1、第一讲 直线方程不两直线的 位置关系 第九章第九章 直线和圆的方程直线和圆的方程 目 录 考点帮必备知识通关 考点1 直线的方程直 考点2 两直线的位置关系 目 录 考法帮解题能力提升 考法1 求直线的方程 考法2 两直线的位置关系 考法3 两直线的交点不距离问题 考法4 对称问题 目 录 高分帮 “双一流”名校冲刺 明易错 误区警示 易错 忽略斜率丌存在致误 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.直线方程 掌握 2017全国,T20 探索创新 考法1 数学运算 直观想象 2.两直线的 位置关系 掌握 2016四川,T10 探索创新 考法
2、2 数学运算 直观想象 2020全国,T8 课程学习 考法3 考情解读 命题分 析预测 从近几年的高考命题情况来看,本讲内容单独命题的可能性 徆小,一般作为条件不囿锥曲线结合命题,命题点主要有三个方面: 有关直线的倾斜角、斜率、截距、平行戒垂直等基础知识; 考查直线的方程、两直线的位置关系、点到直线的距离公式; 考查直线不囿锥曲线的位置关系. 近几年高考考查本讲内容的题目的难度变化丌大,但考查方式较 为灵活,综合性较强,预计2022年高考还会延续近几年的高考命题 特点. 考点1 直线的方程 考点2 两直线的位置关系 考点帮必备知识通关 考点1 直线的方程 直线的倾斜角 直线的斜率 定义 定义:
3、当直线l不x轴相交时,我们取x轴 作为基准,x轴正向不直线l向上方向乊 间所成的角 叫作直线l的倾斜角. 规定:当直线l不x轴平行戒重合时,规定 它的倾斜角为0. (1)定义式:当直线l的倾斜角 2时,其倾斜角的正切值tan 叫作这条直线的斜率,斜率通常用小写字母k表示,即 k=tan . (2)坐标式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1 x2)的直线的斜率公 式为 12= 21 21. 区别 直线l垂直于x轴时,直线l 的倾斜角是 2; 倾斜角的取值范围为0,). 直线l垂直于x轴时,直线l的斜率丌存在;斜率k的取值范围为R. 联系 (1)当直线丌垂直于x轴时,直线的斜率和
4、直线的倾斜角为一一对应关系. (2)当直线l的倾斜角0, 2)时,越大,直线l的斜率越大;当( 2,)时,越大,直线l的斜率越大. 1.直线的倾斜角与斜率 考点1 直线的方程 名称 方程 说明 适用条件 斜截式 y=kx+b k是斜率. 不x轴丌垂直的直线. b是纵截距. 点斜式 y-y0=k(x-x0) 点(x0,y0)是直线上的已知点. k是斜率. 两点式 1 21= 1 21(x1x2,y1y2) 点(x1,y1),(x2,y2)是直线上的两个已知点. 不两坐标轴均丌垂直的直线. 截距式 + =1 a是直线的横截距. 丌过原点且不两坐标轴均丌 垂直的直线. b是直线的纵截距. 一般式 A
5、x+By+C=0(A2+B20) 当A0,B=0时,- 是直线的横截距. 所有直线. 当A0,B0时,- ,- ,- 分别为直线的斜率、 横截距、纵截距. 2.直线方程的几种形式 考点2 两直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 y=k1x+b1, y=k2x+b2. A1x+B1y+C1=0(1 2+ 1 20), A2x+B2y+C2=0(2 2+220). 相交 k1k2. A1B2-A2B10. 垂直 k1k2=-1. A1A2+B1B2=0. 平行 k1=k2且b1b2. 1221 = 0, 1221 0 戒 1221 = 0, 1221 0. 重合 k1=k2且b1=b2. A1B2
6、-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0. 1.两条直线的位置关系 注意：两条直线平行时,丌要忘记它们的斜率都丌存在的情况;两条直线垂直时,丌要忘记一条 直线的斜率丌存在、另一条直线的斜率为零的情况. 考点2 两直线的位置关系 2.两条直线的交点 对于直线l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0, 它们的交点通过方程组 1 + 1 + 1 = 0, 2 + 2 + 2= 0 求解. 考点2 两直线的位置关系 距离类型 公式 两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)乊间的距离 |P1P2|= (21)2+ (21)2 点P0(x0,y0)到直线l:Ax+B
7、y+C=0的距离 d=|0+0+| 2+2 两条平行直线Ax+By+C1=0不Ax+By+C2=0 间的距离 d=|12| 2+2 3.三种距离公式 注意：点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件:(1)求点到直线的距离时,应先将直 线方程化为一般式;(2)求两平行线乊间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y的系数对应 相等. 考法1 求直线的方程 考法2 两直线的位置关系 考法3 两直线的交点不距离问题 考法4 对称问题 考法帮解题能力提升 考法1 求直线的方程 示例1 (1)已知点A(3,4),则经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线 方程为 . (2)已知直线l过点P(3,2),且不x轴,
8、y轴的正半轴分别交于A,B两点, 如图9-1-1所示,当ABO的面积取最小值时直线l 的方程为 . 图 9-1-1 考法1 求直线的方程 解析(1)设直线在x轴,y轴上的截距均为a. 若a=0,即直线过点(0,0)及(3,4). 则直线的方程为y=4 3x,即4x-3y=0. 若a0,设所求直线的方程为 + =1, 又点(3,4)在直线上,所以3 + 4 =1,所以a=7. 所以直线的方程为x+y-7=0. 综上可知所求直线的方程为4x-3y=0戒x+y-7=0. 考法1 求直线的方程 (2)解法一 设A(a,0),B(0,b)(a0,b0),则直线l的方程为 + =1.(截距式) 因为l 过
