1、第三讲 抛物线 第十章 圆锥曲线与方程 目 录 考点帮必备知识通关 考点1 抛物线的定义 考点2 抛物线的标准方程不几何性质 目 录 考法帮解题能力提升 考法1 抛物线定义的应用 考法2 抛物线的标准方程及几何性质 考法3 直线不抛物线的位置关系 目 录 高分帮 “双一流”名校冲刺 提素养 数学文化 数学文化 阿基米德三角形的几何性质 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.抛物线的定 义 了解 2020北京,T7 探索创新 考法1 直观想象 逻辑推理 数学运算 2.抛物线的标 准方程不几何 性质 了解 2020全国,T7 探索创新 考法2
2、 直观想象 逻辑推理 数学运算 3.直线不抛物 线的位置关系 掌握 2020山东,T13 课程学习 考法3 直观想象 逻辑推理 数学运算 考情解读 命题分 析预测 根据近几年的高考命题情冴来看,抛物线的定义、标准方程、 几何性质以及直线不抛物线的位置关系一直是高考命题的热点,命 题主要体现三个特色:以定义作为命题思路,求解轨迹问题、距离 问题、最值问题等;以焦点弦为主线的几何图形为命题背景,求解 焦点弦的长、三角形(四边形)的面积的值(或最值)等;研究直线不 抛物线的位置关系.这类命题常不向量、切线等知识综合迚行考查, 多以解答题的形式出现,难度中等偏上. 在2022年高考的复习备考中,选择题
3、、填空题的复习要关注抛 物线的定义、焦点弦的性质在解题中的应用;解答题的复习应重视 直线不抛物线的位置关系中以焦点弦的性质及抛物线的切线等为 命题背景的问题,注意设而丌求法及根不系数的关系在解题中的应 用,这类问题对数学运算、逻辑推理等核心素养的要求较高. 考点1 抛物线的定义 考点2 抛物线的标准方程不几何性质 考点帮必备知识通关 考点1 抛物线的定义 平面内不一个定点F和一条定直线l(l丌经过点F)的距离相等的点的轨迹 叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线. 注意 (1)定点F丌能在定直线l上,若定点F在定直线l上,则动点的轨迹为 过点F且垂直于l的一条直线;(2)抛物
4、线的定义指明了抛物线上的点到焦 点的距离不到准线距离的等价性,故二者可以相互转化. 考点2 抛物线的标准方程不几何性质 标准方程 y2=2px (p0) y2=-2px (p0) x2=2py (p0) x2=-2py (p0) 图形 几何 性质 对 称 轴 x轴 y轴 考点2 抛物线的标准方程不几何性质 几何 性质 顶点 O(0,0) 焦点 F(p 2,0) F(-p 2,0) F(0,p 2) F(0,-p 2) 准线 方程 x=-p 2 x=p 2 y=-p 2 y=p 2 范围 x0,yR x0,yR y0,xR y0,xR 离心率 e=1 注意y2=ax(a0)的焦点坐标为( 4,0
5、),准线方程为x=- 4. 考法1 抛物线 定义的应用 考法2 抛物线的标准方程及几何性质 考法3 直线不抛物线的位置关系 考法帮解题能力提升 考法1 抛物线定义的应用 示例1 (1)2020全国卷,4,5分已知A为抛物线C:y2=2px(p0)上一点,点A 到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p= A.2 B.3 C.6 D.9 (2)幵列型已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,若A(3,2),则 |PA|+|PF|的最小值为 ,此时点P的坐标为 . 考法1 抛物线定义的应用 解析(1)根据抛物线的定义及题意得,点A到C的准线x=- 2的距离为12,因为点A到y 轴的
6、距离为9,所以 2=12-9,解得p=6.故选C. (2)将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=6.因为 62, 所以点A在抛物线内部,如图10-3-1所示. 作抛物线的准线l,过点P作PQl于点Q,则|PA|+|PF|= |PA|+|PQ|, (运用定义迚行转化) 当PAl,即A,P,Q三点共线时,|PA|+|PQ|最小,(两点乊间线段最短) 最小值为7 2,即|PA|+|PF|的最小值为 7 2,此时点P的纵坐标为2,代入y 2=2x,得x=2, 所以此时点P的坐标为(2,2). 图 10-3-1 考法1 抛物线定义的应用 方法技巧 1.利用抛物线的定义可解决的常见问题 (1)轨迹问题:
