1、微专题微专题(五五) 三个三个“二次二次”间的转化间的转化 例 若二次函数 f(x)ax2bxc(a0)满足 f(x1)f(x)2x，且 f(0)1. (1)求 f(x)的解析式； (2)若在区间1,1上，不等式 f(x)2xm 恒成立，求实数 m 的取值范围 解析：(1)由 f(0)1，得 c1，f(x)ax2bx1. 又 f(x1)f(x)2x， a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x， 即 2axab2x. 2a2， ab0. a1， b1. 因此，所求解析式为 f(x)x2x1. (2)f(x)2xm 等价于 x2x12xm，即 x23x1m0，要使此不等式在区间1,1 上恒成立
2、，只需使函数 g(x)x23x1m 在区间1,1上的最小值大于 0 即可 g(x)x23x1m 在区间1,1上单调递减， g(x)ming(1)m1，由m10，得 m1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(，1) 名师点评 二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，它们常结合在一起， 而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体因此，解决此类问 题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题借助函数思想研究方程、不等 式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点 变式练 若 xm，m1时，满足 x2mx10，求实数 m 的取值范围 微专题微专题(五五) 变式练 解析：设 f(x)x2mx1，则 fm0， fm10， 即 m2m m10， m12mm110， 化简得 m21 2， 2m23m0， 解得 2 2 m 2 2 ， 3 2m0， 所以 2 2 m0.则实数 m 的取值范围为 2 2 ，0 .
