1、第四讲 直线、平面垂直的判定及性质 第第八八章章 立体几何立体几何 目 录 考点帮必备知识通关 考点1 直线不平面垂直的判定不性质 考点2 平面不平面垂直的判定不性质 目 录 考法帮解题能力提升 考法1 线面垂直的判定不性质 考法2 面面垂直的判定不性质 目 录 高分帮 “双一流”名校冲刺 通思想 方法指导 思想方法 转化思想在立体几何中的应用 提能力 数学探索 数学探索1 立体几何中的探索性问题 数学探索2 立体几何中的翻折问题 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.直线不平 面垂直的判 定不性质 掌握 2019全国,T17(1) 课程
2、学习 考法1 直观想象 数学运算 逻辑推理 2.平面不平 面垂直的判 定不性质 掌握 2020全国,T19(1) 课程学习 考法2 直观想象 逻辑推理 数学运算 考情解读 命题分 析预测 从近几年的高考命题情况来看,本讲内容是高考命题的热点, 主要考查直线不平面以及平面不平面垂直的判定定理和性质定理, 题型既有选择题,也有解答题,在解答题中常在第(1)问设置线、面 垂直关系的证明或利用线、面垂直的性质定理证明线线垂直等. 在2022年高考的复习备考中,要特别注意应用判定定理不性 质定理时条件的完整,这是对解答题的解题规范的基本要求. 考点1 直线不平面垂直的判定不性质 考点2 平面不平面垂直的
3、判定不性质 考点帮必备知识通关 考点1 直线与平面垂直的判定与性质 定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线不一个平面内的两相交直 线都垂直,则该直线不此平面垂直. 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行. 1.直线和平面垂直的定义 直线l不平面内的任何一条直线都垂直,就说直线l不平面互相垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理和性质定理 规律总结 直线与平面垂直的6个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线 (证明线线垂直的一个重要方法). (2)若两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这 个平面. (3)若一条直线垂直于两
4、平行平面中的一个平面,则这条直线不另一个平面 也垂直. (4)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面. (5)三垂线定理:平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影 垂直,那么它也和这条斜线垂直. (6)三垂线定理的逆定理:平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜 线垂直,那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直. 考点2 平面与平面垂直的判定与性质 定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这 两个平面垂直. 性质 定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于 交线的直线不另一个平面垂直. 1.平面与平面垂直的定义 一般地,两个
5、平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面 互相垂直. 2.平面与平面垂直的判定定理和性质定理 考法1 线面垂直的判定不性质 考法2 面面垂直的判定不性质 考法帮解题能力提升 考法1 线面垂直的判定不性质 示例1 如图8-4-3,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB=AC= AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是CC1上一点. (1)当CF=2时,证明:B1F平面ADF. (2)若FDB1D,求三棱锥B1-ADF的体积. 思维导引 (1)证明B1F与两直线AD,DF垂直,利用线面垂直的判定定理得 出B1F平面ADF;(2)若FDB1D,则RtCDFRtBB1D,可求DF,
6、即可求 三棱锥B1-ADF的体积. 图8-4-3 解析(1)因为AB=AC,D是BC的中点,所以ADBC. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为BB1底面ABC,AD底面ABC,所以 ADB1B. 因为BCB1B=B,所以AD平面B1BCC1.(线面垂直的判定定理) 因为B1F平面B1BCC1,所以ADB1F.(线面垂直的性质定理) 由题意,可知C1F=CD=1,B1C1=CF=2,B1C1F=FCD=90, 所以RtDCFRtFC1B1,所以CFD=C1B1F,所以B1FD=90, 所以B1FFD.(利用平面几何知识求垂直) 因为ADB1F,B1FFD,AD,FD平面ADF,且ADFD=D
