1、第七节 n 次独立重复试验与二项分布 命题分析预测 学科核心素养 本节是高考的热点，主要命题点有： （1）相互独立事件的概 率、条件概率，常以选择题、填空题的形式出现； （2）二项 分布的概念、特征和相关计算，常以解答题的形式出现 本节通过实际问题中二项分布 的应用考查考生的数据分析、 数学运算、 数学建模核心素养 授课提示：对应学生用书第 224 页 知识点一 条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 已知 B 发生的条件下，A 发生的概率，称为 B 发生时 A 发生的 条件概率，记为 P（A|B） 当 P（B）0 时，我们有 P（A|B）P（AB） P（B） （其中，AB 也 可以记成 A
2、B） 类似地， 当 P （A） 0 时， A 发生时 B 发生的条件概率为 P （B|A） P（AB） P（A） （1）0P（B|A）1； （2）如果 B 和 C 是两个互 斥事件，则 P（BC|A） P（B|A）P（C|A） 温馨提醒 P（B|A）与 P（A|B）易混淆为等同 前者是在 A 发生的条件下 B 发生的概率，后者是在 B 发生的条件下 A 发生的概率 1某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 075，连续两天为优良 的概率是 06，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A08 B075 C06 D045 解析： 在某天的空气质量为优
3、良的条件下， 随后一天的空气质量为优良的概率 P 0.6 0.750 8 答案：A 2已知盒中装有 3 个红球、2 个白球、5 个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球， 甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为 _ 解析：设 A第一次拿到白球，B第二次拿到红球， 则 P（AB） C12 C110 C13 C19，P（A） C12 C110， 所以 P（B|A）P（AB） P（A） 1 3 答案：1 3 知识点二 相互独立事件 事件的相互独立性 （1）定义：设 A，B 为两个事件，若 P（AB）P（A）P（B） ，则称事件 A 与事件 B 相互独 立 （
4、2）性质： 若事件 A 与 B 相互独立，则 P（B|A）P（B） ，P（A|B）P（A） ，P（AB）P（A）P（B） 如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与B ，A 与 B，A 与B 也相互独立 温馨提醒 互斥事件强调两事件不可能同时发生，即 P（AB）0，相互独立事件则强调一个事件的发生 与否对另一个事件发生的概率没有影响 1 （2021 金华一中模拟）春节放假，甲回老家过节的概率为1 3，乙、丙回老家过节的概率分别 为1 4， 1 5，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少 1 人回老家过节的概率为 （ ） A59 60 B3 5 C1 2 D 1 60 解析：“甲、
5、乙、丙回老家过节”分别记为事件 A，B，C，则 P（A）1 3，P（B） 1 4，P（C） 1 5，所以 P（A ）2 3，P（B ）3 4，P（C ）4 5由题知 A，B，C 为相互独立事件，所以三 人都不回老家过节的概率 P（A B C ）P（A ）P（B ）P（C ）2 3 3 4 4 5 2 5，所以至少有一 人回老家过节的概率 P12 5 3 5 答案：B 2天气预报监测到在元旦假期甲地降雨概率是 02，乙地降雨概率是 03假设在这段时 间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为_ 解析：设甲地降雨为事件 A，乙地降雨为事件 B，则两地恰有一地降雨为 AB
6、A B， 所以 P（AB A B）P（AB ）P（A B） P（A）P（B ）P（A ）P（B） 02070803 038 答案：038 知识点三 独立重复试验与二项分布 独立重复试验 二项分布 定义 在相同条件下重复做的 n 次试 验称为 n 次独立重复试验 在 n 次独立重复试验中， 用 X 表示事件 A 发生的次 数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，此时称 随机变量 X 服从二项分布，记作 XB（n，p） ，并 称 p 为成功概率 计算 公式 Ai（i1，2，n）表示第 i 次试验结果， 则 P （A1A2A3An） P（A1）P（A2）P（An） 在 n 次独立重复试验中，事件
7、 A 恰好发生 k 次的概 率为 P（Xk）Cknpk（1p） nk（k0，1，2， n） 1有 3 位同学参加某项测试，假设每位同学能通过测试的概率都是1 2，且各人能否通过测试 是相互独立的，则至少有二位同学能通过测试的概率为（ ） A1 8 B3 8 C1 2 D7 8 解析：所求概率 PC23 1 2 2 1 2C 3 3 1 2 3 1 2 答案：C 2设随机变量 XB 6，1 2 ，则 P（X3）_ 解析：因为 XB 6，1 2 ，所以 P（X3）C36 1 2 3 11 2 3 5 16 答案： 5 16 授课提示：对应学生用书第 225 页 题型一 条件概率 1 （2021 桂
