1、第十五章 数系的扩充与复数的引入 目 录 考点帮必备知识通关 考点1 复数的有关概念 考点2 复数的四则运算 目 录 考法帮解题能力提升 考法1 复数的概念 考法2 复数的运算 考法3 复数的几何意义 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.复数的概 念 理解 2020全国,T2 课程 学习 考法1 数学运算 2020北京,T2 课程 学习 考法3 2.复数的运 算 掌握 2020全国,T2 课程 学习 考法2 数学运算 考情解读 命题分 析预测 本章是高考的必考内容,主要考查复数的概念和复数的四则 运算(尤其是除法运算),一般出现在选择题
2、的前三题中,比较简单, 属于送分题,分值5分.预测2022年高考会延续近几年高考的命 题特点,复习中应重视基本概念的理解,把握好基本的四则运算. 主要考查考生的数学运算能力和等价转化思想的应用. 考点1 复数的有关概念 考点2 复数的四则运算 考点帮必备知识通关 考点1 复数的有关概念 1.复数的有关概念 名称 含义 复数的 定义 形如a+bi(aR,bR)的数叫作复数,其中实部为a,虚部为b,i为 虚数单位且i2=-1. 复数 分类 a+bi为实数b=0; a+bi为虚数b0; a+bi为纯虚数a=0且b0(a,bR). 复数 相等 a+bi=c+d ia=c且b=d(a,b,c,dR).
3、考点1 复数的有关概念 名称 含义 共轭 复数 (1)a+bi与c+di互为共轭复数a=c且b=-d(a,b,c,dR). (2)z=a+bi(a,bR),z的共轭复数为,则: zRz=. 非零复数z是纯虚数+z=0. z+=2a,z-=2bi. 1 2= 12;12= 12;( 1 2 ) = 1 2(z20). 考点1 复数的有关概念 名称 含义 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面,x轴叫作实 轴,y轴叫作虚轴.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的 点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数. 复数 的模 设对应的复数为z=a+bi,则向量的长度叫作复数z=a+bi 的
4、模,即|z|=|a+bi|= 2+ 2. 易错警示 (1)一个复数为纯虚数,不仅要求实部为0,还需要虚部不为0. (2)两个不全是实数的复数不能比较大小. (3)互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称. 考点1 复数的有关概念 2.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面 内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的. 考点2 复数的四则运算 1.复数的运算法则 设z1=a+bi,z2=c+d i(a,b,c,dR). 运算法则 运算形式 加法 z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 减法 z1-z2=
5、(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 乘法 z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. 除法 1 2 = +i +i = ( +i)(i) (+)(i) = + 2+2 + 2+2 i(c+di0). 考点2 复数的四则运算 2.复数的运算律 对任意的z1,z2,z3C: 加法运算律 交换律:z1+z2=z2+z1. 结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 乘法运算律 交换律:z1z2=z2z1. 结合律:(z1z2)z3=z1(z2z3). 分配律:(z1+z2)z3=z1z3+z2z3. 考点2 复数的四则运算 3.复数加、减运算
6、的几何意义 若复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,O为坐标原点,则: (1)复数加法的几何意义 若向量1,2不共线,则复数z1+z2是以1,2为两邻边的平行四边 形的对角线所对应的复数. (2)复数减法的几何意义 复数z1-z2是1 2= 21所对应的复数. 考法1 复数的概念 考法2 复数的运算 考法3 复数的几何意义 考法帮解题能力提升 考法1 复数的概念 示例1 (1)2019全国卷,2,5分文设z=i(2+i),则= A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i (2)2017天津,9,5分文已知aR,i为虚数单位,若i 2+i 为实数,则a的值 为 . 思
7、维导引 (1)利用复数的四则运算及共轭复数的定义即可得出结果.(2)根据 复数的除法法则,先把i 2+i 化简成x+yi(x,yR)的形式,然后令y=0即可求解.也 可以引迚参数,利用复数相等的定义列方程组求解. 考法1 复数的概念 解析 (1)依题意得z=i2+2i=-1+2i,=-1-2i,故选D. (2)解法一 因为i 2+i = (i)(2i) (2+i)(2i) = (21)(+2)i 5 = 21 5 +2 5 i为实数, 所以+2 5 =0,解得a=-2. 解法二 令i 2+i =t(tR),则a-i=t(2+i)=2t+ti, 所以 = 2, =1,解得a=-2. 考法1 复数