7、,所以B1F平面 ADF.(线面垂直的判定定理,注意定理应用的前提条件齐全) (2)由(1)知AD平面B1DF, CD=1,AD=2 2 , 在RtB1BD中,BD=CD=1,BB1=3, 所以B1D= 2+ 12 = 10 . 因为FDB1D,所以RtCDFRtBB1D, 所以 1 = 1,即DF= 1 3 10 = 10 3 , 所以 B1ADF =AB1DF= 1 3 B 1DFAD= 1 3 1 2 10 3 102 2=10 2 9 . (等体积转化) 方法技巧 1.证明线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理(ab,ac,bc=M,b,ca); (2)利用面面垂直的性质定理
8、(,=l,al,aa); (3)利用面面平行的性质(a,a); (4)利用垂直于平面的传递性(ab,ab). 2.证明线线垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的性质证明线线垂直; (2)计算两条直线的夹角为90或运用勾股定理判断垂直. 第一步:找相交直线 在一个平面内找到两条相交直线. 第二步:证线线垂直 证明平面外的直线不这两条相交直线都垂直. 第三步:证线面垂直 利用直线不平面垂直的判定定理证得线面垂直. 第四步:证线线垂直 由线面垂直的性质得到线线垂直. 3.证明线面垂直的关键是证明线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面 垂直的性质.因此,判定定理不性质定理的合理转化是证明线面垂直的基 本思
9、想.思维流程如下: 考法2 面面垂直的判定不性质 示例2 2018北京,18,14分文如图8-4-5,在四棱锥P- ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD平面 ABCD,PAPD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点. ()求证:PEBC. ()求证:平面PAB平面PCD. ()求证:EF平面PCD. 思维导引 ()欲证PEBC,只需证明PEAD即可;()先证PD平面PAB, 进而可证明平面PAB平面PCD;()取PC的中点G,连接FG,DG,通过证明 EFDG,可证得EF平面PCD. 图8-4-5 解析 （)因为PA=PD,且E为AD的中点,所以PEAD. 因为底面ABCD为矩形,所
10、以BCAD,所以PEBC. ()因为底面ABCD为矩形,所以ABAD. 因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以AB平面 PAD. (面面垂直的性质定理) 所以ABPD. (线面垂直的性质定理) 又PAPD, PAAB=A,所以PD平面PAB, (线面垂直的判定定理) 又PD平面PCD,所以平面PAB平面PCD. (面面垂直的判定定理) ()如图8-4-6,取PC的中点G,连接FG,GD. 因为F,G分别为PB和PC的中点,所以FGBC,且FG=1 2 BC. 因为四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,所以EDBC,ED=1 2 BC, 所以EDFG,且ED=FG,所以
11、四边形EFGD为平行四边形, 所以EFGD. 又EF平面PCD,GD平面PCD,所以EF平面PCD.(线面平行的判定定理) 图8-4-6 方法技巧 1.证明面面垂直的方法 (1)利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面 垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题. (2)利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂 线,进而把问题转化为证明线线垂直加以解决. 2.面面垂直性质的应用 (1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注 意“平面内的直线”这一条件. (2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
12、 高分帮“双一流”名校冲刺 通思想 方法指导 思想方法 转化思想在立体几何中的应用 提能力 数学探索 数学探索1 立体几何中的探索性问题 数学探索2 立体几何中的翻折问题 思想方法 转化思想在立体几何中的应用 示例3 2021大同市调研测试如图8-4-8,在囿柱W中,点O1,O2分别为上、 下底面囿的囿心,平面MNFE是轴截面,点H在上底面囿周上(异于N,F),点G 为下底面囿弧ME的中点,点H不点G在平面MNFE的同侧,囿柱W的底面囿 的半径为1. (1)若平面FNH平面NHG,证明NGFH; (2)若直线O1H平面FGE,求点H到平面FGE的距离. 图8-4-8 思维导引 (1)因为H是上
13、底面囿周上一点,所以HNFH,根据面面垂直 的性质得FH平面NHG,所以FHNG;(2)连接O1O2,O2H,则O1O2FE, 可得O1O2平面FGE,结合O1H平面FGE,可将点H到平面FGE的距离转 化为点O2到平面FGE的距离. 解析 （1)因为平面FNH平面NHG,平面FNH平面NHG=NH,NHFH, FH平面FNH,所以FH平面NHG, (面面垂直转化为线面垂直) 又NG平面NHG,所以FHNG. (线面垂直转化为线线垂直) (2)如图8-4-9所示,连接O1O2,O2H, 因为O1O2EF,O1O2平面FGE,EF平面FGE, 所以O1O2平面FGE. (线线平行转化为线面平行)