8、林调研）某盒中装有 10 只乒乓球，其中 6 只新球、4 只旧球，不放回地依次摸出 2 个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（ ） A3 5 B5 9 C 1 10 D2 5 解析：第一次取出新球后，剩下 5 只新球，4 只旧球，所以在第一次取出新球的前提下，第二 次也取出新球的概率为5 9 答案：B 2某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为1 2， 两次闭合后都出现红灯的概率为1 5，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红 灯的概率为（ ） A 1 10 B1 5 C2 5 D1 2 解析：设“开关第一次闭合后出现红灯
9、”为事件 A，“第二次闭合后出现红灯”为事件 B，则 由题意可得 P（A）1 2，P（AB） 1 5，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现 红灯的概率是 P（B|A）P（AB） P（A） 1 5 1 2 2 5 答案：C 3如图，四边形 EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到 该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形 OHE（阴 影部分）内”，则 P（B|A）_ 解析：由题意可得，事件 A 发生的概率 P（A）S 正方形EFGH S圆O 2 2 12 2 事件 AB 表示“豆 子落在EOH 内”，则 P
10、（AB）S EOH S圆O 1 21 2 12 1 2， 故 P（B|A）P（AB） P（A） 1 2 2 1 4 答案：1 4 条件概率的三种求法 定义法 先求 P（A）和 P（AB） ，再由 P（B|A）P（AB） P（A） 求 P（B|A） 基本事 件法 借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n（A） ，再求事件 AB 所 包含的基本事件数 n（AB） ，得 P（B|A）n（AB） n（A） 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典 概型求解，它能化繁为简 题型二 相互独立事件的概率 例 （2020 高考全国卷）甲、乙、丙三位同学进行
11、羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮 空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人 继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为1 2 （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率 解析 （1）甲连胜四场的概率为 1 16 （2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为 1 16；乙连胜四场的概率为 1 16； 丙
12、上场后连胜三场的概率为1 8 所以需要进行第五场比赛的概率为 1 1 16 1 16 1 8 3 4 （3）丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为1 8； 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种 情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 1 16， 1 8， 1 8 因此丙最终获胜的概率为1 8 1 16 1 8 1 8 7 16 相互独立事件同时发生的概率的 2 种求法 （1）直接法：利用相互独立事件的概率乘法公式 （2）间接法：从对立事件入手计算 对点训练 （2019 高考全国卷）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，
13、当某局打成 1010 平后，每 球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假 设甲发球时甲得分的概率为 05，乙发球时甲得分的概率为 04，各球的结果相互独立在 某局双方 1010 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束 （1）求 P（X2） ； （2）求事件“X4 且甲获胜”的概率 解析： （1） X2 就是 1010 平后， 两人又打了 2 个球该局比赛结束， 则这 2 个球均由甲得分， 或者均由乙得分因此 P（X2）0504（105）（104）05 （2）X4 且甲获胜，就是 1010 平后，两人又打了 4 个球该局比赛结束，且这 4 个球
14、的得 分情况为：前两球是甲、乙各得 1 分，后两球均为甲得分 因此所求概率为05（104）（105）04050401 题型三 独立重复试验与二项分布 例 某工厂的某种产品成箱包装， 每箱 200 件， 每一箱产品在交付用户之前要对产品做检验， 如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件做检验，再根据检 验结果决定是否对余下的所有产品做检验设每件产品为不合格品的概率都为 p（0p0；当 p（01，1）时，f（p）400，故应该对余下的产品作检验 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 （1）在求 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首先要确定好 n
