1、第五节第五节 指数与指数函数指数与指数函数 【知识重温】【知识重温】 一、必记 4 个知识点 1根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果_，那么 x 叫做 a 的 n 次方根. n1 且 nN* 当 n 为奇数时， 正数的 n 次方根是一个 _，负数的 n 次方根是一个 _. n a 零的 n 次 方根是零 当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有 _，它们互为 _. n a 负数没有 偶次方根 (2)两个重要公式 ()nan |a| a0 a0，m，nN*，n1) (2)正数的负分数指数幂是： m n a _(a0， m， nN*， n1) (3)0 的正分数指数幂是_，0 的
2、负分数指数幂无意义 3有理指数幂的运算性质 (1)ar as_(a0，r，sQ) (2)(ar)s_(a0，r，sQ) (3)(ab)r_(a0，b0，rQ) 4指数函数的图象与性质 a1 0a0，a1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特别注意区分 a1 还是 0a0 且 a1)是 R 上的增函数( ) (4)函数 yax(a0 且 a1)与 x 轴有且只有一个交点( ) (5)若 aman，则 mn.( ) (6)函数 yax与 ya x(a0，且 a1)的图象关于 y 轴对称( ) 二、教材改编 2如图，中不属于函数 y2x，y6x，y(1 2) x的一个是( ) A B C D 3已知
3、函数 f(x)a 2 2x1(aR)为奇函数，则 a_. 三、易错易混 4式子 a 1 a化简得( ) A. a B. a C a D a 5若函数 yax(a0 且 a1)在1,2上的最大值与最小值的差为a 2，则 a 的值为( ) A.1 2 B. 3 2 C. 2 3或 2 D. 1 2或 3 2 四、走进高考 62019 全国卷已知 alog20.2，b20.2，c0.20.3则( ) Aabc Bacb Ccab Dbc0) C(2)01 D(a1 4) 41 a(a0) 2化简：(a2 5 a3) ( a 10 a9)_(用分数指数幂表示) 3. 61 4 1 2 0.002 10
4、( 52) 1 5 9 0 2 3 3 ( 2) 的值为_ 4若 1 2 x 1 2 x 3，则 33 22 22 2 3 xx xx 的值为_ 悟 技法 注意 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形 式力求统一. 考点二 指数函数的图象及应用互动讲练型 例 1 (1)2021 贵阳监测已知函数 f(x)42ax 1 的图象恒过定点 P，则点 P 的坐标是 ( ) A(1,6) B(1,5) C(0,5) D(5,0) (2)函数 f(x)21 x 的大致图象为( ) 悟 技法 有关指数函数图象问题的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选
5、项中的图象是否过这些点，若不满 足则排除 (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸 缩、对称变换而得到特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论 (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解 (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线 x1 与图象的交点进行判断. 变式练(着眼于举一反三) 1函数 yaxa(a0，且 a1)的图象可能是( ) 2若函数 y|3x1|在(，k上单调递减，则 k 的取值范围为_ 考点三 指数函数的性质及其应用 分层深化型 考向一：比较指数幂的大小 例 2
6、 2021 许昌四校联考设 a，b 满足 0ab1，则下列不等式中正确的是( ) Aaaab Bbabb Caaba Dbb 1 2 x4的解集为_ 考向三：探究指数型函数的性质 例 4 (1)函数 f(x) 2 21 1 ( ) 2 xx 的单调递减区间为_ (2)已知函数 f(x)2|2x m|(m 为常数)，若 f(x)在区间2，)上是增函数，则 m 的取值范围 是_ 悟 技法 应用指数函数性质的常见 3 大题型及求解策略 题型 求解策略 比较幂值 的大小 (1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小； (2) 不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小 解简单指数 不等
7、式 先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般 不等式求解 探究指数型 函数的性质 与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域) 等性质的方法一致 提醒 在研究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨 论. 变式练(着眼于举一反三) 3已知 a 2 3 1 ( ) 2 ，b 4 3 2 ，c 1 3 1 ( ) 2 ，则下列关系式中正确的是( ) Acab Bbac Cacb Dabc 4若 2 1 2x 1 4 x2，则函数 y2x的值域是( ) A. 1 8，2 B. 1 8，2 C. ，1 8 D2，) 52019 北京卷设函数 f(x
8、)exae x(a 为常数)若 f(x)为奇函数，则 a_；若 f(x)是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是_ 第五节第五节 指数与指数函数指数与指数函数 【知识重温】【知识重温】 xna 正数 负数 两个 相反数 a a a a n am 1 m n a 1 n am 0 ar s ars arbr R (0，) 增函数 减函数 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2解析：已知其中的三个函数都是指数函数，指数函数的图象一定过点(0,1)，图象不 过点(0,1)，故选 B. 答案：B 3解析：由 f(x)f(x)， 得：a 2 2 x1a 2
9、2x1， 即 2a 2 2x1 2 2 x1， 2 2x1 2 2 x12，a1. 答案：1 4解析：由题意知 a1 时，yax在1,2上的最大值为 a2，最小值为 a， 故有 a2aa 2，解得 a 3 2或 a0(舍去) 当 0a1 时，yax在1,2上的最大值为 a，最小值为 a2，故有 aa2a 2， 解得 a1 2或 a0(舍去) 综上 a3 2或 a 1 2. 答案：D 6解析：alog20.2201,0c0.20.30.201， acb. 答案：B 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：对于 A，(2) 21 4，故 A 正确；对于 B,2a 32 a3，故 B 错误；对于
10、C，(2) 0 1，故 C 正确；对于 D，(a1 4) 41 a，故 D 正确 答案：B 2解析：(a2 5 a3) ( a 10 a9)(a2 3 5 a ) ( 1 2 a 9 10 a ) 13 5 a 7 5 a 13 7 55 a 6 5 a 答案： 6 5 a 3解析：原式 5 2 2 1 2 500 10( 52)1 2 3 3 (2 ) 5 210 510 5201 2 22.5210.2518.25. 答案：18.25 4解析：由 1 2 x 1 2 x 3，得 xx 129，所以 xx17，所以 x2x2249，所 以 x2x 247.因为 3 2 x 3 2 x ( 1
11、 2 x 1 2 x )33( 1 2 x 1 2 x )27918，所以原式182 473 2 5. 答案：2 5 考点二 例 1 解析：(1)由 x10 得 x1，f(1)42a06.所以函数 f(x)42ax 1的图象恒过 定点(1,6) (2)函数 f(x)21 x在 R 上是减函数，其图象过点(0,2)，故选 A. 答案：(1)A (2)A 变式练 1解析：函数 yaxa 的图象过点(1,0)，排除 A，B，D. 答案：C 2解析：函数 y|3x1|的图象是由函数 y3x的图象向下平移一个单位后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的，函数图象如图所示 由图象知
12、，其在(，0上单调递减，所以 k 的取值范围为(，0 答案：(，0 考点三 例 2 解析：指数函数 yax(0a1)为减函数，因为 aab，A 错误；指数函数 ybx(0b1)为减函数，因为 abb，B 错误；幂函数 yxa(0a1)在(0，)上为 增函数，又 ab，所以 aaba，C 正确；由幂函数 yxb(0b1)在(0，)上为增函数，又 aab，D 错误 答案：C 例 3 解析： 2 2 2 xx 1 2 x4， 2 2 1 ( ) 2 xx 1 2 x4， x22xx4，x23x40，解得1x4. 答案：x|1x 2 3 1 3，所以 4 3 1 ( ) 2 2 3 1 ( ) 2 0，a0，即 a 的取值范围是(，0 答案：1 (，0
