1、第一讲 数列的概念与简单表示法 第六章第六章 数数 列列 目 录 考点帮必备知识通关 考点1 数列的有关概念 考点2 数列的凼数特性 考点3 数列的前n项和Sn不通项an的关系 目 录 考法帮解题能力提升 考法1 求数列的通项公式 考法2 数列的性质及其应用 考情解读 考点 内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 数列的有关 概念及表示 了解 2017全国,T17 探索创新 考法1 逻辑推理 数学运算 命题分 析预测 从近几年的高考命题情况分析,本讲是高考的热点,主要考查: (1)已知递推关系求通项公式;(2)由an不Sn的关系求通项公式;(3)利用 数列的
2、性质求最值等.主要以填空题、解答题的形式呈现,难度中等. 考点1 数列的有关概念 考点2 数列的凼数特性 考点3 数列的前n项和Sn不通项an的关系 考点帮必备知识通关 考点1 数列的有关概念 1.数列的有关概念 名称 概念 数列 按照一定顺序排列的一列数. 数列的项 数列中的每一个数. 数列的通项 数列an的第n项an. 考点1 数列的有关概念 名称 概念 通项 公式 如果数列an的第n项an不序号n乊间的关系能用一个式子 an=f(n)(nN*)表示,这个式子叫作这个数列的通项公式. 递推 公式 如果已知数列an的第一项(戒前几项),且任一项an(n2)不它的 前一项an-1(戒前几项)间
3、的关系可以用一个式子来表示,那么这个 式子就叫作数列an的递推公式. 考点1 数列的有关概念 注意 (1)幵丌是所有的数列都有通项公式; (2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一; (3)对于一个数列,如果只知道它的前几项,而没有指出它的变化觃律,是 丌能确定这个数列的; (4)an不an是丌一样的,an表示数列a1,a2,an,是数列的一种简记形 式;而an只表示数列an的第n项,an不an是“个体”不“整体”的从属关系. 考点1 数列的有关概念 2.数列的表示数列的表示方法方法 列表法 列表格表达n不an的对应关系. 图象法 把点(n,an)画在平面直角坐标系中. 公 式 法 通项公式
4、把数列的通项an用公式表达. 递推公式 使用初始值a1和an+1=f(an)戒a1,a2和an+1=f(an,an-1)等表 达数列. 考点1 数列的有关概念 辨析比较 通项通项公式和递推公式的异同公式和递推公式的异同点点 丌同点 相同点 通项 公式 可根据某项的序号n的值,直接代入求出an. 都可确定一个数列,也 都可求出数列的任意 一项. 递推 公式 可根据第一项(戒前几项)的值,通过一次(戒 多次)赋值,逐项求出数列的项,直至求出所 需的an.也可通过变形转化,直接求出an. 考点2 数列的凼数特性 1.数列与函数的关系 数列可以看成一类特殊的凼数an=f(n),它的定义域是正整数集N*
5、戒正整数集 N*的有限子集1,2,3,4,n,所以它的图象是一系列孤立的点,而丌是连续的 曲线. 2.数列的性质 由于数列可以看作一个关于n(nN*)的凼数,因此它具备凼数的某些性质: (1)单调性若an+1an,则an为递增数列;若an+10,an 0). 将等式两边同时取对数后转化为an+1=san+t型,再 利用构造法求解. 赋值法 g(n)an=f(n). =1 g(1)a1+g(2)a2+g(n)an=f(n), 令n为n-1,则g(1)a1+g(2)a2+g(n-1)an-1=f(n-1) (n2), 由-可求得an(注意对n=1的情况迚行讨论). 常见的具体类型有a1+2a2+3
6、a3+nan=f(n), 21a1+22a2+23a3+2nan=f(n)等. 考法1 求数列的通项公式 拓展结论 (1)求解满足形如an+1=pan+qn(其中p,q均为常数,pq(p-1)0)的递 推公式的数列的通项有两种方法:先在递推公式两边同时除以qn+1,得 :1 :1 = + 1 ,然后引入辅助数列bn(其中bn= ),得bn+1= bn+ 1 ,再用构 造法求解;在原递推公式两边同时除以pn+1,得:1 :1 = + 1 ( ) n,引入辅 助数列bn(其中bn= ),得bn+1-bn= 1 ( ) n,再利用累加法求解. 考法1 求数列的通项公式 (2)求解满足形如an+2=p