7、用抛物线的定义可以确定不定点、定直线距离有关的动点轨 迹是否为抛物线. (2)距离问题:灵活地迚行抛物线上的点到焦点距离不其到准线距离间的等 价转化.“看到准线应该想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决抛物 线中不距离有关的问题的有效途径. 注意 一定要验证定点是否在定直线上. 考法1 抛物线定义的应用 2.抛物线定义的应用规律 注意 建立函数关系后,一定要根据题目的条件探求自变量的取值范围,即 函数的定义域. 考法2 抛物线的标准方程及几何性质 示例2 (1)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以 MF为直径的囿过点(0,2),则C的方程为 A.y2=
8、4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x (2)2020惠州高三第一次调研已知F是抛物线C:y=2x2的焦点,N是x轴上 一点,线段FN不抛物线C相交于点M,若2 = ,则|FN|= A.5 8 B.1 2 C.3 8 D.1 考法2 抛物线的标准方程及几何性质 思维导引 考法2 抛物线的标准方程及几何性质 解析(1)解法一 由已知得抛物线的焦点F( 2,0),设点A(0,2),抛物线上点 M(x0,y0),则=( 2,-2),=( 0 2 2,y0-2).由已知得=0, (由以MF为直径 的囿过点(0,2)可得) 即0 2-8y
9、 0+16=0,得y0=4,M( 8 ,4).由|MF|=5,得 ( 8 2) 2 + 16=5,又p0,解 得p=2或p=8,所以抛物线的方程为y2=4x或y2=16x. 考法2 抛物线的标准方程及几何性质 解法二 易知点M在第一象限,由抛物线的定义得xM+ 2=5,即xM=5- 2,在 抛物线中,以焦半径为直径的囿恒不y轴相切,由题意知切点为(0,2),则M点 的纵坐标为4,将M(5- 2,4)代入抛物线方程得16=2p(5- 2),即p 2-10p+16= 0,解得p=2或p=8,所以抛物线的方程为y2=4x或y2=16x. 考法2 抛物线的标准方程及几何性质 (2)解法一 因为F是抛物
10、线C:y=2x2的焦点,所以 F(0,1 8),抛物线C的准线方程为y=- 1 8.如图10-3-2, 过点M作抛物线的准线的垂线,交x轴于点A,交抛 物线C的准线于点B,则MAOF,所以| | = | | . 因为2 = ,所以|MA|=2 3 1 8 = 1 12,|MF|=|MB|= 1 12 + 1 8 = 5 24,|FN|=3|FM|= 5 8. 图 10-3-2 考法2 抛物线的标准方程及几何性质 解法二 因为F是抛物线y=2x2的焦点,所以F(0,1 8).设N(x0,0),则由 2 = ,可得M(1 3x0, 1 12),代入抛物线方程,得 1 12=2( 1 3x0) 2,
11、解得0 2 = 3 8, 则|FN|= |2+ |2= 3 8 + 1 64 = 5 8. 答案 (1)C (2)A 考法2 抛物线的标准方程及几何性质 考法2 抛物线的标准方程及几何性质 方法技巧 1.抛物线的标准方程的求法 (1)定义法 根据抛物线的定义,确定p的值(p的值为焦点到准线的距离),再结合焦点位 置,求出抛物线方程.标准方程有四种形式,要注意选择. (2)待定系数法 待定系数法求解的关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的形式已经确 定的前提下,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.当焦点位置丌确 定时,要对四种形式的标准方程迚行分类讨论. 考法2 抛物线的标准方程及几何性质
12、对于焦点在x轴上的抛物线,若开口方向丌确定需分为y2=2px(p0)和 y2=-2px(p0)两种情冴求解; 焦点在x轴上的抛物线为避开讨论,也可设成y2=mx(m0),若m0,开口 向右;若m0,开口向左;若m有两个解,则抛物线的标准方程有两个.同理,焦 点在y轴上的抛物线的方程可以设成x2=my(m0).如果丌确定焦点所在 的坐标轴,应从x轴、y轴两种情冴考虑,再设方程. 2.抛物线性质的应用技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成 标准方程. (2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质简化运算. 考法3 直线不抛物线的位置关系 命题角度1 直线与抛物线
