1、必考部分 第三章第三章 三角函数、解三角形三角函数、解三角形 第一讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 知识点一 角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、_和_. (2)从终边位置来看，角可分为_与_. (3)若与是终边相同的角，则用表示为_. 负角 零角 象限角 轴线角 2k，kZ 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 知识点二 弧度制及弧长、扇形面积公式 (1)1弧度的角 长度等于_
2、的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 (2)角的弧度数 如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么角的弧度数的绝 对值是|_. 半径长 l r 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (3)角度与弧度的换算 1 _；1rad_. (4)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为 l，圆心角大小为 (rad)，半径为 r，则 l_， 扇形的面积为 S1 2lr_. |r 180rad 180 1 2| r 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 知识点三 任意角的三角函数 (1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那 么
3、sin _，cos _，tan _. y x y x(x0) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线 的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点 (1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的_， _和_. 正弦线 余弦线 正切线 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 1终边相同的角与对称性拓展 (1)，终边相同2k，kZ. (2)，终边关于x轴对称2k，kZ. (3)，终边关于y轴对称2k，kZ. (4)，终边关于原点对称2k，kZ. 2终边相同的
4、角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与 角终边相同的角时，单位必须一致 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)小于90的角是锐角 ( ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然 ( ) (3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30. ( ) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (5)角 ak 3(kZ)是第一象限角 ( ) (6)若 sin sin 7，则 7. ( ) 解析 根据任意角的概
5、念知(1)(2)(3)(4)(5)(6)均是错误的 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 题组二 走进教材 2(必修 4P10AT8 改编)下列与9 4 的终边相同的角的表达式中正确的 是 ( ) A2k45 (kZ) Bk 360 9 4(kZ) Ck 360 315 (kZ) Dk5 4 (kZ) C 解析 由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧 度，应为 42k 或 k 360 45 (kZ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 3(必修4P15T6改编)若角满足tan 0，sin 0知，是一、三象限角，由si
6、n 0 Bcos 20 Dsin 20 D 解析 是第四象限角， 22k2k，kZ， 4k24k，kZ，角 2 的终边在第三、四象限或 y 轴非正半轴上， sin 20，cos 2 可正、可负、可零故选 D. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 6(2019 浙江，14 分)已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的 非负半轴重合，它的终边过点 P 3 5， 4 5 .则 sin()的值为_. 解析 由角 的终边过点 P 3 5， 4 5 得 sin 4 5， 所以 sin() sin 4 5. 4 5 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮
7、总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (1)若角 的终边与6 7 角的终边相同，则在区间0,2)内终边 与 3角的终边相同的角为_. (2)若角 的顶点为坐标原点，始边在 x 轴的非负半轴上，终边在直 线 y 3x 上，则角 的取值集合是 ( ) A. 2k 3，kZ B 2k2 3 ，kZ C k2 3 ，kZ D k 3，kZ 考点一 角的基本概念自主练透 例 1 D 2 7 ，20 21 ，34 21 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (3)(多选题)已知角的终边在第二象限， 则 2的终边在第几象限( ) A一 B二 C三 D四 AC 解
8、析 (1)6 7 2k(kZ)， 3 2 7 2k 3 (kZ) 依题意，02 7 2k 3 2，kZ， 解得3 7k 18 7 ，kZ. k0,1,2，即在区间0,2)内终边与 3相同的角为 2 7 ，20 21 ，34 21 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)因为直线 y 3x 的倾斜角是2 3 ，所以终边落在直线 y 3x 上的角的取值集合为 k 3，kZ ，故选 D. (3)由角 的终边在第二象限， 所以 2k2k2，kZ， 所以 4 k 22 2 2 k 22，kZ， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形
9、当 k2m，mZ 时， 4m2 2 2m2，mZ， 所以 2终边在第一象限； 当 k2m1，mZ 时，5 4 m2 2 3 2 m2，mZ， 所以 2终边在第三象限，综上， 2的终边在第一或三象限故选 A、 C. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)在本例题(3)中，条件不变， 3的终边所在的位置是 _. (3)在本例(3)中，条件不变，则 是第_象限角，2 终边的 位置是_. 引申(1)本例题(3)中，若把第二象限改为第三象限，则结果如何？ 在第一、二或四象限 一 第三或第四象限或y轴负半轴上 答案 2的终边在第二或第四象限 返回导航 高考一轮总复习
10、数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 1迅速进行角度和弧度的互化，准确判断角所在的象限是学习三 角函数知识必备的基本功，若要确定一个绝对值较大的角所在的象限， 一般是先将角化成2k(02)(kZ)的形式，然后再根据所在的 象限予以判断，这里要特别注意是的偶数倍，而不是的整数倍 2终边相同角的表达式的应用 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出 与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(kZ) 赋值来求得所需角 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 3确定 k(kN *)的终边位置的方法 (1)讨论法： 用终边相同角的形
11、式表示出角 的范围 写出 k的范围 根据 k 的可能取值讨论确定 k的终边所在位置 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)等分象限角的方法： 已知角 是第 m(m1,2,3,4)象限角， 求 k是第 几象限角 等分：将每个象限分成 k 等份 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 标注：从 x 轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上 1,2,3,4， 直至回到 x 轴正半轴 选答：出现数字 m 的区域，即为 k所在的象限 如 2判断象限问题可采用等分象限法. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角
