1、专题拓展课二专题拓展课二 运动图像与追及相遇问题运动图像与追及相遇问题 学习目标要求 1知道一般直线运动和匀变速直线运动的 st 图像和 vt 图像中坐标、斜率、 截距、交点的含义，能根据图像分析加速度、位移等量及物体的运动。2.掌握追 及相遇问题的分析思想和方法。 拓展点 1 运动图像问题 1st 图像与 vt 图像的比较 比较内容 st 图像 vt 图像 图像 物理意义 反映的是位移随时间的变化 规律 反映的是速度随时间的变 化规律 物体的运动 性质 表示物体从位移为正处开始 一直做负向匀速直线运动并 过零位置处 表示物体先做正向匀减速 直线运动，再做负向匀加 速直线运动 表示物体静止不动
2、 表示物体做正向匀速直线 运动 表示物体从坐标原点开始做 正向匀速运动 表示物体从静止开始做正 向匀加速直线运动 表示物体做加速直线运动 表示物体做加速度逐渐增 大的加速直线运动 图像与坐标轴围成的 “面积”的意义 无实际意义 表示相应时间内的位移 2.对 st 图像的认识 (1)位移时间图像反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律，图像并 非物体运动的轨迹。 (2)位移时间图像只能描述物体做直线运动的情况，这是因为位移时间图像 只能表示物体运动的两个方向：t 轴上方代表正方向，t 轴下方代表负方向；如果 物体做曲线运动，则画不出位移时间图像。 (3)位移时间图线上每一点的斜率表示物体该时
3、刻的速度，斜率的大小表示速 度的大小，斜率的正负表示速度的方向。 3用 vt 图像巧得四个运动参量 (1)运动速度：从速度轴上直接读出。 (2)运动时间：从时间轴上直接读出时刻，取差值得到运动时间。 (3)运动加速度：从图线的斜率得到加速度，斜率的大小表示加速度的大小，斜 率的正负反映了加速度的方向。 (4)运动的位移： 从图线与时间轴围成的面积得到位移， 图线与时间轴围成的“面 积”表示位移的大小，第一象限的面积表示与规定的正方向相同，第四象限的面 积表示与规定的正方向相反。 【例 1】 (2020 山东德州市高一期末)如图所示为直升机由地面垂直起飞过程的 vt 图像，则关于飞机的运动，下列
4、说法正确的是( ) A515 s 内飞机在空中处于悬停状态 B1520 s 内飞机匀减速下降 C20 s 内飞机上升的高度最大 D20 s 时飞机的加速度为零 答案 C 解析 由图像可知，515 s 内飞机匀速向上运动，故 A 错误；1520 s 内飞机 匀减速向上运动，故 B 错误；20 s 时，速度由正值变为负值，表明飞机从 20 s 时从上升变为下降，则 20 s 时上升的高度最大，故 C 正确；20 s 时飞机加速度 不为零，故 D 错误。 【针对训练 1】 (多选)(2021 江西赣州十四县高一期中联考)如图甲为某高速公 路出口的 ETC 通道示意图。一汽车驶入通道，到达 O 点的速
5、度 v022 m/s，此 时开始减速，到达 M 时速度减至 v6 m/s，并以 6 m/s 的速度匀速通过 MN 区， 汽车从O运动到N共用时10 s， vt图像如图乙所示， 则下列计算正确的是( ) A汽车减速运动的加速度大小 a4 m/s2 BO、M 间中点的速度为 14 m/s CO、M 间的距离为 56 m D汽车在 ON 段平均速度大小为 9.2 m/s 答案 ACD 解析 根据速度时间图线可知，汽车减速运动的加速度大小 av tv0 t 22 m/s6 m/s 4 s 4 m/s2， 故 A 正确； 根据图线围成的面积知， OM 的距离 s1 2(6 22)4 m56 m，故 C
6、正确；设 OM 中点的速度为 v，根据位移速度关系式 有 v2v202as 2，解得 v 260 m/s，故 B 错误；根据图线围成的面积知，ON 段的位移 s56 m66 m92 m，则 ON 段的平均速度v s t 92 m 10 s 9.2 m/s， 故 D 正确。 【例 2】 (多选)甲、乙两物体同时开始做直线运动，它们的位移 s 与时间 t 的图 像如图所示，则( ) A甲物体做匀加速直线运动，乙物体做曲线运动 Bt2时刻两物体速度相等 C出发时乙在甲前 s0处 D甲、乙两物体有两次相遇 答案 CD 解析 由于图像是 st 图像，过原点的直线表示物体做匀速直线运动，所以甲 做匀速直线