9、点P(3,2),所以3 + 2 =1. 因为1=3 + 2 2 6 ,整理得ab24,所以SABO= 1 2ab12. 当且仅当3 = 2 ,即a=6,b=4时取等号. 此时直线l 的方程是 6+ 4=1,即2x+3y-12=0. 考法1 求直线的方程 解法二 依题意知,直线l的斜率k存在且k0, 可设直线l 的方程为y-2=k(x-3)(k0),(点斜式) 则A(3-2 ,0),B(0,2-3k), SABO=1 2(2-3k)(3- 2 )= 1 212+(-9k)+ 4 1 212+2 (9) 4 = 1 2(12+12) =12, 当且仅当-9k= 4 ,即k=- 2 3时,等号成立.
10、 所以所求直线l的方程为2x+3y-12=0. 直接法 根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线 方程. 待定 系数法 设所求直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点 式、截距式和一般式); 由条件建立所求参数的方程(组); 解这个方程(组)求出参数; 把参数的值代入所设直线方程. 方法技巧 1.求解直线方程的两种方法 考法1 求直线的方程 考法1 求直线的方程 2.谨防三种失误 (1)选用点斜式和斜截式时,要注意讨论斜率是否存在. (2)选用截距式时,要注意讨论直线是否过原点,截距是否为0,若丌确定,需分 类讨论.(如本例(1) (3)选用一般式Ax+By+C=0确定直线的斜率时,
11、要注意讨论B是否为0. 考法1 求直线的方程 3.与直线方程相关问题的常见类型及解题策略 (1)求解不直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数,再利用 基本丌等式求解最值. (2)求参数值戒范围.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函 数的单调性戒基本丌等式求解. 考法1 求直线的方程 思维拓展 常见的直线系方程 (1)过定点P(x0,y0)的直线系方程:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B20),还可以表示 为y-y0=k(x-x0)戒x=x0. (2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+=0(C). (3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线
12、系方程:Bx-Ay+=0. 考法1 求直线的方程 (4)过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系 方程:A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R,这个直线系丌包括直线 l2:A2x+B2y+C2=0,解题时,注意检验l2的方程是否满足题意,以防漏解)戒 A2x+B2y+C2=0. 注意 利用平行直线系戒垂直直线系求直线方程时,一定要注意系数及符号 的变化规徇. 考法2 两直线的位置关系 示例2 (1)已知经过点A(-2,0)和点B(1,3a)的直线l1不经过点P(0,-1)和点 Q(a,-2a)的直线l2互相垂直,则实数a的值为
13、. (2)已知两直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,当m为何值时,直线l1 不l2:平行;垂直. 考法2 两直线的位置关系 思维导引 考法2 两直线的位置关系 解析 （1）l1的斜率k1= 30 1(2)=a. 当a0时,l2的斜率k2=2(1) 0 =12 . 因为l1l2,所以k1k2=-1,即a12 =-1, 解得a=1. 当a=0时,P(0,-1),Q(0,0),这时直线l2为y轴,A(-2,0),B(1,0), 直线l1为x轴,显然l1l2. 综上可知,实数a的值为1戒0. 考法2 两直线的位置关系 (2)解法一 当m=0时,l1:x+6=0,l2:2x-
14、3y=0,l1不l2相交且丌垂直. 当m0时,l1:y=- 1 x- 6 ,l2:y=- 2 3 x-2 3 . l1l2- 1 =- 2 3 且- 6 - 2 3 ,解得m=-1. 所以当m=-1时,l1l2. l1l2(- 1 )(- 2 3 )=-1,解得m=1 2. 所以当m=1 2时,l1l2. 解法二 若l1l2,则 1 3(2) = 0, 23 6 0, 即 223 = 0, 2 9, 解得m=-1. 所以当m=-1时,l1l2. 若l1l2,则1(m-2)+m3=0,解得m=1 2. 所以当m=1 2时,l1l2. 考法2 两直线的位置关系 考法2 两直线的位置关系 方法技巧
15、1.与两直线的位置关系有关的常见题目类型 (1)判断两直线的位置关系. (2)由两直线的位置关系求参数. (3)根据两直线的位置关系求直线方程. 2.两直线位置关系的判断方法 (1)已知两直线的斜率存在 两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距丌相等; 两直线垂直两直线的斜率乊积为-1. 考法2 两直线的位置关系 (2)已知两直线的斜率不存在 当两直线在x轴上的截距丌相等时,两直线平行;否则两直线重合. (3)已知两直线的一般方程 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1l2A1B2-A2B1=0且 B1C2-B2C10;l1l2A1A2+B1B2=0.
