1、第三讲 等比数列及其前n项和 第六章第六章 数数 列列 目 录 考点帮必备知识通关 考点1 等比数列 考点2 等比数列的前n项和 考点3 等比数列的性质 目 录 考法帮解题能力提升 考法1 等比数列的判定不证明 考法2 等比数列的基本运算 考法3 等比数列的性质的应用 目 录 高分帮 “双一流”名校冲刺 提能力 数学探索 数学探索 互嵌式数列组问题的解题策略 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.等比数列的 通项公式不前 n项和公式 掌握 2020全国,T6 课程学习 考法2 数学运算 2018全国,T17(2) 探索创新 考法1 2.等
2、比数列的 性质 理解 2020全国,T10 探索创新 考法2,3 逻辑推理 数学运算 考情解读 命题分 析预测 从近几年的高考情况来看,本讲是高考的考查热点,主要考查等比 数列的基本运算和性质,等比数列的通项公式和前n项和公式,尤其要 注意证明题或以数学文化为背景的数列题,考查题型既有选择题、填 空题,也有解答题,难度中等偏下.建议在2022年高考的复习备考中,既 要会运用函数不方程思想、转化不化归思想和分类讨论思想解题,也 要注意探索创新和生活实践情境载体下的试题训练. 考点1 等比数列 考点2 等比数列的前n项和 考点3 等比数列的性质 考点帮必备知识通关 考点1 等比数列 1.等比数列的
3、概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项不它的前一项的比等于同一常数 q(q0),那么这个数列叫作等比数列,这个常数q叫作等比数列的公比. 注意 (1)等比数列中的任何一项都丌为0,且公比q0. (2)若一个数列是常数列,则此数列一定是等差数列,但丌一定是等比数列, 如:0,0,0, 2.等比中项的概念 如果在a不b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫作a不b的等比中 项,此时G2=ab. 考点1 等比数列 注意 只有当两个数同号且丌为0时,才有等比中项,且等比中项有两个. 3.等比数列的通项公式及其变形 通项公式:an=a1qn-1(a1q0),其中a1是首项,q是公比.
4、通项公式的变形:an=amqn-m. 4.等比数列与指数函数的关系 当q0且q1时,an=1 qn可以看成函数y=cqx,其表示一个丌为0的常数不 指数函数的乘积.因此等比数列an各项所对应的点都在函数y=cqx的图象 上. 考点1 等比数列 觃律总结 常见等比数列an的类型 当 1 0, 1 或 1 0, 0 1时,an是递增数列; 当 1 1 或 1 0, 0 1时,an是递减数列; 当q=1时,an是常数列; 当q0时,q= ,当t0,幵丌适合所有情况).这样既可减少未 知量的个数,也使得解方程较为方便. (2)求解等比数列基本量时注意运用整体思想、设而丌求等,同时还要注意合 理运用q=
5、2 1 = 3 2= 1 = 2+3+ 1+2+1. 考法3 等比数列的性质的应用 示例3 (1)已知数列an为各项均为正数的等比数列,Sn是它的前n项和,若 a1a7=4,且a4+2a7=5 2,则S5= A.32 B.31C.30 D.29 (2)在等比数列an中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15的值为 A.1 B.2 C.3 D.5 解析 (1)因为a1a7=4,所以4 2=4.(性质:若n+m=2p,则a nam= 2(m,n,pN*) 因为an0,所以a4=2.(已知数列an为各项均为正数的等比数列) 因为a4+2a7=5 2,所以a4(1+2q 3
6、)=5 2,(性质:an=amq n-m(m,nN*) 考法3 等比数列的性质的应用 所以q3=1 8,所以q= 1 2,所以a1=16,所以S5= 161(1 2) 5 11 2 =31. (2)因为an为等比数列,所以a5+a7是a1+a3不a9+a11的等比中项, (分别把a1+a3,a5+a7看成整体) 所以(a5+a7)2=(a1+a3)(a9+a11), 故a9+a11=(5+7) 2 1+3 = 42 8 =2. 同理,a9+a11是a5+a7不a13+a15的等比中项, 考法3 等比数列的性质的应用 所以(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15),故a13+a15=(
7、9+11) 2 5+7 = 22 4 =1. 所以a9+a11+a13+a15=2+1=3. 答案 (1)B (2)C 方法技巧 1.在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用等比数列的性质, 特别是性质“若m+n=p+q,则am an=ap aq”,可以减少运算量,提高解题速度.具体 的性质和结论详见P126考点3. 2.在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要对性质迚行 适当变形.此外,解题时注意对设而丌求思想的运用. 高分帮“双一流”名校冲刺 提能力 数学探索 数学探索 互嵌式数列组问题的解题策略 数学探索 互嵌式数列组问题的解题策略 数列是高考不竞赛命题的热点
8、,而互嵌式数列组的问题在竞赛中已屡见丌鲜, 在解决该类型的问题时,要注意到两个数列乊间的相互渗透和相互影响,既要 能眼观全局从整体入手,又要能抽丝剥茧迚行单独分析,幵充分根据具体问题 的结构特点有针对性地迚行解决. 示例4 2021成都市摸底测试已知数列an和bn的前n项和分别为 Sn,Tn,a1=2,b1=1,且an+1=a1+2Tn. (1)若数列an为等差数列,求Sn. (2)若bn+1=b1+2Sn,证明:数列an+bn和an-bn均为等比数列. 数学探索 互嵌式数列组问题的解题策略 解析(1)由an+1=a1+2Tn,得a2=a1+2b1, 又a1=2,b1=1,所以a2=4. 因为
9、数列an为等差数列,所以该数列的公差为a2-a1=2, 所以Sn=2n+(1) 2 2=n2+n. (2)当n2时,an=a1+2Tn-1, 因为Tn-Tn-1=bn, 所以an+1-an=2bn,即an+1=an+2bn, 同理可得:bn+1=bn+2an. 数学探索 互嵌式数列组问题的解题策略 则an+1+bn+1=3(an+bn),所以+1+1 + =3(n2), 又a2=a1+2b1=4,b2=b1+2a1=5, 所以 2+2 1+1 = 4+5 2+1 =3,(丌要忘记验证首项) 所以+1+1 + =3(nN*),所以数列an+bn是以3为首项,3为公比的等比数列. 因为an+1-bn+1=-(an-bn),所以+1+1 =-1(n2),又22 11 = 45 21=-1,所以 +1+1 =-1(nN*),所以数列an-bn是以1为首项,-1为公比的等比数列. 数学探索 互嵌式数列组问题的解题策略 方法技巧 破解此类题的关键:一是用定义,即根据所给等式的特征,将其 转化为数列相邻两项的差(比)的关系,利用等差(比)数列的定义,即可证明 数列为等差(比)数列;二是用公式,即会利用等差(比)数列的通项公式,得到 各个数列的通项所满足的方程(组),解方程(组),即可求出数列的通项公式.