7、运动，选项 A 错误；t2时刻，乙物体速度大于甲物体的速度，选项 B 错误；甲从原点出发，乙从 s0处出发，选项 C 正确；由图看出，甲、乙有两个 交点，故两物体有两次相遇，选项 D 正确。 【针对训练 2】 (多选)(2021 湖北孝感八校教学联盟高一期中)物体甲的 st 图 像和物体乙的 vt 图像分别如图所示，则这两物体的运动情况是( ) A甲在整个 t6 s 时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为 4 m B甲在整个 t6 s 时间内有来回运动，它通过的总位移为零 C乙在整个 t6 s 时间内有来回运动，它通过的总位移为零 D乙在整个 t6 s 时间内运动方向一直不变，平均速率为
8、 1 m/s 答案 AC 解析 位移时间图像的斜率等于速度，可知，甲在整个 t6 s 时间内一直沿正 向运动，运动方向一直不变，做匀速直线运动，通过的总位移大小为 s2 m (2 m)4 m，故 A 正确，B 错误；乙在 03 s 内沿负向做匀减速直线运动，位 移为 s13 m；3 s 后沿正向做匀加速直线运动，位移为 s23 m；故总位移为 ss1s20，故 C 正确，D 错误。 拓展点 2 追及相遇问题 1追及相遇问题 两物体在同一直线上一前一后运动，它们之间的距离发生变化时，可能出现最大 距离、最小距离或者距离为零的情况，这类问题称为追及相遇问题，讨论追及相 遇问题的实质是两物体能否在同
9、一时刻到达同一位置。 2追及、相遇问题的分析方法 追及、相遇问题中的一个条件、两个关系和三点技巧 3追及和相遇问题的两点提醒 (1)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意，追上前该物体是否停止运动。 (2)仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚 好”“恰好”“最多”“至少”等，这时往往对应一个临界状态，满足相应的临 界条件。 4解决追及、相遇问题的方法 (1)物理分析法： 通过对物理情景和物理过程的分析， 找到临界状态和临界条件， 然后列出方程求解。 (2)数学分析法：因为在匀变速直线运动的位移表达式中有时间的二次方，我们 可列出方程，利用二次函数求极值的方法求解
10、。 (3)图像法： 分别作出两个物体的 vt 图像， 借助图像分析两个物体的位移关系。 【例 3】 一辆汽车在十字路口等红灯，当绿灯亮时汽车以 3 m/s2的加速度开始 行驶。恰在这时一辆自行车以 6 m/s 的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求： (1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远，此时距 离是多少？ (2)什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？ 答案 (1)2 s 6 m (2)4 s 12 m/s 解析 方法一 用运动学公式求解。 (1)汽车开动后速度由 0 逐渐增大，而自行车的速度是定值。当汽车的速度小于 自行车的速度时，两车的距离将越来越大，而一
11、旦汽车的速度加速到超过自行车 的速度时，两车的距离就将缩小。因此两者速度相等时两车相距最远(以上分析 紧紧抓住了“速度关系”及“位移关系”)，有 v汽atv自，所以 tv 自 a 6 m/s 3 m/s2 2 s， sv自t1 2at 26 m/s2 s1 23 m/s 222s26 m。 (2)汽车追上自行车时，两车位移相等，则 v自tat 2 2 ， 代入数据解得 t4 s。 故 vat3 m/s24 s12 m/s。 方法二 用数学中求极值的方法来求解。 (1)设汽车在追上自行车之前经时间 t 两车相距最远。 因为 ss1s2v自t1 2at 2， 所以 s6t3 2t 2， 由二次函数
12、求极值条件知，t 6 m/s 3 m/s22 s 时，s 最大。 所以 smax6t3 2t 26 m。 (2)同方法一中的(2)。 方法三 用图像求解。 (1)自行车和汽车的 vt 图像如图所示，因为图线与横坐标轴所包围的面积表示 位移的大小，所以由图像可以看出：在相遇之前，在 t 时刻两车速度相等时，自 行车的位移(矩形面积)与汽车的位移(三角形面积)之差(即阴影部分)达到最大。 所以 tv 自 a 6 m/s 3 m/s22 s， sv自t1 2at 26 m/s2 s1 23 m/s 222 s26 m。 (2)由图可看出：在 t 时刻以后，当自行车与汽车的 vt 图像围成的三角形面积