15、 和 k 的值，再准 确利用公式求概率 （2）在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确 定二项分布的试验次数 n 和变量的概率，继而求得概率 对点训练 在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投 6 个球，至少投进 4 个球且最后 2 个球都 投进者获奖；否则不获奖已知教师甲投进每个球的概率都是2 3 （1）记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X，求 X 的分布列； （2）求教师甲在一场比赛中获奖的概率 解析： （1）X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5，6 依条件可知 XB 6，2 3 P（Xk）Ck6 2 3 k 1 3 6k （k0
16、，1，2，3，4，5，6） X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 6 P 1 729 12 729 60 729 160 729 240 729 192 729 64 729 （2）设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A， 则 P（A）C24 1 3 2 2 3 4 C141 3 2 3 5 2 3 6 32 81 所以教师甲在一场比赛中获奖的概率为32 81 二项分布应用中的核心素养 数学建模二项分布的优化决策应用 例 （2021 太原模拟）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖抽 奖规则如下： 1抽奖方案有以下两种：方案 a：从装有 2 个红球、3 个白球（仅颜色不同
17、）的甲袋中随机 摸出 2 个球，若都是红球，则获得奖金 30 元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋 中；方案 b：从装有 3 个红球、2 个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出 2 个球，若都是红 球，则获得奖金 15 元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中 2抽奖条件：顾客购买商品的金额满 100 元，可根据方案 a 抽奖一次；满 150 元，可根据方 案 b 抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为 260 元，则该顾客可以根据方案 a 抽奖两次或 方案 b 抽奖一次或方案 a，b 各抽奖一次） 已知顾客 A 在该商场购买商品的金额为 350 元 （1）若顾客 A 只选择方案 a
18、 进行抽奖，求其所获奖金的期望； （2）要使所获奖金的期望值最大，顾客 A 应如何抽奖？ 解析 （1）按方案 a 抽奖一次，获得奖金的概率 PC 2 2 C25 1 10 顾客 A 只选择方案 a 进行抽奖，则其可以按方案 a 抽奖三次 此时中奖次数服从二项分布 B 3， 1 10 设所得奖金为 w1元，则 Ew13 1 10309 即顾客 A 所获奖金的期望为 9 元 （2）按方案 b 抽奖一次，获得奖金的概率 P1C 2 3 C25 3 10 若顾客 A 按方案 a 抽奖两次，按方案 b 抽奖一次，则由方案 a 中奖的次数服从二项分布 B1 2， 1 10 ，由方案 b 中奖的次数服从二项
19、分布 B2 1， 3 10 ， 设所得奖金为 w2元，则 Ew22 1 10301 3 1015105 若顾客 A 按方案 b 抽奖两次，则中奖的次数服从二项分布 B3 2， 3 10 设所得奖金为 w3元，则 Ew32 3 10159 结合（1）可知，Ew1Ew3Ew2 所以顾客 A 应该按方案 a 抽奖两次，按方案 b 抽奖一次 求解二项分布与统计的交汇问题关键在于事件的分析与统计数据的准确使用 对点训练 空气质量指数（Air Quality Index，简称 AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按 照 AQI 大小分为六级：050 为优；51100 为良；101150 为轻度污
20、染；151200 为中度 污染；201300 为重度污染；300 以上为严重污染 一环保人士记录去年某地六月 10 天的 AQI 的茎叶图如图所示 （1）利用该样本估计该地六月空气质量为优良（AQI100）的天数； （2）将频率视为概率，从六月中随机抽取 3 天，记三天中空气质量为优良的天数为 ，求 的分布列 解析： （1）从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为 2，空气质量为良的天数为 4， 所以该样本中空气质量为优良的频率为 6 10 3 5，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为 303 518 （2）由（1）估计某天空气质量为优良的概率为3 5， 的所有可能取值为 0，1，2，3，且 B 3，3 5 所以 P（0） 2 5 3 8 125， P（1）C13 3 5 2 5 2 36 125， P（2）C23 3 5 2 2 5 54 125， P（3） 3 5 3 27 125 的分布列为 0 1 2 3 P 8 125 36 125 54 125 27 125