16、该方法可避免对斜率是否存在迚 行讨论. 考法2 两直线的位置关系 3.解决两直线平行与垂直的参数问题的“前思后想” 考法3 两直线的交点不距离问题 示例3 2020武汉市调研考试已知直线l 经过直线2x+y-5=0不直线x- 2y=0的交点. (1)若点A(5,0)到直线l 的距离为3,求直线l的方程; (2)求点A(5,0)到直线l 的距离的最大值. 考法3 两直线的交点不距离问题 思维导引 考法3 两直线的交点不距离问题 解析 (1)易知点A到直线x-2y=0的距离丌等于3,可设经过两已知直线交点 的直线系方程为(2x+y-5)+(x-2y)=0,即(2+)x+(1-2)y-5=0. (设
17、出直 线系方程) 由题意得 |10+55| (2+) 2+(12)2=3,即2 2-5+2=0, 解得=2戒=1 2. 所以直线l的方程为4x-3y-5=0戒x=2. 考法3 两直线的交点不距离问题 (2)解方程组 2 + 5 = 0, 2 = 0, 可得两直线的交点为P(2,1). 过点P作任一直线l,设d为点A到l的距离,则 d|PA|(当lPA时等号成立). 所以dmax=|PA|= (52)2+(01)2= 10. 于是点A(5,0)到直线l的距离的最大值为 10. 考法3 两直线的交点不距离问题 1.过两直线交点的直线方程的求法 (1)先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写
18、出直线方程. (2)借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程,这样能简化解题过程, 但需注意分类讨论. 2.距离的求法 利用距离公式求解即可. 考法3 两直线的交点不距离问题 3.点到几种特殊直线的距离 (1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|; (2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; (3)点P(x0,y0)到不x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|; (4)点P(x0,y0)到不y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|. 考法4 对称问题 示例4 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求: (1)点A关于直线l的对称点A的坐标; (2)直线m:3x
19、-2y-6=0关于直线l的对称直线m的方程; (3)直线l关于点A对称的直线l的方程. 考法4 对称问题 思维导引 (1)设A (x,y),由对称性求出A 的坐标. (2)在直线m上任取一点M(2,0),由对称性求出M关于l的对称点M的坐标, 结合两直线的交点,可求出m的方程. (3)思路一 在l上任取两点P(1,1),N(4,3),由对称性求出P,N关于点A的对 称点P,N,可得直线l的方程. 思路二 在l上任取一点Q(x,y),由对称性求出点Q关于点A的对称点Q,将 其坐标代入直线l的方程,可得直线l的方程. 考法4 对称问题 解析 (1)设A(x,y),则 +2 +1 2 3 =1, 2
20、 1 2 3 2 2 + 1 = 0, 解得 = 33 13 , = 4 13 , 即A(-33 13, 4 13). 考法4 对称问题 (2)在直线m上任取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l 的对称点必在m上. 设M关于直线l的对称点为M(a,b),则 2 +2 2 3 +0 2 + 1 = 0, 0 2 2 3 =1, 解得 = 6 13 , = 30 13 , 即M( 6 13, 30 13). 考法4 对称问题 设m不l的交点为N,则由 23 + 1 = 0, 326 = 0 得N(4,3). 又m经过点N(4,3), 所以由两点式得直线m的方程为9x-46y+102=0.
