1、微专题微专题(十一十一) 含含 ex，ln x 与与 x 的组合函数的解题策略的组合函数的解题策略 近几年高考压轴题常以 x 与 ex，ln x 组合的函数为基础来命制，将基本初等函数的概念， 图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或 比较大小)、求参数的取值范围(或最值)预计今后高考试题除了延续往年的命题形式，还会 更着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、转化与化归、分类整合和数形结合等思想 的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查 策略一 分离参数，设而不求 例 1 已知函数 f(x)ln x，h(x)ax(aR) (1)若函数 f(
2、x)的图象与 h(x)的图象无公共点，求实数 a 的取值范围； (2)是否存在实数 m，使得对任意的 x 1 2， ，都有 yf(x) m x的图象在 g(x) ex x的图 象下方？若存在，请求出整数 m 的最大值；若不存在，请说明理由 解析：(1)函数 f(x)的图象与 h(x)的图象无公共点，等价于方程ln x x a 在(0，)上无解， 令 t(x)ln x x ，则 t(x)1ln x x2 ，令 t(x)0，得 xe. 随着 x 的变化，t(x)，t(x)的变化如下表所示 x (0，e) e (e，) t(x) 0 t(x) 单调递增 极大值 单调递减 因为 xe 是函数 t(x)
3、唯一的极值点，所以 t(x)maxt(e)1 e， 故要使方程 ln x x a 在(0， ) 上无解，需满足 a1 e，故实数 a 的取值范围为 1 e， . (2)假设存在实数 m 满足题意，则不等式 ln xm x ex x对任意的 x 1 2， 恒成立， 即 mexxln x 对任意的 x 1 2， 恒成立 令 v(x)exxln x，则 v(x)exln x1， 令 (x)exln x1，则 (x)ex1 x. 易知 (x)在 1 2， 上单调递增， 1 2 1 2 e 20 且 (x)的图 象在 1 2，1 上连续， 所以存在唯一的 x0 1 2，1 ，使得 (x0)0，即 0 e
4、x 1 x00，则 x0ln x0. 当 x 1 2，x0 时，(x)单调递减； 当 x(x0，)时，(x)单调递增 则 (x)在 xx0处取得最小值，且最小值为 (x0) 0 ex ln x01 1 x0 x012 x0 1 x01 10， 所以 v(x)0，即 v(x)在 1 2， 上单调递增， 所以 m 1 2 e 1 2ln 1 2 1 2 e 1 2ln 21.995 29， 故存在整数 m 满足题意，且 m 的最大值为 1. 名师点评 本题分离参数后导数零点不可求，且不能通过观察得到，此时往往可以采用 设而不求的方法在第(2)小问中，通过虚设零点 x0得到 x0ln x0，将 0
5、ex ln x01 转化为 普通代数式1 x0 x01，然后使用基本不等式求出最值，同时消掉 x0，即借助 (x0)0 作整 体代换，采取设而不求的方法，达到化简并求解的目的 变式练 1 证明 exln x2. 策略二 分离 ln x 与 ex 例 2 已知函数 f(x)ax2xln x. (1)若函数 f(x)在(0，)上单调递增，求实数 a 的取值范围； (2)若 ae，证明：当 x0 时，f(x)0 时，f(x)0，即 2aln x1 x 恒成立 令 g(x)ln x1 x (x0)，则 g(x)ln x x2 ， 易知 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则 g(x)
6、maxg(1)1， 所以 2a1，即 a1 2. 故实数 a 的取值范围是 1 2， . (2)证明：若 ae，要证 f(x)xex1 e， 只需证 exln xex 1 ex，即 exe x0)，则 h(x) ex1 ex2 ， 易知 h(x)在 0，1 e 上单调递减，在 1 e， 上单调递增，则 h(x)minh 1 e 0， 所以 ln x 1 ex0. 再令 (x)exex，则 (x)eex， 易知 (x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减， 则 (x)max(1)0，所以 exex0. 因为 h(x)与 (x)不同时为 0，所以 exex1 时，不等式 fx e1 2ex
7、 1 x1xex1. 策略三 借助 exx1 和 ln xx1 进行放缩 例 3 已知函数 f(x)exa. (1)若函数 f(x)的图象与直线 l：yx1 相切，求 a 的值； (2)若 f(x)ln x0 恒成立，求整数 a 的最大值 解析：(1)f(x)ex，因为函数 f(x)的图象与直线 yx1 相切， 所以令 f(x)1，即 ex1，得 x0，即 f(0)1， 解得 a2. (2)现证明 exx1，设 F(x)exx1， 则 F(x)ex1，令 F(x)0，则 x0， 当 x(0，)时，F(x)0，当 x(，0)时，F(x)ln x， 当 a2 时，ln x0 恒成立 当 a3 时，
8、存在 x，使 exaln x 不恒成立 综上，整数 a 的最大值为 2. 名师点评 利用 exx1，ln xx1 可将超越函数转化为一次函数，有效地降低了试题 的难度 变式练 3 已知函数 f(x)ex，g(x)ln(xa)b. (1)若函数 f(x)与 g(x)的图象在点(0,1)处有相同的切线，求 a，b 的值； (2)当 b0 时，f(x)g(x)0 恒成立，求整数 a 的最大值 微专题微专题(十一十一) 变式练 1 证明：设 f(x)exln x(x0)，则 f(x)ex1 x， 令 h(x)f(x)，h(x)ex 1 x20， f(x)在(0，)上是增函数， 又 f 1 2 e20，
9、 函数 f(x)在 1 2，1 上存在极小值点 x0且 0 ex 0 1 x ，即 x0ln 0 x . f(x0) 0 1 x 0 x 2， 故 f(x)2，即 exln x2. 变式练 2 解析：(1)f(x)1aln x x2 ， 曲线 yf(x)在点(e，f(e)处的切线斜率为a e2. 又切线与直线 e2xye0 垂直， 可得 f(e)1 e2，所以 a e2 1 e2， a1，所以 f(x)1ln x x ， f(x)ln x x2 (x0)， 当 0 x0，f(x)为增函数； 当 x1 时，f(x)0，f(x)为减函数 所以 x1 是函数 f(x)的极大值点 又 f(x)在(m，
10、m1)上存在极值， 所以 m1m1，即 0m 2ex 1 x1xex1变形为 1 e1 x1ln x1 x 2ex 1 xex1分别构造函数 g(x) x1ln x1 x 和 h(x) 2ex 1 xex1， 则 g(x)xln x x2 ，令 (x)xln x， 则 (x)11 x x1 x . 因为 x1，所以 (x)0，所以 (x)在(1，)上是增函数，所以 (x)(1)10，所以 g(x)0，所以 g(x)在(1，)上是增函数，所以 x1 时，g(x)g(1)2，故 gx e1 2 e1，h(x) 2e x11ex xex12 ， x1， 1ex0.h(x)1 时， h(x)h(x)，即 fx e1 2ex 1 x1xex1. 变式练 3 解析：(1)因为函数 f(x)和 g(x)的图象在点(0,1)处有相同的切线， 所以 f(0)g(0)且 f(0)g(0)， 解得 a1，b1. (2)现证明 exx1，设 F(x)exx1， 则 F(x)ex1， 当 x(0，)时，F(x)0，当 x(，0)时，F(x)ln(x2)， 当 a2 时，ln(xa)ln(x2)0 恒成立， 当 a3 时，e00 不恒成立 故整数 a 的最大值为 2.
