1、必考部分 第四第四章章 平面平面向量、数系的扩充与复数的引入向量、数系的扩充与复数的引入 第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 知识点一 平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对这一平面 内的任一向量a，有且只有一对实数1，2使a_. 知识点二 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与_的两个单位向 量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：axi yj，_叫做向量a
2、的直角坐标，记作a(x，y)，显然i _，j(0,1)，0_. 不共线 1e12e2 x轴，y轴正方向相同 (x，y) (1,0) (0,0) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 知识点三 平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab_，ab _，a_，|a|_. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB _，|AB | _. (x1x2，y1y2) (x1x2，y1y2) (x1，y1) (x2x1，y
3、2y1) x2 1y 2 1 x2x12y2y12 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 知识点四 向量共线的坐标表示 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_. x1y2x2y10 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 两个向量作为基底的条件：作为基底的两个向量必须是不共线 的平面向量的基底可以有无穷多组 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一组
4、基底 ( ) (2)若 a，b 不共线，且 1a1b2a2b，则 12，12.( ) (3)若a(x1， y1)， b(x2， y2)， 则ab的充要条件可表示成x1 x2 y1 y2.( ) (4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变 ( ) (5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 题组二 走进教材 2(必修4P100T2改编)(2021 北京十五中模拟)如果向量a(1,2)，b (4,3)，那么a2b ( ) A(9,8) B(7，4) C(7,4) D(9，8) 解析
5、 a2b(1,2)(8,6)(7，4)，故选B. B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 3 (必修4P101A组T5改编)下列各组向量中， 可以作为基底的是( ) Ae1(0,0)，e2(1,2) Be1(1,2)，e2(5,7) Ce1(3,5)，e2(6,10) De1(2，3)，e2 1 2， 3 4 解析 A选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基 底；B选项中，不存在实数，使得e1e2.故两向量不共线，故其可以作 为基底；C选项中，e22e1，两向量共线，故其不可以作为基底；D选项 中，e14e2，两向量共线，故其不可以作为基
6、底故选B. B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 题组三 走向高考 4(2015 新课标全国)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC (4，3)， 则向量BC ( ) A(7，4) B(7,4) C(1,4) D(1,4) A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 设 C(x，y)，A(0,1)，AC (4，3)， x4， y13， 解得 x4， y2， C(4，2)，又 B(3,2)， BC (7，4)，选 A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与
7、复数的引入 5(2018 全国卷)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若 c(2ab)，则_. 解析 由题意得 2ab(4,2)，因为 c(2ab)，c(1，)，所以 42，得 1 2. 1 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 6 (2015 北京)在ABC 中， 点 M， N 满足AM 2MC ， BN NC .若MN xAB yAC ，则 x_；y_. 解析 由题中条件得MN MC CN 1 3AC 1 2CB 1 3AC 1 2(AB AC )1 2AB 1 6AC xAB yAC ，所以 x1 2，y 1 6. 1 2 1
8、6 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (1)如图， 已知平面内有三个向量OA ， OB ， OC ， 其中OA 与OB 的夹角为 120 ，OA 与OC 的夹角为 30 ，且|OA |OB |1，|OC |2 3， 若OC OA OB (，R)，则 的值为_. 考点一 平面向量基本定理的应用师生共研 例 1 6 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)已知向量AC ，AD 和AB 在正方形网格中的位置如图所示，若AC AB AD ，则 _. 3 分析 利用平行四边
9、形法则对OC 作关于OA ，OB 为基底的分解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)解法一：以 OA 和 OB 为邻边作平行四边形 OB1CA1，如 图，则OC OB1 OA1 . 因为OA 与OB 的夹角为 120 ，OA 与OC 的 夹角为 30 ， 所以B1OC90 ，在 RtOB1C 中，|OC |2 3， 所以|OB1 |2，|B1C |4，所以|OA1 |B1C |4， 所以OC 4OA 2OB ，所以 6. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解法二：以 O 为原点，建立如
10、图所示的平面直角坐标系， 则 A(1,0)，C(2 3cos 30 ，2 3sin 30 )，B(cos 120 ，sin 120 ) 即 A(1,0)，C(3， 3)，B 1 2， 3 2 . 由OC OA OB (1,0) 1 2， 3 2 ， 即 1 2， 3 2 (3， 3)， 得 1 23， 3 2 3， 所以 2， 4， 所以 6. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)建立如图所示的平面直角坐标系 xAy， 则AC (2，2)，AB (1,2)，AD (1,0) 由题意可知(2，2)(1,2)(1,0)， 即 2， 22， 解得
11、 1， 3， 所以 3.故填3. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 引申 若将本例(1)中“OC OA OB ”改为“OB OA OC ”则 _. 解析 过点 B 作 BHOA 交 OC 于 H，由例(1)知在 RtOBH 中， |BH|2，|OH| 3，OB OH HB 1 2OC 2OA ，2，1 2， 故 3 2. 3 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 应用平面向量基本定理的关键 (1)基底必须是两个不共线的向量 (2)选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、 减、数乘
12、以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出 来 (3)注意几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借 助图形的几何性质，如平行、相似等 易错提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来 方便 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 变式训练 1 (2021 江苏南通月考)如图所示，半径长为 1 的扇形 AOB 的圆心角为 120 ，点 C 在弧 AB 上，且 COB30 ， 若OC OA 2OB ， 则 _. 解析 根据题意，可得OAOC，以O为坐 标原点，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴建立平 面直角坐标系，如图所示
13、， 2 3 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 则有 A(0,1)，C(1,0)，B(cos 30 ，sin 30 )，即 3 2 ，1 2 ，于是OA (0,1)， OC (1,0)，OB 3 2 ，1 2 . 由OC OA 2OB ，得(1,0)(0,1)2 3 2 ，1 2 ， 0， 31， 解得 3 3 ， 3 3 ， 故 2 3 3 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (1)已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设AB a，BC b，CA c，且CM 3c，CN 2b. 求
14、 3ab3c； 求满足 ambnc 的实数 m，n； 求 M，N 的坐标及向量MN 的坐标 (2)设向量 a，b 满足|a|2 5，b(2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为_. 考点二 平面向量坐标的基本运算自主练透 例 2 (4，2) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8) 3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8) (1563，15324)(6，42) 因为 mbnc(6mn，3m8n)， 所以 6mn5， 3m8n5， 解得 m1， n1. . 返回导航 高考一
15、轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 设 O 为坐标原点， 因为CM OM OC 3c， 所以OM 3cOC (3,24)(3，4)(0,20)， 所以 M(0,20) 又因为CN ON OC 2b， 所以ON 2bOC (12,6)(3，4)(9,2) 所以 N(9,2)所以MN (9，18) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)设a(x，y)，x0，y0)， AP AB BP AB BN AB (AN AB )AB 1 4AC AB (1 )AB 4AC ， 因为AP mAB 2 9AC ， 所以2 9 4，得 8 9，所以 m1 1 9，故选 B. 解法二：AP mAB 2 9AC mAB 8 9AN ， m8 91，m 1 9. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)如图， 设 AB 的中点为 D.由 5AM AB 3AC ， 得 3AM 3AC 2AD 2AM ，所以CM 2 3MD ，所以 C，M，D 三点共线，且MD 3 5CD ，所以 ABM 与ABC 公共边 AB 上的两高之比为，则ABM 与ABC 的面积比为3 5. 谢谢观看