12、形 考点二 扇形的弧长、面积公式的应用师生共研 例 2 已知扇形的圆心角是 ，半径为 R，弧长为 l. (1)若 60 ，R10 cm，求扇形的弧长 l. (2)若扇形的周长是 20 cm，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这个 扇形的面积最大？ (3)若 3，R2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 (1)60 3，l10 3 10 3 (cm) (2)由已知得，l2R20， 所以 S1 2lR 1 2(202R)R10RR 2(R5)225. 所以当 R5 时，S 取得最大值 25 cm2， 此时 l10，2. (3)设
13、弓形面积为 S 弓由题知 l2 3 cm. S 弓S扇形S三角形1 2 2 3 21 22 2sin 3 2 3 3 cm2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 答案 (1)10 3 cm (2)2 时，S 最大为 25 cm2 (3) 2 3 3 cm2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 弧长和扇形面积的计算方法 (1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简 捷但要注意圆心角的单位是弧度 (2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于 的不等式或利 用二次函数求最值的方法确定相应最值 (3)记住下列公式
14、：lR；S1 2lR；S 1 2R 2.其中 R 是扇形的 半径，l 是弧长，(02)为圆心角，S 是扇形面积 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 变式训练1 (1)(2021 广东珠海模拟)已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大 时，扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A2 B1 C D3 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)(2020 山东潍坊期中)九章算术是我国古代数学成就的杰出代 表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积 1 2(弦矢矢 2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指
15、圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角 为2 3 ，半径为 6 m 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( 3 1.73) ( ) A16 m2 B18 m2 C20 m2 D25 m2 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 (1)设扇形的半径为 R， 则弧长 l42R， 扇形面积 S1 2lR R(2R)R22R(R1)21，当 R1 时，S 最大，此时 l2， 扇形圆心角为 2 弧度 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)如图， 由题意， 得AOB2 3 ， OA6.在 RtAOD
16、 中， 可得AOD 3，DAO 6，OD 1 2AO 1 263，可得矢633.由 ADAO sin 36 3 2 3 3， 可得弦 AB2AD23 36 3， 所以弧田面积1 2(弦 矢矢 2)1 2(6 333 2)9 34.520(m2)，故选 C. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 角度 1 定义的直接应用 (1)(2020 北京海淀期中)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的 纵坐标为 2， 点 C 在 x 轴的正半轴上 在AOC 中， 若 cos AOC 5 3 ， 则点 A 的横坐标为 ( ) A 5 B 5 C3 D3 考点三 三角函数的定
17、义多维探究 例 3 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)若角 的终边经过点 P( 3，m)(m0)且 sin 2 4 m，则 cos 的值为_. 分析 利用三角函数的定义求解 解析 (1)设点 A 的横坐标为 x，则由题意知 x x24 5 3 ，解得 x 5或 5，又 x0 Bcos(305 )0 Ctan 22 3 0 Dsin 100 (2)若 sin tan 0，且cos tan 0，则角 是 ( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 例 4 BD C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形
18、 解析 (1)300 360 60 ，则 300 是第四象限角，故 sin 300 0， 而22 3 82 3 ， 所以22 3 是第二象限角， 故 tan 22 3 0， 因为 3107 2 ， 所以 10 是第三象限角，故 sin 100.故选 B、D. (2)由 sin tan 0 可知 sin ， tan 异号， 则 为第二或第三象限角 由 cos tan 0 可知 cos ，tan 异号，则 为第三或第四象限角综上可知， 为第三象限角故选 C. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角终边上一点P的坐标，可先求出
19、点P到原点的距离|OP| r，然后利用三角函数的定义求解 (2)已知角的终边所在的直线方程，可先设出终边上一点的坐标， 求出此点到原点的距离r，再利用三角函数的定义求解，应注意分情况讨 论 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 变式训练 2 (1)(角度 1)若 sin cos 0，则角 是 ( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)(角度 2)已知角 的终边与单位圆的交点为 P 1 2，y ，则 sin tan 等于 ( ) A 3 3 B 3 3 C3 2
20、D 3 2 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 解析 (1)由tan sin 0，得 1 cos 0，cos 0，又 sin cos 0，所以 sin 0，所以 为第四象限角，选 D. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (2)因为点 P 1 2，y 在单位圆上， 所以 1 2 2y21，解得 y 3 2 . 当 y 3 2 时，sin 3 2 ，tan 3， 所以 sin tan 3 2. 当 y 3 2 时，sin 3 2 ，tan 3，所以 sin tan 3 2. 综上知，sin tan 3 2. 返回导航 3 名
21、师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 (1)不等式 sin x 3 2 的解集为_ _. (2)不等式 cos x1 2的解集为_. (3)函数 f(x) 2sin x1lg(2cos x 2)的定义域为 _. 例 5 利用三角函数线解三角不等式 x 2k 3 x 2k2 3 ，kZ x 2k2 3 x2k 2 3 ，kZ x 2k 6x0， 得 sin x1 2， cos x 2 2 . 在单位圆中分别画出不等式的解集对应的 区域，其公共区域为不等式组的解集， 函数 f(x)的定义域为 x 2k 6xcos 的解集 2k 42k 5 4 ，kZ，sin cos 的解集 2k3 4 |cos |的解集 k 4k 3 4 ，kZ，|sin |cos |的解 集 x k 4k 4，kZ . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第三章 三角函数、解三角形 变式训练 3 (1)函数 ylg(34sin2x)的定义域为_. (2)若3 4 2，从单位圆中的三角函数线观察 sin ，cos ，tan 的大小是 ( ) Asin tan cos Bcos sin tan Csin cos tan Dtan sin 0， sin2x3 4. 3 2 sin xOMMP，故有sin cos tan .故选C. 谢谢观看