8、的概念 示例2 若i(x+yi)=3+4i(x,yR),则复数x+yi的模是 A.2 B.3 C.4 D.5 思维导引 根据复数的运算法则和模的计算公式求解. 解析 解法一 因为i(x+yi)=3+4i,所以-y+xi=3+4i, 所以x=4,y=-3,故|x+yi|=|4-3i|= 42+ (3)2=5. 解法二 因为i(x+yi)=3+4i,所以|i(x+yi)|=|3+4i|,所以|i|x+yi|=5, 所以|x+yi|=5. 答案D 考法1 复数的概念 方法技巧求解与复数概念相关问题的技巧 (1)复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部 和虚部有关,所以解答与复数概
9、念有关的问题时,需先把所给复数化为 a+bi(a,bR)的形式,再根据题意列方程(组)求解. (2)求复数的模时,直接根据复数的模的公式|a+bi|= 2+ 2和性质 |=|z|,|z2|=|2=z,|z1z2|=|z1|z2|,|1 2|= |1| |2|迚行计算. 考法1 复数的概念 (3)复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的方法. 注意 (1)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,bR)的形式,以确定实 部和虚部;(2)无论一个复数是实数还是虚数,都要保证这个复数的实部和 虚部有意义. 考法2 复数的运算 示例3 (1)2018全国卷,1,5分 1+2i 12i= A.-4
10、5 3 5i B.- 4 5 + 3 5i C.-3 5 4 5I D.- 3 5 + 4 5i (2)已知复数z=1+ 2i 1i,则1+z+z 2+z2 020= A.1+i B.1-i C.1 D.0 思维导引 (1)利用复数的除法法则求解;(2)先对复数z迚行化简,再根据等 比数列的求和公式或借助in(nN)的周期性求解. 考法2 复数的运算 解析(1)由题意得 1+2i 12i = (1+2i)(1+2i) (12i)(1+2i)=- 3 5 + 4 5i. (2)解法一(根据等比数列的前n项和公式求解) 因为 z=1+ 2i 1i=1+ 2i(1+i) 2 =i,所以1+z+z2+
11、z2 020=1(1 2 021) 1 = 1i2 021 1i = 1i4505i 1i =1. 解法二(利用周期性求解) 因为z=1+ 2i 1i=1+ 2i(1+i) 2 =i,所以 1+z+z2+z2 020=1+i+i2+i2 020=505(1+i-1-i)+1=1. 答案 (1)D (2)C 考法2 复数的运算 点评 (1)要学会区分(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,bR)与 (a+b)2=a2+2ab+b2(a,bR); (2)要学会区分(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,bR)与(a+b)(a-b)=a2-b2 (a,bR). 考法2 复数的运算 方法技巧 1.
12、在复数的四则运算中,加、减、乘运算按多项式运算法则迚行,把含有虚 数单位i的项看作一类同类项,不含i的项看作另一类同类项;除法运算则需 要分母实数化,解题中注意要把i的幂化成最简形式. 2.复数运算中的常用结论 (1)(1i)2=2i, 1+i 1i=i, 1i 1+i =-i. (2)+i i =b-ai. (3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(nN). 考法3 复数的几何意义 示例4 (1)2019全国卷,2,5分设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应 的点为(x,y),则 A.(x+1)2+y2=1 B
13、.(x-1)2+y2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1 (2)2016全国卷,1,5分已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在 第四象限,则实数m的取值范围是 A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+) D.(-,-3) 考法3 复数的几何意义 解析(1)解法一 z在复平面内对应的点为(x,y),z=x+yi(x,yR).|z- i|=1,|x+(y-1)i|=1,x2+(y-1)2=1. 解法二 |z-i|=1表示复数z在复平面内对应的点(x,y)到点(0,1)的距离 为1,x2+(y-1)2=1. (2)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m+3,m-1),因为点 在第四象限,所以 + 3 0, 1 0, 解得-3m1. 答案(1)C (2)A 考法3 复数的几何意义 方法技巧 (1)复数z、复平面上的点Z及向量三者间的联系为 z=a+bi(a,bR)Z(a,b)=(a,b),据此可知,确定复数在复平面内对 应的点所在的位置,只要将复数化为代数形式后,根据对应点Z的坐标确定 即可,反之,根据Z的坐标即可写出复数z. (2)由于复数、点、向量之间存在一一对应的关系,因此可把复数、向量与 解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直 观.