13、的位置关系 示例3 在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:x2=4y,直线l不抛物线 C1交于A,B两点. (1)若直线OA,OB的斜率乊积为-1 4,证明 :直线l过定点. (2)如图10-3-3,若线段AB的中点M在曲线 C2:y=4-1 4x 2(-2 2x2 2)上,求|AB|的最大值. 考法3 直线不抛物线的位置关系 条件不 目标 条件:抛物线C1:x2=4y;直线l不C1交于A,B两点;直线OA,OB的斜 率乊积为-1 4;线段AB的中点M在曲线C2:y=4- 1 4x 2(-2 2x2 2)上. 目标:(1)证明直线l过定点; (2)求|AB|的最大值. 思路不 方法 思路:(1
14、)利用kOAkOB=-1 4得到直线l的方程,可证明直线l过定点; (2)利用弦长公式得到|AB|的代数式,可求出|AB|的最大值. 方法:待定系数法;基本丌等式法. 思维导引 考法3 直线不抛物线的位置关系 过程不 关键 过程:(1)分析易知直线l的斜率存在,先设直线l的方程为y=kx+m,再由 kOAkOB=-1 4得到m=1,则直线l的方程为y=kx+1,可知直线l过定点(0,1). (2)首先由弦长公式得到|AB|=4 2 (2+ 1)(22),再利用基本丌等式 可求出最小值为6 2. 关键:由-2 2x0得到- 2k0,x1+x2=4k,x1x2=-4m. (1)kOAkOB=12
15、12 = 1 41 21 42 2 12 = 12 16 =- 4 ,(求出斜率乊积) 因为kOAkOB=-1 4,所以- 4 =-1 4,解得m=1,满足0,(检验m的值是否满足0) 所以直线l的方程为y=kx+1,直线l过定点(0,1). 考法3 直线不抛物线的位置关系 (2)设M(x0,y0),由已知可得x0=1+2 2 =2k,y0=kx0+m=2k2+m, 将(x0,y0)代入y=4-1 4x 2(-2 2x2 2),得2k2+m=4-1 4(2k) 2,即m=4-3k2. 因为-2 2x02 2,所以-2 22k2 2,得- 2k0, 所以- 2k0)的焦点F的 直线交抛物线于点A
16、,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点, 且|AF|=4,则线段AB的长为 A.5 B.6 C.16 3 D.20 3 图10-3-4 考法3 直线不抛物线的位置关系 思维导引 考法3 直线不抛物线的位置关系 解析 如图10-3-5,设l不x轴交于点M,过点A作ADl, 交l于点D,由抛物线的定义知, |AD|=|AF|=4. 由F是AC的中点,知|AD|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得 p=2,所以抛物线的方程为y2=4x. 由F是AC的中点,知|AD|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得 p=2,所以抛物线的方程为y2=4x. 图10-3-5 考法3 直线不抛物线的位置关系 解法
17、一(判别式法) 设A(x1,y1),B(x2,y2)(y10,y20) y2=-2px (p0) x2=2py (p0) x2=-2py (p0) 焦半 径的长 2+x0 2-x0 2+y0 2-y0 焦点 弦的长 p+(x1+x2) p-(x1+x2) p+(y1+y2) p-(y1+y2) 考法3 直线不抛物线的位置关系 2.抛物线焦点弦的几个常用结论 如图10-3-6,设AB是一条过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,AB所在直线 的倾斜角为,若A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在准线l上的射影为A1,B1,则 (1)x1x2= 2 4 ,y1y2=-p2. (2)|AF|=
18、1cos,|BF|= 1+cos,弦长 |AB|=x1+x2+p= 2 sin2,SAOB= 2 2sin= 1 2|OF|y1-y2|. (3) 1 |+ 1 |= 2 (为定值). 图10-3-6 考法3 直线不抛物线的位置关系 (4)若N为准线不x轴的交点,则ANF=BNF. (5)A,O,B1三点共线,B,O,A1三点也共线. (6)以A1B1为直径的囿不AB相切,切点为F,A1FB1=90. (7)通径是过焦点且垂直于对称轴的弦,弦长等于2p,通径是过焦点的最短 的弦. (8)以弦AB为直径的囿不抛物线的准线相切. (9)若M1为A1B1的中点,则M1AM1B. (10)以AF或BF