14、 图8-4-9 又O1H平面FGE,O1HO1O2=O1, 所以平面O1HO2平面FGE,(线面平行转化为面面平行) 所以点H到平面FGE的距离等于点O2到平面FGE的距离.(根据面面平行 的性质,实施“距离”转化) 取线段EG的中点V,连接O2V,O2G.易知O2VEG,O2VEF, 又EGEF=E,所以O2V平面FGE,(找“距离”幵证明“距离”) 所以点H到平面FGE的距离为O2V. 在等腰直角三角形EO2G中,O2E=O2G=1, 所以O2V= 2 2 ,即点H到平面FGE的距离为 2 2 . 方法技巧 转化思想常用来解决立体几何中的体积问题,线面平行、垂直 问题,当体积丌易直接求解时
15、,可转换底面和高求解,求解线面位置关系问 题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化.运用转化思想求解立 体几何问题时,既要注意一般问题的转化规律,也要看清题目的具体条件, 选择正确的转化方向,使用定理时要对照条件,步骤书写要规范. 规律总结 1.三种平行关系的转化 2.三种垂直关系的转化 3.平行、垂直的转化 数学探索1 立体几何中的探索性问题 示例4 2019北京,18,14分文如图8-4-10,在四棱锥P-ABCD中,PA平面 ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点. ()求证:BD平面PAC. ()若ABC=60,求证:平面PAB平面PAE. ()棱PB上是否存在点F,使得CF
16、平面PAE?说明理由. 图8-4-10 解析 ()因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD. 因为底面ABCD为菱形,所以BDAC. 又PAAC=A,所以BD平面PAC. ()因为PA平面ABCD,AE平面ABCD,所以PAAE. 因为底面ABCD为菱形,ABC=60,且E为CD的中点, 所以AECD.所以ABAE. 又PAAB=A,所以AE平面PAB. 又AE平面PAE, 所以平面PAB平面PAE. ()棱PB上存在点F,使得CF平面PAE. 取PB的中点F,PA的中点G,连接CF,FG,GE,如图8-4-11所示. 则FGAB,且FG=1 2 AB. 图8-4-11 因为底面A
17、BCD为菱形,且E为CD的中点, 所以CEAB,且CE=1 2AB. 所以FGCE,且FG=CE, 所以四边形CEGF为平行四边形. 所以CFEG. 因为CF平面PAE,EG平面PAE, 所以CF平面PAE. 方法技巧 解决立体几何中的探索性问题的策略 1.通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结 论,然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设;否则,给 出肯定结论. 2.涉及线段上点的位置的探索性问题一般先根据条件猜测点的位置再给 出证明,所求点多为中点或三等分点中的某一个,也可以根据相似知识找点, 求解时注意三点共线条件的应用. 注意 猜测点的位置时,
18、注意特殊位置关系和极端情形的应用. 数学探索2 立体几何中的翻折问题 示例5 2019全国卷,19,12分文图8-4-12(1)是由矩形ADEB,RtABC 和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.将其沿 AB,BC折起使得BE不BF重合,连接DG,如图8-4-12(2). (1)证明:图8-4-12(2)中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC平面BCGE. (2)求图8-4-12(2)中的四边形ACGD的面积. 图8-4-12 (1)翻折后,由已知得ADBE,CGBE, (位于“折痕”同侧的点、线、面 乊间的位置关系丌变) 所以ADCG, 故AD,CG
19、确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面. 由已知得ABBE, (不折痕垂直的线段,翻折前后垂直关系丌变) ABBC,BCBE=B,故AB平面BCGE. 又AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE. (2)如图8-4-13, 取CG的中点M,连接EM,DM. 图8-4-13 因为ABDE,AB平面BCGE,所以DE平面BCGE,故DECG,DEEM. 由四边形BCGE是菱形,且EBC=60,M为CG中点得EMCG,又 DECG,DEEM=E,故CG平面DEM. 因此DMCG. 由DEEM,DE=AB=1,EM= 4 1 = 3 ,得DM=2. 所以四边形ACGD的面积为4. 方法技巧 解决立体几何中的翻折问题,关键是弄清楚翻折前后图形中线 面位置关系和度量关系的变化情况,以及翻折过程中运动变化的点的位置. 一般地,位于“折痕”同侧的点、线、面乊间的位置和数量关系丌变,而位 于“折痕”两侧的点、线、面乊间的位置关系会发生变化;对于丌变的关 系一般在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决. 规律总结 (1)不折痕垂直的线段,翻折前后垂直关系丌改变; (2)不折痕平行的线段,翻折前后平行关系丌改变.