13、 与标有阴影的三角形面积相等时， 两车的位移相等(即相遇)。 所以由图得相遇时， t2t4 s，v2v自12 m/s。 【针对训练 3】 汽车正以 10 m/s 的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方 有一辆自行车以 4 m/s 的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加 速度大小为 6 m/s2 的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车，求关闭油门时汽车 离自行车多远？ 答案 3 m 解析 方法一 在汽车做匀减速运动的过程中，自行车仍在做匀速运动。当汽车 的速度大于自行车速度时， 两车间距离逐渐减小； 当两车速度相等时， 距离最小， 当汽车速度小于自行车速度时，距离增大。因此，当汽车速度
14、减小到与自行车速 度相等没有碰撞时，便不会碰撞。因而开始时两车间距离等于汽车与自行车位移 之差。汽车减速到 4 m/s 时，发生的位移和运动的时间分别为 s汽v 2 自v2汽 2a 16 m 2/s2100 m2/s2 2（6 m/s2） 7 m tv 自v汽 a 4 m/s10 m/s 6 m/s2 1 s， 这段时间内自行车发生的位移为 s自v自t4 m/s1 s4 m， 汽车关闭油门时离自行车的距离为 ss汽s自(74) m3 m。 方法二 利用 vt 图像进行求解，如图所示，直线、分别是汽车与自行车 的运动图线， 图中阴影部分的面积表示当两车车速相等时汽车比自行车多发生的 位移，即为汽
15、车关闭油门时离自行车的距离 s。图线的斜率即为汽车减速运动 的加速度，所以应有 s（v 汽v自）t 2 （v 汽v自） 2 （v 自v汽） a 3 m。 1(st 图像)两质点 A、B 从同一地点开始运动，st 图像如图所示，则下列说 法正确的是( ) AA 做直线运动，B 做曲线运动 B两质点在 4 s 末速度相等 C两质点在前 8 s 的路程相等 D两质点在前 8 s 的位移大小相等 答案 C 2(vt 图像)2020 年 7 月 23 日，中国首个火星探测器“天问一号”在中国文昌 发射中心成功发射。 假设发射“天问一号”的火箭某段时间内由地面竖直向上运 动，该段时间内火箭的 vt 图像可
16、简化为如图乙所示，由图像可知( ) A0t1时间内火箭的加速度小于 t1t2时间内火箭的加速度 B在 0t2时间内火箭上升，t2t3时间内火箭下落 Ct2时刻火箭离地面最远 Dt3时刻火箭回到地面 答案 A 解析 由所给图像的斜率知， 0t1时间段内火箭的加速度小于 t1t2时间段内火 箭的加速度，A 正确；火箭在 0t3时间段内速度方向没有变化，一直为正，故 0t3时间段内火箭上升，B 错误；t3时刻火箭上升到最高点，距地面最远，C、 D 错误。 3(运动图像与追及相遇结合)(2021 辽宁鞍山市高一期中)如图所示的位置时 间图像，分别表示同一直线公路上的两辆车 a、b 的运动情况。则下列表
17、述正确 的是( ) At2时刻两车的速率相等 B0t1时间内的某一时刻两车相距最远 C0 时刻 a 车在 b 之后 D0t2时间内 a 车的速率大于 b 车 答案 B 解析 图像斜率表示速度， t2时刻 a 车速度为 0， b 车有正向速度， 故 A 错误； 0 t1时间内存在 N 点使两图像斜率相等，如图，即两车速度相等(临界点)，0t1 时间内的 N 点，两图像 s 方向距离最大，即两车相距最远；0 时刻两车处于同一 位置； N 点之前 a 车的速度大， N 点之后 b 车的速度大， 故 B 正确，C、 D 错误。 4(运动图像的应用)(2021 山东临朐一中高一上学期检测)如图甲所示，在
18、一次 爆破演习中，爆破队员点火后立即以最大加速度 a 向外奔跑 8 m 达最大速度 v， 然后以速度 v 向外做匀速运动，其速度时间图像如图乙所示，若导火索的火焰 顺着导火索燃烧的速度是 0.8 cm/s，为了使点火队员在导火索火焰烧到爆炸物以 前能够跑到离点火处 120 m 远的安全地方处，问： (1)队员奔跑时的最大加速度 a 多大； (2)导火索至少需要多长才行。 答案 (1)4 m/s2 (2)12.8 cm 解析 (1)从图像可知人在 02 s 内做匀加速运动，其加速度 av t4 m/s 2。 (2)队员做匀速运动的距离 s120 m8 m112 m， 所需的时间为 t1，t1s v 112 m 8 m/s 14 s 由此可得人跑到安全距离所用的总时间为 t2tt12 s14 s16 s 导火索的长度至少为 svt20.8 cm/s16 s12.8 cm。
