1、选修选修 44 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 第一节第一节 坐标系坐标系 【知识重温】【知识重温】 一、必记 3 个知识点 1极坐标的概念 (1)极坐标系： 如图所示，在平面内取一个定点 O，叫做_，从 O 点引一条射线 Ox，叫做 _，选定一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个平面 极坐标系，简称为_. (2)极坐标： 对于平面内任意一点 M，用 表示线段 OM 的长， 表示以 Ox 为始边、OM 为终边的角 度， 叫做点 M 的_， 叫做点 M 的_，有序实数对(，)叫做点 M 的极 坐标，记作 M(，) 当点 M 在极点时，它的极径_，极角 可以取_. (3
2、)点与极坐标的关系： 平面内一点的极坐标可以有无数对，当 kZ 时，(，)，(，2k)，(，(2k1) 表示_，而用平面直角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的 如果规定 0,02，或者，那么，除极点外，平面内的点和极坐标就一一 对应了 2极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景： 把平面直角坐标系的原点作为极点， x 轴的正半轴作为极轴， 建立极坐标系， 并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示 (2)互化公式：设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)( 0，0,2)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点 M 直角坐标(x，y) 极坐标(，) 互化 公式 x
3、 y 2_ tan _ 在一般情况下，由 tan 确定角时，可根据点 M 所在的象限取最小正角 3常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点， 半径为 r 的圆 _ 圆心为(r,0)， 半径为 r 的圆 _ 圆心为 r， 2 ， 半径为 r 的圆 _ 过极点，倾斜角 为 的直线 (1)(R)或 (R) (2)(0)和 (0) 过点(a,0)，与 极轴垂直的直线 _ 过点 a， 2 ，与 极轴平行的直线 _ 过点(a,0)， 倾斜角为 的直线 _ 二、必明 3 个易误点 1极坐标系的四要素：极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向，四者 缺一不可 2由极径的意义知 0，当极角 的
4、取值范围是0,2)时，平面上的点(除去极点)与极坐 标(，)(0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径 0，极角可取任意角 3 极坐标与直角坐标的重要区别： 多值性 在直角坐标系中， 点与直角坐标是“一对一” 的关系；在极坐标系中，由于终边相同的角有无数个，即点的极角不唯一，因此点与极坐标 是“一对多”的关系，但不同的极坐标可以写出统一的表达式如果(，)是点 M 的极坐标， 那么(，2k)或(，(2k1)(kZ)都可以作为点 M 的极坐标 考点一 直角坐标系中的伸缩变换 自主练透型 1求双曲线 C：x2y 2 641 经过 ： x3x， 2yy 变换后所得曲线 C的焦点坐标 2若函数 yf
5、(x)的图象在伸缩变换 ： x2x， y3y 的作用下得到曲线的方程为 y 3sin x 6 ，求函数 yf(x)的最小正周期 悟 技法 伸缩变换公式应用时的两个注意点 (1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分 变换前的点 P 的坐标(x，y)与变换后的点 P的坐标(x，y)，再利用伸缩变换公式 xx0，yy0， 建立联系 (2)已知变换后的曲线方程 f(x，y)0，一般都要改写为方程 f(x，y)0，再利用换元 法确定伸缩变换公式. 考点二 极坐标与直角坐标的互化 自主练透型 32018 北京卷在极坐标系中，直线 cos sin a(a0)与圆 2co
6、s 相切，则 a _. 4 2018 江苏卷在极坐标系中， 直线 l 的方程为 sin 6 2， 曲线 C 的方程为 4cos ，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长 悟 技法 1.极坐标与直角坐标互化公式的 3 个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点 (2)以 x 轴的非负半轴为极轴 (3)两种坐标系规定相同的长度单位 2极坐标与直角坐标互化的策略 (1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式 xcos 及 ysin 直接代入并化简 即可 (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如 cos ，sin ，2的形式，进 行整体代换. 考点三 曲线的极坐标方程的应用 互动讲练型 例
