1、微专题微专题(十八十八) 数学运算数学运算巧用平面向量的坐标运算巧用平面向量的坐标运算 数学运算包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运 算程序，求得运算结果等 例 如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，动圆 Q 的半径为 1，圆心 Q 在线段 BC(含端 点)上运动，P 是圆 Q 上及内部的动点，设向量AP mABnAD (m，n 为实数)，则 mn 的取 值范围是( ) A. 1 2 4 ，2 2 4 B. 3 4，2 2 4 C. 3 4， 9 4 D. 1 2 4 ，9 4 解析：如图建立平面直角坐标系，则AB (4,0)，AD (0,4)，AP mA
2、BnAD (4m,4n)， 设Q(4， t)， t0,4则P在圆(x4)2(yt)21上， 设P(4cos ， tsin )， 则 4cos 4m， tsin 4n， 4m4n4t 2sin 4 ，当 t0，5 4 时，mn 取得最小值 1 2 4 ，当 t4， 4时， mn 取得最大值 2 2 4 ，所以 mn 的取值范围是 1 2 4 ，2 2 4 . 答案：A 名师点评 (1)利用图形中现成的垂直关系 若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以利用这两 条直线建立坐标系； (2)利用图形中的对称关系 图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关
3、系(如：等腰三角形、 等腰梯形等)，可利用自身对称性建系建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点在 坐标轴上，或在同一象限 变式练 如图 2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点 O 且三组对边 分别平行 点 A， B 是“六芒星”(如图 1)的两个顶点 动点 P 在“六芒星”上(内部以及边界)， 若OP xOA yOB ，则 xy 的取值范围是( ) A.4，4 B. 21， 21 C.5，5 D.6，6 微专题微专题(十八十八) 变式练 解析：如图建立平面直角坐标系，令正三角形边长为 3，i 为 x 轴正方向的单位向量，j 为 y 轴正方向的单位向量，则OB i，OA 3 2i 3 2 j，可得 iOB ，j2 3 3 OA 3OB ，由图知 当 P 在 C 点时有，OP 3j2OA 3OB ，此时 xy 有最大值 5，同理点 P 在与 C 相对的下 顶点时有OP 3j2OA 3OB ，此时 xy 有最小值5. 答案：C