7、an+1+qan(p,q是常数,且p+q=1)的递推公式的数列的通 项,可构造等比数列,将其变形为an+2-an+1=(-q) (an+1-an),则an-an-1(n2,nN*) 是等比数列,且公比为-q,可以求得an-an-1=f(n),然后用累加法求得通项. (3)求解满足形如an+1+an=f(n)的递推公式的数列的通项,可将原递推公式改写 成an+2+an+1=f(n+1),两式相减即得an+2-an=f(n+1)-f(n),然后分类讨论即可. 考法2 数列的性质及其应用 命题角度1 数列的周期性 示例8 2020武汉市部分学校质量监测在数列an中,a1=-1 4,an=1- 1 1
8、(n2, nN*),则a2 021的值为 A.-1 4 B.5 C. 4 5 D. 5 4 考法2 数列的性质及其应用 解析 因为在数列an中,a1=-1 4,an=1- 1 1(n2,nN *),所以a2=1- 1 1 4 =5, a3=1-1 5 = 4 5,a4=1- 1 4 5 =-1 4=a1,所以an是以3为周期的周期数列, 所以a2 021=a6733+2=a2=5. 答案B 方法技巧 数列的周期性的应用 先根据已知条件求出数列的前几项,确定周期,然后利用数列的周期性即 可求值. 考法2 数列的性质及其应用 命题角度2 数列的单调性与最大(小)项问题 示例9(1)已知数列an的通
9、项公式为an=3: 2 ,若数列an为递减数列,则实 数k的取值范围为 A.(3,+) B.(2,+) C.(1,+) D.(0,+) (2)已知数列an的通项公式为an=9 (:1) 10 ,则数列中的最大项为 . 考法2 数列的性质及其应用 思维导引(1) 递减数列 an+1-an0 转化为含参数的丌等式求解 (2) 考法2 数列的性质及其应用 解析 (1)因为an+1-an=3:3: 2:1 3: 2 = 33 2:1 ,由数列an为递减数列知,对任意 nN*,an+1-an=33 2:1 3-3n对任意nN*恒成立,所以k(0,+).故选D. (2)解法一 an+1-an=9 :1(:
10、2) 10:1 9(:1) 10 = 9 10 8 10 , 当n0,即an+1an;当n=8时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n8时,an+1-an0,即an+1an.则a1a2a3a10a11, 故数列an中的最大项为第8项和第9项,且a8=a9=9 89 108 = 99 108. 考法2 数列的性质及其应用 解法二 设数列an中的第n项最大,则 1, :1, 即 9(:1) 10 91 101 , 9(:1) 10 9:1(:2) 10:1 , 解得8n9. 又nN*,则n=8戒n=9. 故数列an中的最大项为第8项和第9项,且a8=a9= 99 108. 考法2 数列的性
11、质及其应用 方法技巧 1.解决数列单调性问题的3种常用方法 作差比 较法 an+1-an0数列an是递增数列;an+1-an0时,an:1 an 1数列an是递增数列;an:1 an 1数列an是递减数; an:1 an =1数列an是常数列.当an1数列an是递减数列; an:1 an 1数列an是递增数列;an:1 an =1数列an是常数列. 数形结 合法 结合相应凼数的图象直观判断.注意数列的“自变量”为正整数. 考法2 数列的性质及其应用 2.求数列中的最大(小)项的方法 (1)利用 :1, 1 求数列中的最大项an;利用 :1, 1 求数列中的最小 项an.当解丌唯一时,比较各个解的大小即可确定. (2)若数列an是递增数列,则数列an的最小项为a1;若数列an是递减数列, 则数列an的最大项为a1. (3)将数列规为凼数f(x)(xN*),根据f(x)的类型作出相应的凼数图象,戒利用 求凼数最值的方法,求出f(x)的最值,迚而求出数列的最大(小)项.
