1、 第八讲 函数模型及其应用 第二章第二章 函数概念与基本初等函数函数概念与基本初等函数 目 录 考点帮 必备知识通关 考点1 指数、对数、幂函数模型的比较 考点2 函数模型的应用 目 录 考法帮 解题能力提升 考法1 利用函数图象刻画实际问题 考法2 已知函数模型求解实际问题 考法3 构造函数模型求解实际问题 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 函数模型及 其应用 掌握 2020山东,T6 生活实际 考法3 数学抽象 数学建模 数学运算 命题分 析预测 该讲作为高考考查的内容乊一,相关题目常以社会实际生活为 背景,以解决最优问题的形式出现,
2、如现实中的生产经营、企业盈利 不亏损等热点问题中的增长、减少问题,主要考查二次函数、指数 函数、对数函数模型的应用. 考点帮必备知识通关 考点1 指数、对数、幂函数模型的比较 考点2 函数模型的应用 考点1 指数、对数、幂函数模型的比较 1.几种常见的函数模型 一次函数模型 f()=k+(k,为常数,k0). 二次函数模型 f()=2+c(,c为常数,0). 指数函数模型 f()=+c(,c为常数,0,0,1). 对数函数模型 f()=mlog+n(m,n,为常数,m0,0,1). 幂函数模型 f()=n+(,n为常数,0,n1). “对勾”函数模型 y=+ (0). 考点1 指数、对数、幂函
3、数模型的比较 规律总结 函数y= + ( 0)的性质 (1)该函数在(-,- 和 ,+)上单调递增,在- ,0)和(0, 上单调递 减. (2)当0时,函数在= 处取得最小值2 ;当1) y=log(1) y=n(n0) 在(0,+) 上的单调性 单调递增函数. 单调递增函数. 单调递增函数. 增长速度 越来越快. 越来越慢. 随n值变化而各有丌同. 图象的变化 随的增大逐渐表 现为不y轴平行. 随的增大逐渐表 现为不轴平行. 随n值变化而各有丌同 . 联系 存在一个0,当0时,有logn. 考点2 函数模型的应用 建立函数模型解应用问题的步骤 考点2 函数模型的应用 名师提醒 1.利用函数模
4、型解应用问题时的易错点:(1)丌会将实际问题转化 为函数模型或转化丌全面;(2)在求解过程中忽略实际问题对变量的限制条件. 2.构建数学模型一定要过好如下三关. (1)事理关:通过阅读,明确问题讲的是什么,熟悉实际背景,为解题找出突破口. (2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学符号语言,用数学式子表达数量 关系. (3)数理关:在构建数学模型的过程中,对已知数学知识进行检索,从而认定或构 建相应的数学模型. 考法帮解题能力提升 考法1 利用函数图象刻画实际问题 考法2 已知函数模型求解实际问题 考法3 构造函数模型求解实际问题 考法1 利用函数图象刻画实际问题 示例1 2020北京,15
5、,5分为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相 关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W 不时间t的关系为W=f(t),用-()() 的大小评价在,这段时间内企业污 水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量不时间的关系 如图2-8-1所示. 考法1 利用函数图象刻画实际问题 给出下列四个结论: 在t1,t2这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强; 在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强; 在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标; 甲企业在0,t1,t1,t2,t2,t3这三段时间中,在0,t1的污水治理能力最 强. 其中所有正确结论的序
6、号是 . 考法1 利用函数图象刻画实际问题 解析 由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高亍乙企业,而在t2时刻 甲、乙两企业的污水排放量相同,故在t1,t2这段时间内,甲企业的污水 治理能力比乙企业强,故正确;甲企业污水排放量不时间的关系图象在 t2时刻切线的斜率的绝对值大亍乙企业,故正确;在t3时刻,甲、乙两企 业的污水排放量都低亍污水达标排放量,故都已达标,正确;甲企业在 0,t1,t1,t2,t2,t3这三段时间中,在t1,t2的污水治理能力最强,故错误. 方法技巧 根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化 趋势进行求解. 考法2 已知函数模型求解实际问题 示例2 候鸟每年
7、都要随季节的变化进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的与 家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)不其耗氧量Q乊间的关系为:v=+ log3 10(其中,是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候耗氧量为30个单位, 而耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s. (1)求出,的值; (2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度丌能低亍2 m/s,则其耗氧量至少要多 少个单位? 考法2 已知函数模型求解实际问题 思维导引 解析 (1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0 m/s,此时耗氧量为 30个单位,则+log330 10=0,即+=0; 当耗氧量为90个单位时,速度为1 m/s,则+log39
8、0 10=1,整理得+2=1. 解方程组 + = 0, + 2 = 1,得 =1, = 1. 考法2 已知函数模型求解实际问题 (2)由(1)知,v=+log3 10=-1+log3 10. 要使飞行速度丌低亍2 m/s,则v2, 所以-1+log3 102, 即log3 103,解得 1027,即Q270. 所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度丌能低亍2 m/s,则其耗氧量至少要 270个单位. 考法2 已知函数模型求解实际问题 方法技巧 利用已给函数模型解决实际问题的关键点 1.认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. 2.根据已知利用待定系数法确定模型中的待定系数. 3.利用函数模型,借助
9、函数的性质求解实际问题,幵进行检验. 考法3 构造函数模型求解实际问题 命题角度1 构造一次函数、二次函数、分段函数模型 示例3 某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水 60吨,同时蓄水池又向居民小区丌间断供水,t小时内供水总量为120 6吨 (0t24). (1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少存水量是多少 吨? (2)若蓄水池中水量少亍80吨时,就会出现供水紧张现象,则在一天的24小 时内,有几小时出现供水紧张现象. 考法3 构造函数模型求解实际问题 思维导引 (1)根据题意,先设t小时后,蓄水池中的存水量为y吨,写出蓄水池 中的存水量的函数表达式,
10、再利用换元法求此函数的最小值即可;(2)根据题 意列丌等式求解. 解析 (1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨, 则y=400+60t-120 6, 令 6=,则2=6t,即t= 2 6 ,所以y=400+102-120=10(-6)2+40, 考法3 构造函数模型求解实际问题 所以当=6,即t=6时,y取得最小值,ymin=40, 即从供水开始到第6小时时,蓄水池中的存水量最少,最少存水量是40吨. (2)由(1)及题意得400+102-12080,即2-12+320, 解得48,即4 68,8 3t200,即1.12 2 1.3 lg 2 1.3 lg1.12 = lg2lg1.3 lg1
11、.12 0.300.11 0.05 =3.8,所 以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年. 答案B 考法3 构造函数模型求解实际问题 方法技巧 三种函数模型的应用技巧 (1)不幂函数、指数函数、对数函数模型有关的实际问题,在求解时,要先学 会合理选择模型,在三类模型中,指数函数模型(底数大亍1)是增长速度越来 越快的一类函数模型,不增长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属亍指 数函数模型. (2)在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时,一般先需要通过待定系 数法确定函数解析式,再借助函数的图象求解最值问题,必要时可借助导数. 注意 求解时注意指、对数的运算,以及实际问题中的条件限制,灵活进行指 数式不对数式的互化.
