无法判断 A 点两力关系，所以小球从 B 运动到 A 的过程中，动能可能先增大后减小，也可能 一直增大， B 错误； 小球在运动过程中， 动能、 弹性势能和电势能之和保持不变， 在 AB 两点时弹簧的弹性势能相等，则小球从 B 点运动到 A 点，其动能的增加量 一定等于电势能的减少，选项 D 正确。 1.
10、(简谐运动的动力学分析)(2021 河南林州市林虑中学月考)如图所示，将弹簧振 子从平衡位置拉下一段距离 x，释放后振子在 AB 间振动。设 AB20 cm，振子 由 A 到 B 时间为 0.1 s，则下列说法正确的是( ) A.振子的振幅为 20 cm，周期为 0.2 s B.振子在 A、B 两处受到的回复力分别为 kxmg 与 kxmg C.振子在 A、B 两处受到的回复力大小都是 kx D.振子一次全振动通过的路程是 20 cm 答案 C 解析 AB 间距离为 20 cm，故振幅为 10 cm，选项 A 错误；根据 Fkx 可知在 AB 两处回复力大小都为 kx，B 错误，C 正确；振子
11、完成一次全振动经过的路程 为 40 cm，D 错误。 2.(简谐运动的动力学分析)公路上匀速行驶的货车受一扰动， 车上货物随车厢底板 上下振动但不脱离底板。一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动，周 期为 T。设竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，其振动图像如图所示， 则 ( ) A.t1 4T 时，货物对车厢底板的压力最大 B.t1 2T 时，货物对车厢底板的压力最小 C.t3 4T 时，货物对车厢底板的压力最大 D.t3 4T 时，货物对车厢底板的压力最小 答案 C 解析 货物对车厢底板的压力最小时，则车厢底板对货物的支持力最小，此时货 物向下的加速度最大，由振动图像可知在T 4
12、时，货物向下的加速度最大，在 T 2时， 货物加速度为零，所以选项 A、B 错误；货物对车厢底板的压力最大时，车厢底 板对货物的支持力最大，此时货物向上的加速度最大，由振动图像可知在3 4T 时， 货物向上的加速度最大，则选项 C 正确，D 错误。 3.(简谐运动的能量分析)(多选)(2021 河北省玉田县第一中学月考)如图所示， 一弹 簧振子在 B、C 间做简谐运动，平衡位置为 O，振幅为 A，已知振子的质量为 M。 若振子运动到 C 处时，将一质量为 m 的物体放到 M 的上面，m 和 M起运动且 无相对滑动，下列叙述正确的是( ) A.振幅不变 B.振幅减小 C.最大动能不变 D.最大动
13、能减小 答案 AC 解析 由题意可得，地面光滑，在物体 M 上放 m 后，不改变原来系统的能量， 所以不改变最大的弹性势能，由于弹 性势能与振子的质量无关， 所以振幅不变； 在弹性势能为 0 时， 物体有最大速度， 由于总能量不变，所以最大动能不变，故 A、C 正确。 4.(简谐运动的能量分析)如图 1 所示，轻弹簧上端固定，下端悬吊一个钢球，把钢 球从平衡位置向下拉下一段距离 A， 由静止释放。 以钢球的平衡位置为坐标原点， 竖直向上为正方向建立 x 轴，当钢球在振动过程中某一次经过平衡位置时开始计 时，钢球运动的位移时间图像如图 2 所示。已知钢球振动过程中弹簧始终处于 拉伸状态，则( ) A.t1时刻钢球处于超重状态 B.t2时刻钢球的速度方向向上 C.t1t2时间内钢球的动能逐渐增大 D.t1t2时间内钢球的机械能逐渐减小 答案 D 解析 从图中可知 t1时刻钢球正向下向平衡位置运动，即向下做加速运动，加速 度向下，所以处于失重状态，A 错误；从图中可知 t2时刻正远离平衡位置，所以 速度向下，B 错误；t1t2时间内小球先向平衡位置运动，然后再远离平衡位置， 故速度先增大后减小，即动能先增大后减小，C 错误；t1t2时间内小球一直向下 运动，弹簧弹力恒向上，做负功，所以小球的机械能减小，D 正确。