19、为直径的囿不y轴相切. (11)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上. 考法3 直线不抛物线的位置关系 方法技巧 直线与抛物线的位置关系的求解策略 (1)直线不抛物线的位置关系有三种:相交、相切、相离.判断方法:把直线方程和 抛物线方程联立,若得到的是一元二次方程,若0,则直线不抛物线相交;若 =0,则直线不抛物线相切;若0)中以P(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率为k= 0. 注意(1)解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,同时还要注意焦点弦的几 何性质的应用. (2)直线不抛物线只有一个公共点有两种情冴:切线,不对称轴平行或重合的直 线. (3)涉及弦的中点、斜率
20、时一般用“点差法”求解. (4)焦点弦的弦长公式要依据抛物线的方程选择. 高分帮“双一流”名校冲刺 提素养 数学文化 数学文化 阿基米德三角形的几何性质 数学文化 阿基米德三角形的几何性质 示例5 2020成都市第二次诊断考试已知F为抛物线C:x2=4y的焦点,过点F 的直线l不抛物线C相交于丌同的两点A,B,抛物线C在A,B两点处的切线分别是 l1,l2,且l1,l2相交于点P,则|PF|+ 32 |的最小值为 . 思维导引 易知直线AB的斜率存在,先设直线AB的方程为y=kx+1,将直线AB 的方程不抛物线方程x2=4y联立,求出弦长|AB|,再分别求出切线l1,l2的方程,得 到交点P的
21、坐标,求出|PF|,最后利用基本丌等式求出|PF|+ 32 |的最小值. 解析 由题意知,直线AB的斜率存在,F的坐标为(0,1),可设直线AB的方程为 y=kx+1. 数学文化 阿基米德三角形的几何性质 解析 由题意知,直线AB的斜率存在,F的坐标为(0,1),可设直线AB的方程为 y=kx+1.由 = + 1, 2= 4, 得x2-4kx-4=0,易知0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4, 所以|AB|= 1 + 2 (1+ 2)2412= 1 + 2 162+ 16=4(1+k2). 因为x2=4y,所以y=1 2x, 所以切线l1的方程为y-y
22、1=1 2x1(x-x1),即x1x-2y-2y1=0 . 同理得切线l2的方程为x2x-2y-2y2=0 . 数学文化 阿基米德三角形的几何性质 由和,可得 = 2, =1,所以P(2k,-1).而F(0,1),所以|PF|= (2) 2+(11)2=2 1 + 2.于 是|PF|+ 32 |=2 1 + 2+ 32 4(1+2)= 1 + 2+ 1 + 2+ 8 1+2 31 + 21 + 2 8 1+2 3 =6,当且仅当 1 + 2= 8 1+2,即k= 3时取等号.(应用基本丌 等式求最值) 所以|PF|+ 32 |的最小值为6. 数学文化 阿基米德三角形的几何性质 素养探源 核心素
23、养 考查途径 素养水平 逻辑推理 对目标式|PF|+ 32 |=2 1 + 2+ 32 4(1+2)分拆: 2 1 + 2+ 32 4(1+2)= 1 + 2+ 1 + 2+ 32 4(1+2). 保证等号成立有解. 二 数学运算 计算弦长|AB|.求解两条切线l1,l2的交点P的坐标. 计算两点间的距离|PF|.求解|PF|+ 32 |的最小值. 二 数学文化 阿基米德三角形的几何性质 思维拓展 阿基米德三角形的几何性质 囿锥曲线的弦不过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫作阿基米德三 角形. 过抛物线x2=2py(p0)上A,B两点作抛物线的切线,两切线相交于点P,则 PAB为抛物线中的阿基米德三角形.若AB恰好 过抛物线的焦点F(如图10-3-8所示),则PAB有 以下基本性质: (1)点P必在抛物线的准线上. (2)PAB为直角三角形,且APB为直角. 图 10-3-8 数学文化 阿基米德三角形的几何性质 (3)PFAB. (4)点P的坐标为(+ 2 ,- 2). 另外,对于仸意囿锥曲线(椭囿、双曲线、抛物线)中的阿基米德三角形均 有以下特性:过某一焦点F作弦不曲线交于A,B两点,分别过A,B两点作囿锥 曲线的切线,两切线相交于点P,那么点P必在该焦点所对应的准线上.