7、 2019 全国卷在极坐标系中，O 为极点，点 M(0，0)(00)在曲线 C：4sin 上，直线 l 过点 A(4,0)且与 OM 垂直，垂足为 P. (1)当 0 3时，求 0 及 l 的极坐标方程； (2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程 悟 技法 用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示 时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题. 变式练(着眼于举一反三) 2019 全国卷如图，在极坐标系 Ox 中，A(2,0)，B 2， 4 ，C 2，3 4 ，D(2，)， 弧 AB ， BC ， CD
8、 所在圆的圆心分别是(1,0)， 1， 2 ，(1，)，曲线 M1是弧 AB ，曲线 M2 是弧 BC ，曲线 M3是弧 CD . (1)分别写出 M1，M2，M3的极坐标方程； (2)曲线 M 由 M1，M2，M3构成，若点 P 在 M 上，且|OP| 3，求 P 的极坐标 选修选修 44 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 第一节第一节 坐标系坐标系 【知识重温】【知识重温】 极点 极轴 极坐标系 极径 极角 0 任意值 同一个点 cos sin x2y2 y x(x0) r(02) 2rcos 2 2 2rsin (0) cos a sin a(0) sin()asin 课堂考点突破课堂考
9、点突破 考点一 1解析：设曲线 C上任意一点 P(x，y)， 由上述可知，将 x1 3x， y2y， 代入 x2y 2 641， 得x 2 9 4y 2 64 1， 化简得x 2 9 y 2 16 1， 即x 2 9 y2 161 为曲线 C的方程， 可见仍是双曲线， 则焦点 F1(5,0)，F2(5,0)为所求 2解析：由题意，把变换公式代入曲线 y3sin x 6 得 3y3sin 2x 6 ， 整理得 ysin 2x 6 ， 故 f(x)sin 2x 6 . 所以 yf(x)的最小正周期为2 2 . 考点二 3解析：由 cos x， sin y， 2x2y2 可将直线 cos sin a
10、 化为 xya0，将 2cos ， 即 22cos 化为 x2y22x，整理成标准方程为(x1)2y21. 又直线与圆相切，圆心(1,0)到直线 xya0 的距离 d|1a| 2 1，解得 a1 2， a0，a1 2. 答案：1 2 4解析：因为曲线 C 的极坐标方程为 4cos ，所以曲线 C 是圆心为(2,0)，直径为 4 的圆 因为直线 l 的极坐标方程为 sin 6 2， 则直线 l 过 A(4,0)，倾斜角为 6， 所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点 设另一个交点为 B，则OAB 6. 如图，连接 OB. 因为 OA 为直径 ，从而OBA 2， 所以 AB4cos 62 3.
11、 因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2 3. 考点三 例 解析：(1)因为 M(0，0)在 C 上，当 0 3时，04sin 32 3. 由已知得|OP|OA|cos 32. 设 Q(，)为 l 上除 P 的任意一点连接 OQ， 在 RtOPQ 中，cos 3 |OP|2. 经检验，点 P 2， 3 在曲线 cos 3 2 上 所以，l 的极坐标方程为 cos 3 2. (2)设 P(，)，在 RtOAP 中，|OP|OA|cos 4cos ，即 4cos . 因为 P 在线段 OM 上，且 APOM， 故 的取值范围是 4， 2 . 所以，P 点轨迹的极坐标方程为 4cos ， 4， 2 . 变式练 解析：(1)由题设可得，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的极坐标方程分别为 2cos ， 2sin ，2cos .所以 M1的极坐标方程为 2cos 0 4 ，M2的极坐标方程为 2sin 4 3 4 ，M3的极坐标方程为 2cos 3 4 . (2)设 P(，)，由题设及(1)知： 若 0 4，则 2cos 3，解得 6； 若 4 3 4 ，则 2sin 3，解得 3或 2 3 ； 若3 4 ，则2cos 3，解得 5 6 . 综上，P 的极坐标为 3， 6 或 3， 3 或 3，2 3 或 3，5 6 .