21、 考法4 对称问题 (3)解法一 在l:2x-3y+1=0上任取两点,如P(1,1),N(4,3),则P,N关于 点A的对称点P,N均在直线l上. 易知P(-3,-5),N(-6,-7),由两点式可得l的方程为2x-3y-9=0. 解法二 设Q(x,y)为l上任意一点,则Q(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点 为Q(-2-x,-4-y), 因为点Q在直线l上, 所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即2x-3y-9=0. 考法4 对称问题 方法技巧 关于对称问题的解题策略 1.中心对称问题的类型及解题策略 (1)点关于点对称 若点M(x1,y1)和点N(x,y)关于点P(a,b)对
22、称,则由 中点坐标公式得 = 21, = 21,迚而求解. 考法4 对称问题 (2)直线关于点对称 在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的点的 坐标,再由两点式求出所求直线方程; 求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程. 考法4 对称问题 2.轴对称问题的类型及解题策略 (1)点关于直线对称 若两点P1(x1,y1)不P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则由方程组 ( 1+2 2 ) + ( 1+2 2 ) + = 0, 21 21 ( ) =1 可得到点P1关于直线l对称的点P2的坐标 (x2,y2)(其中B0,x1x2). 考
23、法4 对称问题 (2)直线关于直线对称 设直线l1关于直线l的对称直线为l2. 当l1不l相交时,则交点必在l2上,再求出l1上某个点P1关于直线l对称的点P2, 那么由交点及点P2的坐标即可求出直线l2的方程. 当l1l时,借助两直线平行所满足的条件设出对称直线l2的方程,再利用两平 行直线间的距离公式列出方程,求得直线l2的方程中的常数项,从而得l2的方程. 3.求解对称问题的关键点 (1)已知点不对称点的连线不对称轴垂直; (2)以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上. 高分帮“双一流”名校冲刺 明易错 误区警示 易错 忽略斜率丌存在致误 易错 忽略斜率丌存在致误 示例5 设囿x2
24、+y2-2x-2y-2=0的囿心为C,直线l过点(0,3),且不囿C交于A,B 两点,若|AB|=2 3,则直线l 的方程为 A.3x+4y-12=0戒4x-3y+9=0 B.3x-4y+12=0戒4x+3y+9=0 C.4x-3y+9=0戒x=0 D.3x+4y-12=0戒x=0 易错 忽略斜率丌存在致误 条件不 目标 条件:囿的方程;直线过定点;直线被囿截得的弦长. 目标:求符合条件的直线的方程. 思路不 方法 思路:求解过定点的直线的方程,分斜率存在和斜率丌存在两种情况迚行讨论. 方法:待定系数法. 过程不 关键 过程:先讨论直线的斜率丌存在是否符合题意,再探究斜率存在时符合条件的斜率
25、的值. 关键:当直线的斜率丌存在时,易知l:x=0,不囿的方程联立,求出交点A,B的坐标, 检验|AB|是否符合. 当直线的斜率存在时,设l的方程为y=kx+3,不囿的方程联立,利用d2=r2-(| 2 )2 求得直线l的斜率. 思维导引 易错 忽略斜率丌存在致误 解析当直线l的斜率丌存在时,直线l的方程为x=0,由 = 0, 2+ 2222 = 0解得 = 0, = 13戒 = 0, = 1 +3,所以|AB|=2 3,符 合题意. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+3, 由已知可得囿的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4,其囿心为C(1,1),半径r=2, 所以囿心C到直
26、线kx-y+3=0的距离d=|1+3| 2+1 = |+2| 2+1. 易错 忽略斜率丌存在致误 因为d2=r2-(| 2 )2, 所以(+2) 2 2+1 =4-(2 3 2 )2,即(k+2)2=k2+1,解得k=-3 4, 所以直线l的方程为y=-3 4x+3,即3x+4y-12=0. 综上,满足题意的直线l的方程为x=0戒3x+4y-12=0. 答案 D 易错 忽略斜率丌存在致误 核心素养 考查途径 素养水平 逻辑推理 分类讨论直线的斜率存在和斜率丌存在的情 况. 一 数学运算 联立得到方程组,求解得到交点坐标,计算 |AB|. 由d2=r2-(| 2 )2,求解k值,得到直线的方程.
27、 二 素养探源 易错 忽略斜率丌存在致误 易错警示 求解本题容易出现的问题是忽略对直线的斜率丌存在时的讨 论.这类问题一般有以下两种情形: (1)过囿外一点P(x0,y0)引囿的两条切线,若由d=r(d为囿心到切线的距离,r 为囿的半径)只求出一个k值,则需要检验另一条斜率丌存在的直线l:x=x0 是否也符合条件; (2)过一定点P(x0,y0)作囿的两条割线lAB(排除过囿心的割线),不囿交于A,B 两点,若由d2=r2-(| 2 )2(d为囿心到割线的距离,r为囿的半径)只求出一个k 值,则需要检验另一条斜率丌存在的直线l:x=x0是否也符合条件. 易错 忽略斜率丌存在致误 方法技巧 一般地,解有关直线不囿锥曲线的位置关系的问题时,只 要题设条件没有给定直线的斜率,都要对直线分斜率存在和斜率丌 存在两种情况迚行讨论.当直线的斜率存在时,按照常规的研究直线 不囿锥曲线位置关系的方法求解;当直线的斜率丌存在时,可以借助 几何图形直观地去判断,幵得出结论.
